题型清单02 整式乘法（原卷版）

专题02整式乘法单项式乘法1.单项式乘单项式的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式2.单项式与单项式相乘的步骤(1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积；(2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里3.要点提示：(1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值：(2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”；(3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行：(4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算：(5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用单项式乘多项式【法则】单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加即m（a+b+c)=ma+mb+mc.【注意】(1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。(2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定(3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果（4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘，多项式乘多项式1.多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．2.运用法则时应注意以下几点：(1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)·(a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即（m+n)（a+b+c)=ma+mb+mc+na+nb+nc.(2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6.(3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数.(4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列.(5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负”(6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果乘法公式完全平方公式1.完全平方公式：即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍.可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．完全平方公式的常见变形：2.完全平方公式的特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．3.应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．平方差公式1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)=2.平方差公式的结构特征：（1）平方差公式(a+b)(a-b)=，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相同，而另一项互为相反数：（2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用.3.平方差公式的解读：（1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式，但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果；（2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式：（3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便乘法公式与几何图形完全平方公式的几何意义如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S=其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式平方差公式的几何背景如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)=单项式乘法1．（25-26七年级下·宁夏中卫·期中）计算：______．2．（2026七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）计算：________．3．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）计算：．4．（25-26七年级上·上海长宁·期中）计算：利用单项式乘法求字母或代数式的值5．（24-25七年级下·宁夏中卫·期末），求的值_______．6．（25-26七年级下·江苏·期末）若，，则____________．7．（25-26八年级上·重庆·期中）已知代数式的值是7，则代数式的值是_______．8．（25-26七年级下·江苏·期末）已知，，求代数式的值．单项式乘法的应用9．（25-26七年级下·河北张家口·期中）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个面积为的长方形．则需要（

）A．A类卡片2张，B类卡片3张 B．A类卡片3张，C类卡片2张C．A类卡片3张，B类卡片2张 D．B类卡片3张，C类卡片2张10．（25-26七年级下·陕西西安·期中）2026年江苏两会明确提出并重点部署乡村振兴工作，为更好地落实该精神，上级决定在一块长方形空坪上修建板房，作为扶贫办事务所，已知长方形空坪长为，宽为，则其面积为（

）A． B． C． D．11．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为．（1）当时，______；（2）当的长变化时，与的差始终不变，则a与b满足的数量关系为______．12．（25-26七年级下·广东深圳·期中）麒麟花园一间房屋结构如图，图中数据单位为米．这家房子的主人打算铺地砖，并且贴壁纸．(1)把卧室以外的部分铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是50元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？(2)已知房屋的高度为米，需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果壁纸的价格是10元/平方米，那么购买所需壁纸至少需要多少钱？（计算时不算门、窗所占的面积）．多项式乘法13．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）计算：(1)；(2)．14．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算：(1)；(2)．15．（25-26八年级上·江西南昌·期末）计算：(1)(2)16．（24-25七年级下·江苏·期末）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．多项式乘法的化简求值17．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）先化简，再求值，其中．18．（24-25七年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值，其中．19．（2025·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中，．20．（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中．已知多项式乘积不含某项求字母的值21．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若的展开式中不含x的一次项，则的值为（

）A．2 B． C．0 D．1或222．（25-26八年级上·广东惠州·期末）若的乘积中不含与项，则的值为（

）A． B． C． D．823．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）若展开后不含的二次项，则常数的值为_______．24．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知的展开式中不含项和常数项，求：(1)m，n的值；(2)的值．多项式乘多项式与图形面积25．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，现有一块长为m，宽为m的长方形空地，开发商计划在这块长方形空地中间预留一个边长为m的正方形花坛，并将其余空地（图中阴影部分）进行绿化．(1)求需要进行绿化的空地面积（用含，的代数式表示，并化简）；(2)若，，绿化空地的价格为20元/，则完成绿化共需要多少元？26．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）教材中，在计算如图①所示的正方形ABCD的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作：角度一：把它看成是一个大正方形，则它的面积为．角度二：把它看成是2个小长方形和2个小正方形组成的，则它的面积为．因此，可得到等式：．(1)类比教材中的方法，由图②中的大正方形可得等式：___________；(2)利用①中得到的结论，解决下面的问题：若，，则的值为___________；(3)代数式展开、合并同类项后，得到的多项式的项数一共有___________项．(4)若将代数式展开后合并同类项，得到多项式N，则多项式N一共有___________项．27．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）【基本方法】我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解(1)【理解应用】若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为．(2)【理解应用】，，且的值与x的取值无关，求n的值．(3)【迁移提升】7张如图1的小长方形卡片，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．28．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图1，现有三种类型的卡片：1号卡片：边长为a的正方形卡片；2号卡片：边长为b的正方形卡片；3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中．(1)填空：如图2，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_______．(2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______．(3)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多4．情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为．情形二：将1张1号片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为．如果，求2号卡片的边长．乘法公式29．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）用乘法公式计算：(1)；(2)．30．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算：(1)；(2)．31．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）计算：(1)；(2)．32．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）计算(1)利用乘法公式计算：(2)计算：乘法公式与几何图形33．（25-26七年级下·四川成都·期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些图形的面积．例如，由图1，可得等式：．(1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？，请用等式表示出来．(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值．34．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是；

