题型清单06 定义、命题、证明（原卷版）

专题06定义命题证明定义1.对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义如“两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义；“在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是“一元一次方程”的定义常见的定义：正整数、负整数、零统称为整数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．乘积是1的两数互为倒数．数或字母的积组成的式子叫做单项式，几个单项式的和叫做多项式，单项式和多项式统称为整式．（3）含有未知数的等式叫作方程；只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．（5）用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．（6）如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．

如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．（7）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（8）两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线；在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线：（9）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．

内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．

同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．（10）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．三条边都相等的三角形叫做等边三角形.有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．命题判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．注意：1.在数学中，命题一般都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项.2.一般情况下，命题的条件是“如果”“若”等字样引出，命题的结论是用“那么”“则”等宇样引出，如果命题不具有“如果…，那么…的形式，一般先将命题改写成“如果…，那么…”的形式，再来确定命题的条件和结论，真假命题1.如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题.条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题2.说明假命题的方法：要说明一个命题是假命题，只需列举一个具备条件而不具备结论的例子即可，即举出一个不符合题意的反例.原命题与逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题.注意：(1)互逆命题是指两个命题的关系，这两个命题中，确定其中任何一个为原命题，则另一个为其逆命题。(2)逆命题的真假和原命题的真假不相关，当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题：同样，当一个命题是假命题时，它的逆命题也不一定是假命题。证明与定理1.证明根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明2.定理经过证明的真命题称为定理，定理一见是真命题，真命题不一是是足理3.证明与图形有关的命题的一般步骤(1)根据题意，画出图形：(2)根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；(3)写出证明过程.4.证明命题的方法证明一个命题时，可从结论出发，先探求出使结论成立时所需的条件，然后结合图形及巳知条件，根据基本事实和常用的定理及推论逐步得出所需的条件，从而完成证明过程，定义1．（2026七年级下·江苏·期末）下列语句中不是定义的是（

）A．只有符号不同的两个数互为相反数B．大于的数叫作正数C．对顶角相等D．几个单项式的和叫作多项式2．（25-26七年级下·江苏·期末）下列属于定义的是（

）A．垂线段最短 B．你吃饭了C．正方形的四条边相等 D．含有未知数的等式叫做方程3．（2026七年级下·江苏·期末）下列句子中，是定义的是（

）A．在正数前面加上符号“”的数是负数B．，两条直线平行吗C．画一个角等于已知角D．过一点画已知直线的垂线4．（25-26七年级下·江苏·期末）下面各个命题中，定义为（）A．两点之间，线段最短B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．在正数前加上符号“”的数叫做负数D．今天的天气很好判断是否是命题5．（25-26七年级下·云南曲靖·期中）下列命题中，是真命题的是（

）A．如果两个角相等，那么它们是对顶角B．同位角相等C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．垂线段最短6．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）下列命题是假命题的是（

）①两条直线被第三条直线所截，同位角相等②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行③相等的角是对顶角④互补的角是邻补角A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④7．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）下列6个命题中，（1）相等的角是对顶角（2）垂直于同一条直线的两条直线互相平行（3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（4）有一条公共边且互补的两个角互为邻补角（5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等（6）如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行．为真命题的是_____．（写序号）8．（25-26七年级下·江苏·期末）下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？(1)两点之间，线段最短．(2)如果，那么是线段的中点．(3)一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？写出命题的题设与结论9．（25-26七年级下·福建厦门·期中）命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（

）A．两条直线平行于同一条直线 B．三条直线平行C．两条直线平行 D．两条直线垂直10．（24-25七年级下·云南文山·期中）命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设、结论分别是（

）A．两条直线平行于同一条直线、这两条直线平行B．两条直线平行、这两条直线平行于同一条直线C．两条直线平行于同一条直线、这两条直线不平行D．两条直线平行于同一条直线、这两条直线相交11．（25-26七年级下·山东淄博·期中）命题“和为的两个角互为补角”的条件是____________，结论是____________．12．（2026七年级下·江苏·期末）指出下列命题的条件与结论：(1)如果，那么的补角与的补角相等；(2)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行．判断命题的真假13．（25-26七年级下·江西赣州·期中）如图，给出3个论断：①；②；③．以其中2个为题设（已知），剩余1个为结论（求证），组成一个真命题，并写出证明过程．解：已知：．求证：证明：14．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，点E、F分别在线段上（不含端点）．连接分别交于点G、H．有四个信息：①，②，③，④．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题．(1)你选择的条件是________，结论是________；（填序号）(2)证明你构造的命题是真命题．15．（25-26八年级上·广西崇左·期中）（1）已知：如图，点B，E分别在，上，分别交，于点M，N，，．将下列证明过程补充完整：求证：．证明：因为（已知），又因为（），所以（等量代换）．所以（），所以（）．又因为（已知），所以（）．所以（两直线平行，内错角相等）．所以（等量代换）．（2）指出（1）的推理中的一对互逆的真命题．16．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）分别指出下列命题的题设和结论，并判断命题的真假：(1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等；(2)个位数是3的整数一定能被3整除；(3)对顶角的平分线在同一条直线上．举例说明假命题17．（25-26七年级下·福建厦门·期中）下列命题是假命题的是（

