1.6 基本不等式（全国适用）【12大考点】2027年高考数学一轮复习专题训练（解析版）

.6基本不等式12大考点汇总考点01配凑法考点02常数的妙用考点03齐次式考点04消元法考点05二次商式的最值问题考点06双换元法解基本不等式考点07多次使用基本不等式考点08柯西不等式的应用考点09权方和不等式考点10利用对勾函数求最值考点11基本不等式的恒成立求参问题考点12基本不等式的实际应用题型专练考点01配凑法1．函数的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】对于函数进行变形得，再利用基本不等式求最值即可．【详解】因为，所以，所以，当且仅当x=2−所以的最大值为．2．若，则函数的最小值为_____.【答案】10【详解】若，则，所以函数，当且仅当，即时等号成立，故函数的最小值为.3．已知实数，则的最小值是__________.【答案】【分析】将变形为，利用基本不等式求解范围得到最小值.【详解】，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4．已知，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】将原式配凑为，利用基本不等式求解即可.【详解】，，，，当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为6.故选：C.考点02常数的妙用5．若均为正数，且，则的最小值为___________．【答案】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最值求解.【详解】，当且仅当，即时等号成立，所以，的最小值为.6．（多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（

）A．有最大值 B．有最小值C．有最大值 D．有最小值【答案】ABC【分析】结合已知条件，利用基本不等式及其变形逐一判断各选项即可.【详解】对于A，由基本不等式，代入得，即，当且仅当时等号成立，所以最大值为，故A正确；对于B，，由基本不等式，故，当且仅当时等号成立，所以最小值为，故B正确；对于C，，由选项A知，故，即，当且仅当时等号成立，所以最大值为，故C正确；对于D，，由选项A知，故，则，即最小值为，不是，故D错误.7．已知正数x，y满足，则的最小值为_________．【答案】【详解】由题意得，当且仅当时成立.8．已知，则的最小值为（）A． B． C．1 D．4【答案】C【分析】借助基本不等式“1”的活用计算即可得.【详解】由，则、，故，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.9．已知为正数，，则的最小值为_________.【答案】【分析】问题化为求的最小值，应用“1”的代换及基本不等式求其最小值即可.【详解】由题设，则，求的最小值，即求的最小值，其中，由，当且仅当，即时取等号，综上，的最小值为.10．已知正数x，y满足，则的最小值为______.【答案】【分析】根据题意得，再结合基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】因为正数x，y满足，所以，即，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.11．若正数满足，则的最小值是__________.【答案】【分析】由题意可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意正数满足，得，则，当且仅当，即时等号成立，即的最小值是，故答案为：12．已知，，，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】由题，然后由基本不等式可得答案.【详解】因由题设及基本不等式，,当且仅当，即时取等号.13．已知正实数满足，则的最小值为__________．【答案】/【分析】利用“”的代换结合基本不等式即可求解.【详解】因为正实数满足，所以，所以，，当且仅当时取等号，即，时，最小值为.考点03齐次式14．设，，且，则（

）A．有最小值为 B．有最小值为C．有最小值为 D．有最小值为【答案】D【分析】利用已知条件变形凑配出积为定值，然后由基本不等式求得最小值.【详解】因为，，且，所以，当且仅当，即时等号成立．所以有最小值为.故选：D15．已知实数，且，则的最小值为（

）A．5 B．4 C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用“1”的代换并变形，再利用基本不等式求解.【详解】实数，且，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.16．已知，，，，则的最小值为（

）A．4 B． C．18 D．20【答案】C【分析】利用常数代换，凑齐次，即可利用基本不等式先求得相关的最小值，再配凑利用基本不等式求得相关的最小值即可.【详解】因为，，，，所以，当且仅当，时等号成立，所以原式，当且仅当时等号成立，故选：C.17．已知，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由条件，再利用基本不等式求最值.【详解】因为，所以，因为，，所以，当且仅当，时等号成立，所以的最小值为.故选：B.18．已知正实数x，y满足，则的最小值为（

）A． B．4 C． D．6【答案】A【分析】由条件可得，再利用基本不等式求其最小值即可.【详解】由题意知，当且仅当，且，即，时等号成立，即的最小值为.故选:A.19．设正实数、、满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值.【详解】因为正实数、、满足，则，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为.故选：D.20．已知正数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过的妙用凑成积为定值，再利用基本不等式求解.【详解】，，当且仅当，即，时取等号，的最小值为.故选：B考点04消元法21．已知实数，满足，则的最大值为_____.【答案】【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值.【详解】令，则，方程可化为，整理得，则满足，解得，所以，即，所以的最大值为.22．已知，，且，则的最小值为（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】方法一：条件等式可化为，再结合关系利用基本不等式求结论；方法二：由条件等式可得，消元变形可得，再利用基本不等式求其最小值即可.【详解】（方法一）由，可得，因为，，所以，，则，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为13．（方法二）由，可得，因为，所以，则，当且仅当16b−1=b−1，即故的最小值为13．23．（多选）若，则的值可能是（

