1.4 一元二次不等式的解法（全国适用）【8大考点】2027年高考数学一轮复习专题训练（解析版）

.4一元二次不等式的解法8大考点汇总考点01解不含参数的一元二次不等式考点02三个二次的关系求参考点03利用一元二次不等式的解确定参数考点04解含有参数的一元二次不等式考点05根的分布问题考点06在实数集上恒成立问题考点07在某区间上的恒成立问题考点08在某区间上有解问题考点09一元二次不等式的实际应用题型专练考点01解不含参数的一元二次不等式1．使得式子有意义的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，即，然后求解这个不等式即可得到的取值范围.【详解】，即，解得.2．已知集合，，则中元素的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先解集合中的一元二次不等式，再根据集合的交集运算求出，进而即可得到中元素的个数．【详解】由，解得，即，所以，所以中元素的个数是．3．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，解得，，集合；，则，解得，集合；．4．已知集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解得或，即.∴.又∵，在集合的元素中满足的有，∴.考点02三个二次的关系求参5．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由条件结合韦达定理得到参数关系，即可将问题转化为a3x2+4x+1<0【详解】由不等式的解集为可知，且−ba=−4+1=−3，，所以所以不等式可化为a3x又，则，解得或．6．（多选）已知关于的不等式的解集为.则（

）A． B．不等式的解集是C． D．不等式的解集是【答案】BC【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可.【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根，所以，，即，.B：可化为，因为，，所以不等式的解集是，B正确.C：因为，所以，C正确，D：可化为，因为，所以，解得或，故D错误.7．（多选）已知关于的不等式的解集为，则（

）A．B．C．不等式的解集是D．不等式的解集为【答案】ACD【分析】根据一元二次方程与不等式的关系得，，再结合一元一次不等式和一元二次不等式的解法，依次讨论各选项即可得答案.【详解】∵关于的不等式的解集为，∴，和3是关于的方程的两根，A选项正确；由根与系数的关系得，则，∴，B选项错误；∴不等式可化为，即，解得，C选项正确；不等式可化为，即，解得或，D选项正确．8．（多选）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根据一元二次方程与一元二次函数的关系，结合韦达定理逐项判断即可．【详解】由不等式的解集为，所以，，故A错误；方程的两个根为，，则，故B正确，C错误；，故D正确．考点03利用一元二次不等式的解确定参数9．（多选）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（

）A．B．若，则的最小值为4C．关于的不等式的解集为D．是关于的不等式的一个解【答案】ACD【详解】选项A，因为方程有两不等实根，所以，解得，因为，所以，即取，A正确；选项B，由韦达定理，则，由A选项可知，且，所以，，当时，单调递增，因此，则，无法取到最小值4，B错误；C选项，令，代入原方程得，即若为原方程两根，则为的两根，又因为，所以，已知，所以不等式解集为，C正确；D选项，将代入得，因为，因此，即是不等式的一个解，D正确.10．若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________．【答案】【分析】解，得解集为；分类讨论与的大小关系，解不等式，再根据不等式组的解集中所含整数解只有，列式可求出结果．【详解】由，得，得或，所以的解集为，由，得，当，即时，得，所以的解集为，此解集中不含，不符合题意；当，即时，化为，所以的解集为空集，不符合题意；当，即时，得，所以的解集为，因为不等式组的解集中所含整数解只有，结合数轴分析可知，得．11．不等式的解集为，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】关于x的不等式的解集为，当时，即a＝2时，不等式即，显然不成立，满足条件；当时，应满足且，解得．综上知，实数a的取值范围是．12．已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【详解】由的解集为，得和是方程的两个实数根，所以，所以等价于，即，其充要条件为或.所以和均是的既不充分也不必要条件；或是的必要不充分条件；或是的一个充分不必要条件.考点04解含有参数的一元二次不等式13．已知关于的不等式．(1)若不等式的解集为，求a，b的值；(2)若，求已知关于的不等式的解集．【答案】(1)，(2)当时解集为；当时解集为；当时解集为；当时解集为；当时解集为【分析】(1)等价转化为和是方程的两个实根，从而求解a，b的值；(2)对a作分类讨论，分，；对于二次不等式，要先判断二次项系数a的正负，它决定了抛物线的开口方向；再继续对二次方程的2个根作比较大小讨论.【详解】（1）因为不等式的解集为，所以，且和是方程的两个实根，可得，，解得，；（2）当，不等式为，即①当时，不等式化为，解得，解集为；②当时，若，则，不等式解集为；若，则，不等式为，解集为；若，则，不等式解集为；③当时，不等式化为解得或，解集为.综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.14．解关于的不等式．【答案】当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为全体实数，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可.【详解】由已知，得，：当时，不等式化为，解得；当时，不等式等价于，若，解得，或；若，解得，若，解得，或；当时，不等式等价于，解得.综上所述，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为全体实数，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.15．解答下列各题.(1)若，求的最小值；(2)若正数满足，求的最小值；(3)解关于的不等式:．【答案】(1)(2)(3)当时，解集为；当时，无解；当时，解集为【分析】（1）由基本不等式即可求解；（2）由结合基本不等式即可求解；（3）分情况讨论的取值即可.