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第四章微分中值定理与导数应用1微分中值定理洛必达法则泰勒公式函数的单调性函数的极值与最值曲线的凹凸性函数图形的绘制§4.1微分中值定理一、罗尔（Rolle）定理

2观察图形罗尔（Rolle）定理

4

几何意义：ABabyOx

若一条连续的曲线弧除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，并且两个端点的纵坐标相等，则该曲线弧上至少存在一条水平切线．证结论显然成立二、拉格朗日(Lagrange)中值定理:

罗尔定理的第三个条件经常难以满足，若去掉第三个条件，如图所示，可得以下定理．ABabyxO

几何意义：若一条连续的曲线弧除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，则该曲线弧上至少存在一点处的切线平行于弦．证拉格朗日中值定理反映了函数在某区间上的平均变化率与该区间内某点处的变化率之间的关系，从而可以利用导数来研究函数．拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位，也称为微分中值定理．拉格朗日中值公式的等价形式:

推论1

证推论2由推论1可得例1证例2证例3分析证例4分析证例5分析证三、柯西(Cauchy)中值定理COAByx柯西(Cauchy

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