期末模拟考试（二）-2025-2026学年高二下学期人教A版数学【练习卷】含答案

第2页，共17页2025-2026学年高二下学期期末模拟考试（二）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（） A. B. C. D.2.复数的共轭复数是（） A. B. C. D.3.在中，在上且，设，，则（） A. B. C. D.4.的展开式中的系数是（） A. B. C. D.5.为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，我市物价部门对某商品在家商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到五对数据，经过分析、计算，得，，关于的经验回归方程为，则相应于点的残差为（） A. B. C. D.6.已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（） A. B. C. D.7.设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前次中甲恰好投篮次的概率为（） A. B. C. D.8.设函数，若恒成立，则的最小值为（） A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（） A. B. C. D.10.已知数列的前项和为，，则（） A.数列是递减数列 B.当且仅当时，取得最小值 C.数列是递减数列 D.当且仅当时，取得最小值11.已知是函数的极大值点，则（） A.函数的极小值为 B.若，则 C.若，则有个相异的零点 D.若（其中），则第二部分非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，内角所对的边分别为，若，，，则＿＿＿＿＿＿.13.为弘扬志愿者精神，某校举行“乐于助人”服务活动，现安排甲，乙等人到三个不同地方参加活动，每个地方至少人，若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有＿＿＿＿＿＿种.14.在棱长为个单位的正方体中，一个质点在随机外力的作用下从顶点出发，每隔秒等可能地沿着棱移动个单位，移动的方向是随机的.设第秒（）后，质点位于平面的概率为，则＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为数列的前项和，已知.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.16.如图，在长方体中，，，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17.某商场举行抽奖活动，抽奖箱中有大小相同的个小球，其中有个红球，个白球.顾客从中依次摸出个球，记摸到红球的个数为.（1）若采用不放回摸球，求的分布列与期望；（2）若采用有放回摸球，摸到一个红球可得积分分，摸到白球得分.设顾客获得的积分为，若商场希望顾客获得积分的期望不超过分，这种有放回的摸球规则是否符合商场要求？

18.已知椭圆的短轴长为，离心率为.（1）求的方程；（2）若，分别是的左、右顶点，不与轴垂直的动直线与交于，两点（不同于，），且直线的斜率等于直线的斜率的倍，求证：直线经过定点.19.已知函数.（1）若是增函数，求的取值范围；（2）证明：当时，.2025-2026学年高二下学期期末模拟考试（二）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）答案速查表12345DABDA678910ACBABDBD1112131415ACD73049、（1）an=16171819（1）证明见解析（2）2（1）分布列见解析，E(X（1）x24（1）(0,第一部分选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|-4< A.{x|-4<x<3 C.{0,1,2}【答案】D【解析】集合A={x|-4<【点拨】本题考查集合的交集运算，注意不等式端点值的取舍.2.复数21 A.1-i B.1+i C.-1-i【答案】A【解析】因为21-i=2(【点拨】本题考查复数的除法运算及共轭复数的概念，分子分母同乘分母的共轭复数是解题关键.3.在△ABC中，D在BC上且DC=3BD，设AB=a A.14a+34b C.23a+13b【答案】B【解析】如图，在△ABD中，D在BC上且DC=3BD，所以BD=14BC.