）A．0 B． C．2 D．【答案】CD【详解】因为，所以，b=2a−32当时a+2a−3当时，−22−3结合选项，的值可能为或．24．已知正数x，y满足，则的最小值为（

）．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【详解】由可得y−x−xy=0，即，故y+1x=y+1y25．已知，为正实数，且，(1)求的最大值.(2)求的最小值；(3)求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可；（2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可；（3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可.【详解】（1）因为，为正实数，所以由，当且仅当时取等号，因为，为正实数，所以由因此当时，有最大值；（2），因为，为正实数，所以，即，当且仅当时取等号，所以当时，有最小值；（3）设，即，所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，所以当时，有最小值.26．已知，，且，则的最小值是（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】根据已知得，代入目标式并应用基本不等式求最小值即可.【详解】由，则，，，故，所以，当且仅当，此时取等号.27．若，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据基本不等式可得，求得，由可求得最小值.【详解】由于，即，则，即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为18，所以有，所以的最小值为，此时.考点05二次商式的最值问题28．设，则的最小值为_____________．【答案】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为，则，所以，当且仅当时，即当时，等号成立.故当时，的最小值为.29．函数(）的最大值为______．【答案】/【详解】，，当且仅当时取等号，即函数(）的最大值为．30．已知，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】令，则，因为，可得，可得，当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.31．求函数的最小值．【答案】9【分析】将看作一个整体，化简得，再利用基本不等式即可求得函数的最小值.【详解】，因为，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故函数的最小值为.考点06双换元法解基本不等式32．已知，，，则的最大值为____.【答案】/【分析】先换元，再结合基本不等式“1”的代换即可求解.【详解】令，，所以，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，结合，解得，即时，，所以的最大值为.33．已知，则的最大值为_____．【答案】【分析】解法一：由可对称设元，化为一元函数最值求解；解法二：变形换元得到，令，由基本不等式可得，则，由基本不等式可得最大值.【详解】解法一：设，则，设，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为．解法二：①．由得，则，代入①得原式．令，因为，，所以，当且仅当时等号成立，所以，则原式，当且仅当且，即时等号成立，故的最大值为．故答案为：34．已知，，，则的最大值为______．【答案】/【分析】通过换元，将分式变成整式，再通过“1”的代换和基本不等式求出即可.【详解】令，，则，，，，，所以，所以，当且仅当，，即，时等号成立．故答案为：35．（多选）已知正数、，满足，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为. B．的最大值为.C．的最小值为. D．的最小值为.【答案】ABD【分析】对于AB，利用基本不等式及其推论即可判断；对于CD，利用换元法与基本不等式“1”的妙用即可判断.【详解】对于A，因为，所以，则，当且仅当且，即时，等号成立，所以的最大值为1，故A正确；对于B，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，则，当且仅当且，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；对于C，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为，故C错误；对于D，令，，则，，，，所以，当且仅当且，即，即时，等号成立，所以的最小值为1，故D正确.故选：ABD.36．已知，则的最大值为___________．【答案】/【分析】令，则，将所求式转化为，利用“1”的代换和均值不等式求出括号内式子的最小值，从而得到原表达式的最大值。【详解】令，则，且，，由得，所以，当且仅当时取等号，结合，解得，即时取等号，所以，即的最大值为，故答案为：.考点07多次使用基本不等式37．已知正实数，，满足，则的最小值为（

）A． B．16 C．12 D．【答案】B【分析】根据已知等式，二次运用基本不等式进行求解即可.【详解】因为正实数，，满足，所以，因为，是正实数，所以，当且仅当时取等号，即当时，，又因为是正实数，所以，所以，当时取等号，又因为，当且仅当时取等号，即，当时取等号，所以，因此当，时，的最小值为.故选：B38．（多选）已知均为正实数，且，则（