【详解】（1）因为，由题.当且仅当，即时取等号；所以的最小值为7.（2）由结合基本不等式可得：，又为正数，则，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.（3）由，可得，令，解得或，当时，有，的解集为两根之间，即；当时，原不等式变为，无解；当时，有，的解集为两根之间：.综上：当时，解集为；当时，无解；当时，解集为16．已知二次函数.(1)若，且都有，求的最小值；(2)解关于的不等式：.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由题得到，所以，再利用基本不等式求解即可.（2）不等式等价于，对分三种情况讨论即可【详解】（1）由题，对称轴为，所以，变形得，则，当且仅当，即时等号成立，的最小值为.（2）不等式即求解①当时，，解集为②当时，抛物线开口向上，若，即时，恒成立，解集为若，即时，则，解集为若，即时，不等式解集为③当时，抛物线开口向下，此时恒成立，不等式解集为17．解下列关于的不等式：．【答案】答案见解析【分析】不等式左侧不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究时不等式的解集．【详解】对于一元二次方程，当时，，的解集为，当时，的解集为，当或时，，方程的两根分别为，且，所以不等式的解集为，综上，当时，不等式的解集为，当或时，不等式的解集为．18．已知，求关于x的不等式的解集．【答案】答案见解析【分析】按照，和分类讨论，根据一元二次不等式的解法解不等式即可.【详解】因为，即，当时，令，解得，若时，，不等式解集为；若时，，不等式解集为；若时，，不等式解集为；综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.考点05根的分布问题19．设集合，则“”的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】若，则二次方程无解，即，解得，所以“”的一个必要不充分条件是.20．“”是“关于x的方程的两根都大于1的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】判别式：，解得或，对称轴在右侧：对称轴，解得，再由：恒成立，所以两根都大于1的充要条件是，，推不出，因此充分性不成立，，可推出，因此必要性成立，因此""是"方程的两根都大于1"的必要不充分条件.21．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围.【详解】∵当，即，不等式解集为或，存在无数个整数解，不符合题意，故舍去；当，即，不等式解集为，存在无数个整数解，不符合题意，故舍去；当，即，当时，，不等式解集为，∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去；当时，，即，不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去；当时，，不等式解集为，∴原不等式的个整数解为：，∴，则；综上所述：.22．已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】函数在区间上有两个零点，即函数在上与x轴有两个交点，则需要满足，根据二次函数图像列出不等式即可求解.【详解】由函数在区间内有两个零点，得到函数在上与x轴有两个交点，所以，即(a−1)2整理得a2−2a−3>0所以则的取值范围为.故选：A.23．已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______.【答案】【分析】令，根据条件得，即可求解.【详解】令，其图象开口向上，又方程有一正根一负根，则，解得，故答案为：.24．若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________．【答案】【分析】根据一元二次方程根的分布直接求解．【详解】方程在上有两个不相等的实数根，，解得．考点06在实数集上恒成立问题25．已知命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是__________．【答案】【详解】当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意；当时，对任意恒成立，需满足：，解得，综上可得．26．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围.【详解】由，使得为假命题，则，都有为真命题，当，则，满足，当，则，满足，综上，.27．已知命题，，命题，．(1)若命题和命题都是假命题，求实数的取值范围；(2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）分别求出命题，命题为假命题时的取值范围，进而得到结果即可；（2）求（1）中的补集即可．【详解】（1）若命题，为真命题，则，即.所以若为假命题，则.若命题，为真命题，则，即.若为假命题，则，综上，命题和命题都是假命题，a的取值范围为；（2）由（1）可知命题和命题都是假命题，a的取值范围为，故命题和命题至少有一个为真命题，a的取值范围为．28．若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围．【详解】由命题“”为真命题，，解得：，考点07在某区间上的恒成立问题29．不等式对任意恒成立，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】转化问题为对任意恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解.【详解】根据题意可得对任意恒成立，而，当且仅当时等号成立，则，所以，则的最小值为．30．若二次函数，满足对称轴为，且．(1)求的解析式；(2)若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据对称轴和已知函数值求二次函数解析式；（2）不等式恒成立参变分离转化为的最小值.【详解】（1）二次函数，，则，对称轴为，，则，所以.（2）不等式恒成立，即恒成立，即，令g(x)=x对称轴为，所以在上单调递减，，所以，实数的取值范围为.31．若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用对数函数的单调性将不等式转化为，再通过换元和均值不等式求出表达式的最小值，进而求解的范围.