则AD=【点拨】本题考查平面向量的线性运算，利用三角形法则将未知向量转化为已知向量的线性组合.4.(x2+ A.1 B.2 C.4 D.6【答案】D【解析】二项展开式的通项为Tk+1=C4k⋅(x【点拨】本题考查二项式定理，写出通项公式并令未知数的指数等于目标指数是通法.5.为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，我市物价部门对某商品在5家商场的售价x（元）及其一天的销售量y（件）进行调查，得到五对数据(xi,yi)(i=1,2,3 A.-1 B.1 C.-3 D.【答案】A【解析】因为回归直线过样本点中心(x,y)即(10,8)，将其代入y=-3x+【点拨】本题考查经验回归方程及残差的计算，牢记回归直线必过样本中心点.6.已知函数f(x)=lnxx+a，曲线 A.-12 B.-14 C.12【答案】A【解析】由f(x)=lnxx+a可得f'(x)=1x(x+【点拨】本题考查导数的几何意义，切线斜率即为函数在该点处的导数值.7.设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为13与23，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前4次中甲恰好投篮 A.427 B.827 C.1027 【答案】C【解析】甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为13，23，则甲、乙两人每次未投进篮球的概率分别为23，13，根据题意，前第一次乙投进第二、三次甲均未投进第四次甲投篮，其概率为12第一次甲投进第二次乙投进第三次甲未投进第四次甲投篮，其概率为12第一次甲未投进第二次甲投进第三次乙投进第四次甲投篮，其概率为12第一、二次甲未投进第三次甲投进第四次乙投篮，其概率为12则前4次中甲恰好投篮3次的概率为427【点拨】本题考查相互独立事件的概率乘法公式与互斥事件的概率加法公式，利用分类讨论思想列出所有可能情况是关键.8.设函数f(x)=(ax- A.-1 B.-1e C.1e【答案】B【解析】令f(x)=0，可得x=1a或eb，由题意可知，1a=eb，得b=-lna，将b=-lna代入ba，可得ba=-lnaa，令g(a)=-lnaa，求导得g【点拨】本题考查利用导数研究函数的最值，将恒成立问题转化为两零点相等是破题的核心.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.设随机变量X∼N( A.μ1<μ2 B. C.σ1>σ2【答案】ABD【解析】X∼N(μ1,σ12)，Y∼N(μ2,σ22)，【点拨】本题考查正态分布密度曲线的性质，位置决定均值，形态（高瘦或矮胖）决定方差.10.已知数列{an}的前n项和为S A.数列{a B.当且仅当n=7时， C.数列{S D.当且仅当n=7时，【答案】BD【解析】对于A选项，因为a6=-43，a7=-5，a8=6，则a6>a7<a8，故数列{an}不单调，A错；对于B选项，an=n-22n-15=12(2n-15)+1122n-15=12+112(2n【点拨】本题考查数列的单调性与前n项和的最值，利用分离常数法分析数列的单调性是解题关键.11.已知x=-1是函数 A.函数f(x B.若-1< C.若0<m<1e D.若f(x1)=【答案】ACD【解析】对于A中，由函数f(x)=(x2+a)e2x，可得f'(x)=2(x2+x+a)e2x，因为x=-1是f(x)的极大值点，所以f'(-1)=0，解得a=0，所以f(x)=x2e2x，可得f'(x)=2x当0<m<1e2时，y=f(x)-m有3个相异零点，所以C正确；对于D中，因为-1<x1<0<x2，要证x1+x2<0，只需证明x2<-x1，由f(x)在【点拨】本题考查利用导数研究函数的极值、零点及极值点偏移问题，构造极值点偏移的辅助函数g(第二部分非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c【答案】7【解析】由余弦定理得a2=b2+【点拨】本题考查余弦定理的应用，直接代入公式即可求解.13.为弘扬志愿者精神，某校举行“乐于助人”服务活动，现安排甲，乙等4人到三个不同地方参加活动，每个地方至少1人，若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有＿＿＿＿＿＿种.