2026年湘教版九年级下册数学期末能力检测卷（含答案可下载）

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考试时长：120分钟满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.二次函数y=2(x-3)²+1的顶点坐标是A.(-3,1)B.(3,1)C.(-3,-1)D.(3,-1)2.已知⊙O的半径为5，点A在⊙O外，则OA的长度可以是A.3B.4C.5D.63.下列几何体的主视图为三角形的是A.圆柱B.正方体C.圆锥D.球4.将二次函数y=x²的图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新二次函数解析式为A.y=(x+2)²+3B.y=(x-2)²+3C.y=(x+2)²-3D.y=(x-2)²-35.一个不透明的袋子里装有2个红球和3个白球，它们除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球是红球的概率为A.2/5B.3/5C.1/2D.2/36.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=25°，则∠D的度数为A.25°B.40°C.50°D.65°7.已知某商品的利润y（元）与售价x（元/件）之间满足二次函数关系y=-x²+16x+100，则当售价为多少时，利润最大A.6元/件B.8元/件C.10元/件D.16元/件8.已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则该圆锥的侧面积为A.15πcm²B.20πcm²C.25πcm²D.30πcm²9.某天小明在阳光下测量自己的影长为1.2m，同一时刻测得旁边一棵树的影长为6m，若小明的身高为1.6m，则这棵树的高度为A.6mB.7mC.8mD.9m10.已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像开口向下，与x轴的两个交点横坐标分别为-1和3，下列结论中错误的是A.abc<0B.2a+b=0C.当-1<x<3时，y>0D.当x=1时，y取得最小值二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11.二次函数y=x²-4x+5的最小值是________。12.已知⊙O中，弦AB的长度为8，圆心O到AB的距离为3，则⊙O的半径为________。13.从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为________。14.某几何体的三视图完全相同，写出一个满足条件的几何体名称：________。15.若二次函数y=x²-2x+m的图像与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是________。16.已知一个扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的弧长为________。17.圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C的度数为________。18.已知二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是该函数图像上的动点，若△PBC的面积为6，则满足条件的点P共有________个。三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答时需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.（6分）已知二次函数的图像经过点(-1,0)、(3,0)、(0,3)三点，求该二次函数的解析式，并直接写出该函数的最大值。20.（6分）现有A、B两个不透明的口袋，A袋里装有编号为1、2的两个小球，B袋里装有编号为3、4、5的三个小球，所有小球除编号外完全相同。从A、B两个口袋中各随机摸出一个小球，求摸出的两个小球编号之和为偶数的概率。21.（8分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB=16，OC=6，延长OC交⊙O于点D，求OD的长度以及弦BD的长度。22.（8分）某小区计划在甲楼的旁边新建一座乙楼，在某一时刻测得1m高的标杆的影长为1.2m。已知甲楼的高度为30m，两楼之间的水平距离为20m，求此时甲楼的影子落在乙楼上的高度为多少米？23.（10分）某文具店购进一批单价为10元的笔记本，根据市场调研发现，该笔记本每天的销量y（本）与售价x（元/本）满足一次函数关系y=-10x+200，其中10≤x≤18。（1）求该文具店每天销售笔记本的利润W（元）与售价x之间的函数关系式；（2）当售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？24.（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，过点C作CD⊥AB于点D，点E在AB的延长线上，且∠ECD=∠ABC。（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若CD=4，BD=2，求CE的长度。25.（16分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x²+bx+c的图像经过A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q。（1）求该二次函数的解析式；（2）求线段PQ的长度的最大值；（3）是否存在点P，使得以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。参考答案一、选择题1.B2.D3.C4.B5.A6.B7.B8.A9.C10.D二、填空题11.112.513.1/314.球（或正方体，答案不唯一）15.m<116.2π17.110°18.3三、解答题19.解：设二次函数的交点式解析式为y=a(x+1)(x-3)，将点(0,3)代入得3=a×1×(-3)，解得a=-1，所以解析式展开为y=-x²+2x+3。因为二次项系数为-1<0，函数开口向下，最大值为顶点纵坐标4。20.解：所有等可能的结果共6种，分别为(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)，其中编号之和为偶数的情况有3种，分别是(1,3)、(1,5)、(2,4)，因此所求概率P=3/6=1/2。21.解：连接OB，根据垂径定理，OC⊥AB时BC=AB÷2=8。在Rt△OBC中，OB=√(OC²+BC²)=√(6²+8²)=10，因此OD=OB=10。CD=OD-OC=10-6=4，在Rt△BCD中，BD=√(CD²+BC²)=√(4²+8²)=4√5。22.解：设甲楼完全落在地面时的影长为xm，根据同一时刻物高与影长成正比，得30/x=1/1.2，解得x=36。两楼水平距离为20m，因此剩余的影长为36-20=16m，设这段影长对应的实物高度为h，得16/h=1.2/1，解得h=40/3，因此落在乙楼上的影子高度为30-40/3=50/3m。23.解：（1）单本利润为(x-10)元，因此总利润W=(x-10)y=(x-10)(-10x+200)=-10x²+300x-2000，定义域为10≤x≤18。（2）将W配方得W=-10(x-15)²+250，因为15在10≤x≤18范围内，因此当售价定为15元/本时，每天利润最大，最大利润为250元。24.（1）证明：连接OC，因为OC=OB，所以∠OCB=∠ABC，由题可知∠ECD=∠ABC，因此∠ECD=∠OCB。因为CD⊥AB，所以∠CDB=90°，可得∠BCD+∠ABC=90°，代入得∠ECD+∠OCB=∠OCE=90°，即OC⊥CE，OC是半径，因此CE是⊙O的切线。（2）解：设⊙O半径为r，OD=r-BD=r-2，在Rt△OCD中，r²=4²+(r-2)²，解得r=5，OD=3。由射影定理CD²=OD×DE，得16=3×DE，DE=16/3，因此CE=√(DE²+CD²)=√((256/9)+16)=20/3。25.解：（1）将A(-1,0)、B(3,0)代入解析式得方程组：0=-1-b+c，0=-9+3b+c，解得b=2，c=3，因此二次函数解析式为y=-x²+2x+3。（2）可得C