）A．平面内过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行B．垂线段最短C．同位角相等D．两点之间，线段最短18．（25-26七年级下·福建福州·期中）要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（

）A．， B．， C．， D．，19．（25-26七年级下·贵州遵义·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（

）A． B． C．0 D．120．（25-26七年级下·福建厦门·期中）判断命题“如果某不等式的解集有两个正整数解，那么”是假命题的一个反例中a可以是_________．写出命题的逆命题21．（2026·四川绵阳·二模）关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是（

）A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”B．逆命题为“两直线不平行，同旁内角互补”C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补”D．逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补”22．（25-26八年级下·江苏·期末）已知下列命题①若，，则；②若，则；③两直线平行，同位角相等；④对顶角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．123．（25-26七年级下·上海·期中）分析三个命题的逆命题：①如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；②两直线平行，内错角相等；③直角三角形有两个内角为锐角．逆命题为真命题的是：________（填写序号）．24．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直．(1)请写出该命题的逆命题；(2)判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明：如果是假命题，请举反例画图说明．证明25．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）如图，①，②，③，请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题，(1)正确的命题有个．(2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明．26．（24-25七年级下·江苏·期末）已知：如图1，直线，直线分别与、交于点，．求证：．完成下面证明过程．证明：假设_______．如图②，过点O作直线，使．（_______）．，且直线经过点O，∴过点O存在两条直线，与直线平行．这与基本事实_______矛盾，假设不成立，．27．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明．已知：________，________．求证：________．证明：28．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空）已知：如图，直线被直线所截，__________．求证：直线与__________．证明：假设所求证的结论不成立，即a__________，则__________（__________）这与__________矛盾，故__________不成立．所以__________．定理与证明29．（25-26七年级下·江苏·期末）命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个30．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）下列所学过的真命题中，是公理的是（

）A．对顶角相等 B．同角的余角相等C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行31．（25-26八年级上·江苏·期末）下面关于公理和定理的说法正确的是（

）A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用32．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）下列命题可以作定理的有_____个．①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除；③是方程的根；④三角形的内角和是．互逆命题33．（25-26八年级下·河南郑州·期中）下列命题中，真命题是（

）A．真命题的逆命题不一定是真命题B．对顶角相等有逆定理C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行D．“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”．34．（2025八年级上·江苏·期末）定理“如果，那么”的逆定理是：_________．35．（25-26八年级上·江苏·期末）按要求解答下列各小题．(1)请写出以下命题的逆命题：①相等的角是内错角；②如果，那么；(2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理．36．（25-26八年级上·江苏·期末）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理．(1)等腰三角形的两个底角相等．(2)内错角相等，两直线平行．(3)对顶角相等．证明题补全理由题型37．（24-25七年级下·湖南湘西·期末）“如图，已知内有一点，射线，且与交于点，过点画射线平行于，与相交于点”园园用两个完全一样的三角板进行画图，画图过程如图所示．(1)园园的画图依据是______；(2)小树看了园园画出的图形后，对进行了如下说理请你补全小树的说理过程；（已知），____________（已知），____________等量代换．(3)东东看了（2）中小树的说理过程后，认为命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是真命题，请你判断东东的说法是否正确，并说明理由．38．（24-25七年级下·北京·期中）（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．①先画出相应的图形，并判断命题的真假；②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例．（2）如图，已知，，，若，，将求的过程填写完整．解：，．，①．又，可解得（②）．，．，③．（④此处填推理的依据）又，可解得（⑤）（⑥）．39．（24-25七年级下·吉林·期末）【感知】如图，已知，若，则．请补全证明过程．证明：（已知），（___________）．（已知），___________（等量代换），（___________）；【延伸】若前提“”不变，将题设中的“”与结论“”调换，命题是真命题还是假命题？如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例．40．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．已知：如图，，，都被所截．求证：．证明：假设________，，________，________，________，这和“平角的定义”矛盾，假设________不成立，即．代数证明题41．（2026七年级下·江苏·期末）证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5．42．（2025·江苏南通·中考真题）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例．(1)若，则；(2)对于任意实数，一定有；(3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数；(4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形．43．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性．例如：证明命题“如果，，那么”是真命题．证明：，（已知）在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质），（已知）在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质），，（已证）．（不等式的传递性）(1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）；证明：且，均为正数，（已知）不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质）不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质）．（不等式的传递性）(2)请你尝试证明：若，则．(3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？