【答案】30【解析】安排甲，乙等4人到三个不同地方参加活动，每个地方至少1人，则将4人按2,1,1分组，若不考虑限制条件，则此时不同的安排方式有C4【点拨】本题考查排列组合的分组分配问题，采用“正难则反”的间接法（总数减去甲乙同地的情况）更为简便.14.在棱长为1个单位的正方体ABCD-A1B1C1D1中，一个质点在随机外力的作用下从顶点A1出发，每隔1秒等可能地沿着棱移动1个单位，移动的方向是随机的.设第n秒（【答案】49；【解析】正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点分居在两层：上底面A1B1C1D1和下底面ABCD内，每个顶点有3条棱连接到相邻顶点，移动方向等可能，概率为13，因此质点在同层内移动到另一顶点的概率为23，质点移动到另一层顶点的概率为13，第n秒后，质点位于平面ABCD的概率为pn，位于平面A1B1C1【点拨】本题考查马尔可夫链与递推数列的综合，根据状态转移建立递推关系式pn四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.Sn为数列{an}的前（1）求{a（2）设bn=1anan【答案】（1）an=【解析】解：（1）由an可得an+12+a由②-①得an即an+∵an>又当n=1时，得a解得a1可得数列{an}是首项为2，公差为1即an=（2）由（1）知bn=1可得bn=因此Tn=1可得Tn=【点拨】本题考查由Sn与an的关系求通项以及裂项相消法求和，利用an16.如图，在长方体ABCD-A1B1C1（1）求证：AE⟂（2）求直线B1D1【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为由题意得A(3,0,0)，E∴AE=(-3,1∴AE⋅B∴AE⟂（2）设平面ABE的法向量为n=(A(3,0,又AB=(0,3,则n⋅∴y=0，取x∴平面ABE的一个法向量为n=(1,又B1设直线B1D1与平面ABE∴sinθ=|cos⟨B即直线B1D1与平面ABE所成角的正弦值为【点拨】本题考查空间向量在立体几何中的应用，建系求出平面法向量是求线面角的通用方法.17.某商场举行抽奖活动，抽奖箱中有大小相同的10个小球，其中有3个红球，7个白球.顾客从中依次摸出2个球，记摸到红球的个数为X.（1）若采用不放回摸球，求X的分布列与期望；（2）若采用有放回摸球，摸到一个红球可得积分200分，摸到白球得0分.设顾客获得的积分为Y，若商场希望顾客获得积分的期望不超过250分，这种有放回的摸球规则是否符合商场要求？【答案】（1）分布列见解析，E(X【解析】解：（1）依题意，X的所有可能取值为0,1,P(X=P(X=P(X=所以X的分布列为：X012P771…………7分E(X（2）若采用有放回摸球，每次摸到红球的概率为p=310设摸到红球的个数为Z，则Z∼B(所以E(Z由题意知，顾客获得的积分Y=200Z，所以E(Y)=因为120<250，所以这种有放回的摸球规则符合商场要求.【点拨】本题考查超几何分布与二项分布的期望计算，注意区分有放回与不放回抽样的概率模型差异.18.已知椭圆C:x2a2（1）求C的方程；（2）若A1，A2分别是C的左、右顶点，不与x轴垂直的动直线l与C交于P，Q两点（不同于A1，A2），且直线A1P的斜率等于直线【答案】（1）x24【解析】解：（1）由题意得：2b=2⇒ca=32⇒即椭圆方程C:x2（2）设直线l方程为y=kx+m，与椭圆(4k2其中Δ=16设P(x1,y由已知得：y1x1再化简得：(2代入得：(2k2整理得：(2k因为直线l不经过点A1(-2即2k-3m=所以直线l的方程为y=因此直线l经过定点(-23【点拨】本题考查直线与椭圆的综合问题，利用韦达定理和斜率关系化简得到参数之间的关系是解决定点问题的通法.19.已知函数f(（1）若f(x)（2）证明：当a>1时，【答案】（1）(0,【解析】解：（1）函数的定义域为(0,+∞)，求导得f'因为f(x)是增函数，所以f即aex-a≥即x+lnx≥令g(x)=x+ln又g(x)≥g(1a又因为真数xa>0，x所以a的取值范围为(0,（2）证明：要证f(x)>即证aex-令h(t)=et+t原不等式等价于h(即证x-a+lna>ln令φ(x)=当x∈(0,1)时，φ'(x)<所以φ(又因为a>1，所以所以x-lnx≥1，而回到f'(x)=a令u(a)=ae1-又f'(a)=1即aex0-a=1当x∈(0,x0)时，f'(x所以f(x)因为x0∈(1所以f(x)>【点拨】本题考查导数的综合应用，第二问利用隐零点代换求函数的最值是解决复杂