）A．的最大值为B．的最小值为5C．的最小值为D．若，则的最小值为【答案】ACD【分析】对于A，利用基本不等式即可解得；对于B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案；对于C，将原式变化为，进而化简，然后设,，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案；对于D，两次使用基本不等式即可得到答案.【详解】对于A，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，的最大值为，A对；对于B，，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，的最小值为，B错；对于C，，设，，可得，则上式，当且仅当时，即当时，即当时，等号成立，所以，的最小值为，C对.对于D，因为，，所以，当且仅当时等号成立，与联立可得．又因为，由不等式的性质可得．又因为，当且仅当时等号成立．所以仅当时等号成立，综上，的最小值为.故选：ACD.39．已知均为正实数，且，则的最小值为___________．【答案】4【分析】由可得，所以原式可化为①，令，利用基本不等式求出的范围，则①式可化为，再次利用基本不等式求出的范围即可得解.（注意两次应用基本不等式，等号成立的条件必须相同）【详解】由可得，所以原式①.令，当时，，当且仅当，即时等号成立，所以.所以①式可化为原式.令，则，当且仅当，即，即时等号成立，所以，所以的最小值为4.故答案为：440．（多选）已知正数a，b满足，则（

）A．的最小值为6 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】BC【分析】对于A，根据条件，利用基本不等式，得到，即可求解；对于B，根据题意知，代入结合基本不等式即可判断；对于C，由代入得，再令，根据分式函数最值可得，接着即可判断；对于D，由，结合的最小值为，注意两次取等条件不一致即可判断．【详解】对于选项A，因为，且，所以，当且仅当时取等号，令，得到，解得或（舍），所以，的最小值为9，故A错误；对于B，由，则，，当且仅当，即时取等，所以的最小值为，故B正确；对于C，，，则，令，则，，，当且仅当，即时取等，则，，当且仅当时取等，故C正确；对于D，因为，当且仅当取等号，又，当且仅当,时取等号，又，所以，故D错误．故选：BC．考点08柯西不等式的应用41．已知，求的最大值．【答案】最大值为1【分析】方法一：应用三角换元法，再结合三角函数值域及两角和正弦公式得出最大值；方法二：应用柯西不等式计算求解.【详解】法一：（三角换元）令，，（，），，当且仅当，或者，时等号成立，故最大值为1．法二：（柯西不等式），当且仅当，或时等号成立．的最大值为1．42．（多选）函数的值可以是（

）A． B． C．3 D．5【答案】AB【分析】利用柯西不等式求出函数的最大值，结合选项，即可确定答案.【详解】由函数可知，故当且仅当，即时，取等号，则，令，则，而，其中为锐角，，结合，则，则在上单调递增，在上单调递减，而，故的最小值为1，即得，结合选项可知，符合题意，故选：AB43．（多选）设正实数满足，则以下说法正确的有（