【详解】由已知得，所以问题转化为恒成立，设，则，代入上式，所以问题转化为时恒成立，则只需即可，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，所以，解得.32．使命题“”为假命题的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】若命题“”为假命题，则命题“”为真命题.由，得，所以.所以.33．已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意得和是关于的方程的两个实数根，所以，解得，所以，由得，当时，，所以，则的取值范围是，故A正确.34．已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】根据的范围分类讨论，结合对于任意，都有成立，解不等式即可求解．【详解】因为是一个区间，所以，二次函数的对称轴为直线，①当时，即，函数在上单调递增，所以，要使对于任意，都有成立，则，所以，解得；②当时，即时，函数在处取得最小值，，则，不等式无解；③当时，即，函数在上单调递减，所以，则，不等式无解；综上所述，的取值范围是．考点08在某区间上有解问题35．若关于的不等式有解，则实数的最大值为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【详解】由关于的不等式有解，得，解得，所以实数的最大值为2．36．若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意和一元二次不等式能成立可得存在，使得成立，令，利用导数讨论函数的单调性，即可求出.【详解】存在，不等式成立，则，能成立，即对于，成立，令，，则需要大于函数在的最小值，则，令，所以当，，单调递增，当，，单调递减，又，，，，，，所以，所以.故选：C.37．已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_____．【答案】【详解】因为，所以，又命题“，”为假命题，即，即．38．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集性质进行求解即可.【详解】当时，，显然不成立，此时不等式的解集为空集，符合题意；当时，要想该一元二次不等式的解集为空集，只需满足下列条件：，综上所述：实数的取值范围是.故选：B39．设，若关于的不等式在上有解，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用分离常数法结合函数的单调性求，结合，计算即可．【详解】关于的不等式在上有解，，，，令，，且，有：，，，，，在单调递增，当时，，，即小于等于．故选：C40．已知函数．(1)当时，解关于的不等式；(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）先把二次不等式化为，再分类讨论解不等式即可；（2）参变分离，把能成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可．【详解】（1），化简得，即，若，即，上式可化为：，即，解得；若，即，上式可化为：，解得；若，即，上式可化为：，，，，或，综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．（2）不等式，即，，恒成立，，问题转化为：存在，使得成立，，设，令，则，（当且仅当，即时取等号），，当且仅当时取等号，综上，的取值范围为．考点09一元二次不等式的实际应用41．某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求：(1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？(2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？【答案】(1)(2)【详解】（1）由题可知平均成本yx要使平均成本不超过售价50元则有2x+50∵，所以两边同乘以得2x2−40x+50≤0化简得x2−20x+25≤0，解得∵，∴至少生产2件产品.（2）∵利润=售价×数量-成本,所以利润，即，要使利润不低于100元，则有；解得不等式的解集为，∴至少需要生产件产品.42．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围．【答案】(1)，定义域为(2)【分析】（1）求出售价降低成后每件售价的价钱，销售量增加成后售出商品的数量，列出关于的函数，利用售价不能低于成本价得到的不等式，从而得到函数的定义域.（2）列出关于的不等式，计算得解.【详解】（1）售价降低成后，每件售价为元，销售量增加成后售出商品的数量为件，则．因为售价不能低于成本价，所以．所以，定义域为．（2）由题意得，化简得，解得，所以的取值范围是．43．（1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元?（2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?【答案】（1）且；（2）5km【分析】（1）先根据“日获利=日销售额-成本”列出获利函数，再通过解一元二次不等式，得出日产量的取值范围即可；（2）先根据已知条件求出反比例函数与正比例函数的系数，得到总费用表达式，再利用均值不等式求最值即可.【详解】（1）因为日获利等于销售额减去成本，销售额为，成本为，故利润函数为：，要求日获利不少于1300元，即解不等式：，化简得：，解得：，又因为，故日产量为20到45之间的整数.（2）设土地占地费，库存货物费，由题意知，当时，，，得：，所以，即；，所以，即，则两项费用之和为：，由均值不等式得：，当且仅当，即时等号成立，此时费用之和取到最小值，故仓库应建在距离车站5km处.44．某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为(1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？(2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？【答案】(1)第年(2)第年【分析】（1）解不等式，结合，得出的值，可得结论；（2）利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件可得出的值，即可得出结论.【详解】（1）令，整理可得，解得，因为，故，故该新能源汽车运营到第年时，运营利润超过万元.（2）该新能源汽车的年平均利润为，当且仅当时，即当时，等号成立，故该新能源汽车运营到第年