期末模拟考试（三）-2025-2026学年高二下学期人教A版数学（含解析）

第2页，共17页2025-2026学年高二下学期期末模拟考试（三）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（） A. B. C. D.2.已知某批零件的直径（单位：毫米）服从正态分布．若，则从这批零件中任意抽取1个零件，该零件的直径大于11毫米的概率为（） A.0.35 B.0.15 C.0.3 D.0.1753.已知等比数列，则该等比数列的第6项是（） A. B. C. D.4.的展开式的第4项的系数是（） A. B. C. D.5.某旅行社设计了4条不同的旅游路线，小夏要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出游，则不同的出游方法有（） A.24种 B.16种 C.12种 D.6种6.A，B两种品牌的某种型号钢笔的市场占有率如图所示，且A，B两种品牌的钢笔的次品率分别为4%和．若市场上这种型号钢笔的次品率为2.5%，则（） A.1 B.2 C.3 D.47.函数图象上的点到直线的距离的最小值为（） A. B. C. D.8.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（） A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.若，则（） A. B. C. D.10.已知随机变量的分布列如下表：12345其中成等比数列，则下列结论正确的是（） A.成等差数列 B. C. D.11.已知函数的定义域为，若，且，则下列选项正确的是（） A. B. C.函数为奇函数 D.第二部分非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的重量（吨）的相关性，在生产过程中收集了6组对应数据，如下表所示．根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，则＿＿＿＿＿＿．2345671.52345.513.有6张卡片，分别标有数字1,2,3,4,5,6．现从这6张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和比剩余的3张卡片上的数字之和小3的概率为＿＿＿＿＿＿．14.已知函数．若方程有3个实数根，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知为等差数列的前项和，满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．

16.甲、乙两人进行赛马，比赛规则如下：甲、乙各挑选3匹马（马匹各不相同），每场比赛甲、乙均从各自挑选的马匹中挑选一匹本次比赛未上场的马进行比赛，三场比赛结束即为本次比赛结束，三场比赛依次进行，胜利场数多的一方获得本次比赛的胜利，每场比赛均只有胜负，且胜利与否互不影响．在所有马匹中，有一匹快马，记为马．经统计，在所有比赛中，参赛者的胜负情况和选择马与否的情况如下表所示．单位：场选择马与否参赛者的胜负情况（胜）参赛者的胜负情况（负）合计选择481260未选择221840合计7030100（1）完成列联表，并依据的独立性检验，能否认为参赛者的胜负和选择马与否有关联？（2）由于马匹的不同，马参加比赛的场次会进行调整．根据以往的数据统计，参赛者选择马参与比赛时，安排马参加第一场、第二场、第三场比赛的概率分别为，相应参赛者获得本次比赛胜利的概率分别为．当参赛者选择马参加比赛时，在参赛者获得本次比赛胜利的条件下，求参赛者安排马参加的是第一场比赛的概率．附：，．0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828

17.现有8款不同的高难度智力扣，每名学生随机抽取3款进行破解．已知甲学生只能破解其中的4款，设甲学生抽到能破解的智力扣的数量为．（1）求；（2）求的分布列与数学期望．18.某产品生产共有道工序，每道工序优秀的概率均为，各道工序之间相互独立．当该产品有不少于道工序优秀时，该产品为优品．记产品为优品的概率为．（1）设．①求该产品优秀工序的道数的分布列和数学期望；②求．（2）若该产品现共有7道工序，每件优品的利润为90元．因市场上产品更新换代的速度很快，工厂决定优化该产品，每件产品增加2道工序，增加工序后，单位时间内的产量是原来产量的2倍，并将优品分为一级优品和二级优品，二级优品产量占优品总产量的，且每件二级优品的利润是90元，每件一级优品的利润是180元．①设该产品增加工序前单位时间内的产量为件，记该产品增加工序后单位时间内生产的优品利润之和为元，试用表示；②若该产品增加2道工序后产品为优品的概率变大，求的取值范围．