）A．的最小值为 B．的最大值为C．的最大值为4 D．的最小值为【答案】AB【分析】对于A：利用消元法及配方法，即可得解；对于B：利用柯西不等式进行求解即可；对于C：利用消元法即可解决；对于D：利用基本不等式中“1的妙用”即可解决.【详解】对于A：，，所以当时，取得最小值，故A正确；对于B：即，当且仅当时，等号成立，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；对于C：，，故C错误；对于D：，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故D错误.故选：AB.44．实数满足，求的最小值．【答案】6400【分析】，根据的符号及柯西不等式进行求解．【详解】注意到，若，由柯西不等式，可得等号成立时；若，同理可得，等号成立时（如）；若，不妨设，则，等号成立时；若一正二负或一负二正时，不妨设，且，此时．综上，的最小值为6400．45．设，则的最小值为_____．【答案】/0.4【分析】根据柯西不等式的性质计算即可.【详解】由柯西不等式得，等号成立时．所以的最小值为．故答案为：.46．设，且，则的最大值为_____．【答案】/【分析】令，则，将已知条件变形为，根据柯西不等式可得的最大值.或者由对称性设，将条件变形为，再根据柯西不等式得，进而得到的最大值．【详解】解法1：令，则.所以已知条件可变形为．于是，当，即，即，即时，取得等号．解法2：由对称性，不妨设，则题设条件变形为．又，当且仅当时，取得等号．所以．故答案为：.考点09权方和不等式47．（1）若，且，则的最小值为________．（2）已知正实数满足，则的最小值为________．【答案】27【分析】（1）（2）根据给定条件，利用权方和不等式求出最小值.【详解】二元形式的权方和不等式：已知，则有：(当且仅当时取等号)；一般形式的权方和不等式：设，实数，则(当且仅当时取等号)．（1），，则，因此，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.（2）是正实数，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为27.故答案为：；2748．设、为正实数,且x+y=1.则的最小值为______.【答案】【详解】由柯西不等式得，当且仅当，即,时,等号成立.49．求的最大值为______________【答案】【分析】根据权方和不等式直接求解即可.【详解】当且仅当，即或时取等号故答案为：.50．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为____________.【答案】【详解】解法一：设，可解得，从而≥3当且仅当时取等号.故答案为：．解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：a21=1所以x+2y≥3+故答案为：．51．的最小值为________.【答案】/【分析】，进而利用权方和不等式可求最小值.【详解】，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.故答案为：.考点10利用对勾函数求最值52．已知数列满足，，数列满足，，则数列的最小值为__________．【答案】【分析】先对的递推式取倒数构造等差数列求，再用累加法求的通项，最后转化为对勾函数求正整数范围内的最小值.【详解】因为，，显然，对递推式两边取倒数得：，即，.所以数列是首项为，公差为的等差数列，因此，.又因为，时，即由累加法得：，，，验证时，符合上式，故，.令，，因为函数在上单调递减，在上单调递增，.所以数列在上单调递减，在上单调递增，因此当时数列取得最小值，当时，数列取得最小值，且，因此，当时数列取得最小值.53．若关于的不等式解集为，其中、，则的取值范围为________．【答案】【分析】由题意得出，所以，于是得出，令，可得，利用对勾函数的单调性求解即可.【详解】因为关于的不等式解集为，即不等式解集为，所以，所以，故，令，则，令，其中，由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，故，因此的取值范围是.54．已知实数满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，根据直线与圆的位置关系求出的范围，再利用对勾函数的单调性求最值.【详解】因为，所以原点在圆外，令，则，则直线与圆存在交点，则圆心到直线的距离为，得，则，因为在上单调递减，在上单调递增，所以，故的最小值是.故选：D55．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．是偶函数B．在上单调递增C．的值域为D．若，且，则【答案】ABD【分析】由奇偶性定义进行分析即可求解判断A；通过换元法转换函数并结合复合函数的单调性即可求解判断B；结合选项B由对勾函数单调性即可求解判断C；利用函数的偶函数性质结合基本不等式即可求解判断D.【详解】由题函数，定义域为R关于原点对称，又，所以是偶函数，故A正确；当时，函数为增函数，且，又函数为上的增函数，所以函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，故B正确；因为，当且仅当即时等号成立，所以，即的值域为，故C错误；因为函数是偶函数，且函数在上单调递增，所以若，且，则且，所以，当且仅当即时等号成立.故D正确.故选：ABD56．在数列中，，则的最小值为__________.【答案】【分析】运用累加法，结合等差数列前项和公式、对勾函数的单调性进行求解即可.【详解】，，，函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，，因此当，或，有最小值，即的最小值为.故答案为：考点11基本不等式的恒成立求参问题57．若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用乘“1”法和基本不等式可得最小值，即可得与有关不等式，解出即可得.【详解】由，则，当且仅当，即，时，等号成立，故，即，解得，即实数的取值范围是.58．若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________．【答案】【分析】根据“乘1法”可求的最小值，进而求解即可.【详解】由得，且，故，当且仅当即时等号成立.故问题转化为，即，解得，故实数m的取值范围为.59．若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________．【答案】【分析】根据基本不等式”1”的代换，可得的最小值，根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可得答案.【详解】由，得，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，则，解得，则的取值范围是.60．若满足且恒成立，则的取值范围是____________.【答案】【分析】先结合题意得到，再利用基本不等式得到，进而求出的最小值为，最后得到，求解参数范围即可.【详解】因为，且由基本不等式得，当且仅当时等号成立，所以，即，得到，解得，故的最小值为，要使恒成立，即成立，解得.

故答案为：.61．已知.(1)求的最大值；(2)当时，求关于的函数表达式；(3)若恒成立，求的取值范围.【答案】(1)2(2)(3)【分析】(1)将转化为同底，利用基本不等式即可得出的最大值；(2)利用指数式和对数式的互化即可求得关于的函数表达式；(3)转化题干条件，利用“1”的妙用结合基本不等式可求得的最小值，由恒成立可知的最小值大于，由此可求得的取值范围.【详解】（1）因为，，所以，所以，即，当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为2；（2）当时，，所以；（3）设，，则，，因为，当且仅当，时，等号成立，所以的最小值是，因为恒成立，所以，解得，即的取值范围是.考点12基本不等式的实际应用62．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为xm（）．(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围．【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低(2)【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解；（2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案.【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（），则屋子前面新建墙体长为，所以即，当且仅当，即时，等号成立，故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元；（2）由题意可知，当对任意的恒成立，即，所以，即，因为，当且仅当，，即时，的最小值为12，即，所以的取值范围是.63．某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长.(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围.【答案】(1)10米(2)【分析】（1）由题意建立甲工程队报价与左面墙的长度间的函数关系，再根据基本不等式求得最低报价及对应的左面墙的长度；（2）利用（1）的结论，列出不等式，分离参数，并根据基本不等式求得的取值范围.【详解】（1）设甲工程队的总报价为元，依题意，左、右两面墙的长度均为（）米，则长方体前面新建墙体的长度为米，所以，即，当且仅当，即时，等号成立.故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200元.（2）由题意可知，，即对