（请选择正确的一个）A．B．C．D．(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知，，求的值．②计算：35．（25-26七年级下·山东淄博·期末）【阅读思考】若已知x满足，要求的值．我们可以假设，，则根据题意我们可以得到等式，同时，，所以，．【理解尝试】若x满足，请仿照上面的方法，求代数式的值．【拓展应用】如图，正方形的边长为x，E，F分别是边上的点，且，，长方形的面积为12，分别以为边作正方形和正方形．求正方形和正方形的面积之和（即阴影部分的面积）．36．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：

(1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于的关系式：（用含的代数式表示出来）；图1表示：____________；图2表示：____________；(2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：①若，求的值；②请直接写出下列问题答案：若，则______；若，则______．(3)如图3，长方形中，，长方形的面积是210，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点作的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值）

图3通过对完全平方公式变形求值37．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知，．求：(1)；(2)的值．38．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若，且．(1)求的值；(2)求的值．39．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）（1）已知，，求的值；（2）已知，求和的值．40．（25-26七年级下·陕西西安·期中）解决下列问题(1)图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，根据以上操作可以得到等式___________．(2)若，，求与的值．求完全平方式中的字母系数41．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）已知是完全平方式，则（

）A．或 B． C． D．4或42．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如果多项式是一个完全平方式，则a的值是________．43．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若关于x的二次三项式是完全平方式，则正数a的值是_______．44．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知多项式．(1)化简多项式A；(2)若是一个完全平方式，求A的值．多项式乘法中的规律性问题45．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），可以解释（为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数，，恰好对应“杨辉三角”中第行的个数…．依据上述规律回答：若今天是星期二，则经过天后是（

）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六46．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，杨辉三角给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第行的个数，，恰好对应将的展开式中的各项系数：第行的个数，，，恰好对应着的展开式中的各项系数．依此规律，那么中的系数是（）A． B． C． D．47．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）观察：下列等式，，，据此规律，当时，代数式的值为__________．48．（24-25七年级下·江苏·单元测试）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示：【观察】①；②；③；……【归纳】（1）由此可得______；【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：（2）计算______；（3）计算______；（4）若，求的值．乘法公式的变形求值49．（2026·江苏南通·三模）若实数，，满足，，则的值为（

）A． B． C． D．50．（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知实数满足，则的最大值为（）A． B．1 C． D．051．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，边长分别为、（）的两个正方形紧贴摆放．设阴影面积为．如图1，若，则的值是______；如图2，若，，则的值是______．52．（25-26八年级上·四川内江·期中）数学活动课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系(2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片1张，号卡片2张，号卡片张．(3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：，求的值；②已知：，求的值．乘法公式与几何图形结合问题53．（25-26七年级下·广东佛山·期中）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式．(1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为___________；（用含的式子表示）(2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的三种纸片各多少张？(3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点分别在的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差．54．（2026·山东青岛·二模）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．(1)_____；(2)若有理数m、n满足，且．①求的值；②如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．55．（25-26七年级下·四川成都·期中）“数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习整式的乘法时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式．【初步感知】(1)观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为．在该公式中，若，（，），求的值．【类比探究】(2)若x满足，求的值；【拓展应用】(3)如图②，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和．56．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）综合与实践为迎接校园文化节，班级计划制作主题装饰卡片，数学老师带领同学们利用图形拼接探究面积关系，设计了以下三个探究环节：【探索发现】活动课上，老师准备了一张长为a、宽为（）的长方形彩纸，沿图1中的虚线将其平均分成4个相同的小长方形，再按图2的方式重新拼接成一个大正方形，用于制作卡片的外框．(1)观察图1与图2的面积关系，请写出、与之间的等量关系：______；【灵活运用】(2)已知，，求的值；【实际应用】(3)如图3，为制作卡片的双层边框，小明将正方形卡片与正方形卡片部分重叠，重叠部分为长方形．分别延长、，交、于点P、Q，所得四边形和均为正方形，四边形为长方形．已知，，长方形的面积为，求正方形卡片的面积．乘法公式中配方法问题57．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：、、是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）．请根据阅读材料解决下列问题：(1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；(2)将配方（至少两种形式）；(3)已知，求的值．58．（25-26八年级上·福建泉州·期末）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．它是数学的重要方法，可以解决多项式、方程的相关问题．如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值．，∵，∴当时，有最小值．请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题：(1)若，请求出、的值；(2)试说明代数式的值都不大于；(3)若代数式的最小值为，试求出的值．59．（25-26八年级上·四川内江·期末）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下：∵∴因此，该式有最小值1②已知：将其变形，，，可得(1)按照上述方法，将代数式变形为的形式；(2)若，求p的最大值；(3)已知a、b、c是的三边，且满足，试判断此三角