19.若函数满足定义域为，，且，则称为“对乘函数”，为的“对乘系数”．（1）试判断函数是否为“对乘函数”．若是，求出的“对乘系数”；若不是，请说明理由．（2）已知是“对乘系数”为的“对乘函数”，证明：．2025-2026学年高二下学期期末模拟考试（三）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）答案速查表12345DBABC678910BCDADAD1112131415ABD6.230（1）an=16171819（1）认为有关（2）63（1）12（2）分布列见解析；（1）①分布列见解析；E(X)=53②1781（1）是，对乘系数为0（2）证明见解析第一部分选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x A.{0,2,4,6,8} B.{【答案】D【解析】∵集合B表示非负偶数集，即B={又A={∴A∩【点拨】本题考查集合的交集运算以及描述法的理解，注意集合B中的元素为非负偶数是解题关键.2.已知某批零件的直径X（单位：毫米）服从正态分布N(10,σ2)．若 A.0.35 B.0.15 C.0.3 D.0.175【答案】B【解析】由题意可知，正态分布的均值μ=∵P(9≤X≤∴P(【点拨】本题考查正态分布曲线的对称性，利用对称性求出目标区间的概率是常用方法.3.已知等比数列12,6, A.38 B.116 C.316 【答案】A【解析】已知等比数列的首项a1=12，第2项∴公比q=则该等比数列的第6项a6【点拨】本题考查等比数列的通项公式，先求出公比，再代入公式计算即可.4.(2a+3b) A.C64×22×34 B.C63【答案】B【解析】二项式(2a+3b)6令r=3，可得展开式的第4项为∴第4项的系数是C6【点拨】本题考查二项式定理的通项公式，注意第4项对应的是r=5.某旅行社设计了4条不同的旅游路线，小夏要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出游，则不同的出游方法有（） A.24种 B.16种 C.12种 D.6种【答案】C【解析】从4条不同的旅游路线中任选2条，分别在7月和8月出游，这是一个排列问题，不同的出游方法有A42【点拨】本题考查排列组合的基础应用，由于7月和8月是两个不同的时间，选出的路线有顺序区别，故用排列数计算.6.A，B两种品牌的某种型号钢笔的市场占有率如图所示，且A，B两种品牌的钢笔的次品率分别为4%和a%．若市场上这种型号钢笔的次品率为2.5%，则a A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】设从市场上任取一支该型号钢笔，它是次品为事件C，它是A品牌为事件A，它是B品牌为事件B，由扇形图可知，P(A)=已知P(C|由全概率公式可得，市场上这种型号钢笔的次品率P(即2.5%=解得a=【点拨】本题考查全概率公式的实际应用，能够从扇形图中提取先验概率，并结合条件概率列出方程是解题关键.7.函数f(x)=x2- A.2 B.22 C.32 D.【答案】C【解析】设函数f(x)=x2-3lnx由f(x)=x令f'(x0解得x0=1或x当x0=1时，y0此时该切点到直线x+y最小值为d=【点拨】本题考查导数的几何意义及点到直线的距离.曲线上点到直线距离的最小值，通常转化为求与已知直线平行的切线切点到该直线的距离.8.若不等式axex-a≤1对任意x A.[0,1] B.[0,+∞) C.【答案】D【解析】不等式axex-a≤1令h(x)=ax若a>0，当x<1时，h'(x)>0，h(x∴h(要使h(x)≤1设φ(a)=a当a>0时，φ'(a)>0，φ(a)单调递增，又φ（若a=0，h若a<0，当x<0时，ax>0，ea-x综上，a的取值范围是[0【点拨】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题.将不等式转化为函数的最值问题，分类讨论参数a的符号，结合极限思想分析函数的值域是解题的关键.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.若(2x A.a B.a C.a D.a【答案】AD【解析】已知(2x令x=-1，则(-2+1)令x=0，则∴a1+a令x=-2，则将x=0和x=-2∴a0+a将原式左边变形为(2(x+1)-1)【点拨】本题考查二项式定理中的赋值法.通过巧妙地对变量x赋特殊值（如-110.已知随机变量X的分布列如下表：X12345P1p1p3其中116, A.p1,14,p2 C.P(2<X<5【答案】AD【解析】由分布列的性质可知，所有概率之和为1，即116+p1又∵116,p1∵概率p1≥0，∴p将p1=18代入p对于A，p1+p2=18+38=1对于C，P(2<对于D，E(X)=【点拨】本题考查离散型随机变量的分布列性质及数学期望的计算，结合了等差、等比数列的定义.注意概率值必须非负.11.已知函数f(x)的定义域为R，若f( A.f（0）=1 C.函数f(x)为奇函数 【答案】ABD【解析】已知f(令x=y=0令x=y=1两式相减可得[f又∵f（0）≠对于B，令x=1,y即f（1）=f（1）[对于A，由f（0）=[f（0）]解得f（0）=0若f（0）=0，则f（∴f（0）=对于C，令x=0，得∵f（0）=1,f（1）=对于D，∵f(x)是偶函数，∴f令x=1，得即f(∵f(x)∴f(1+y进而f(说明函数f(x)在一个周期内，f（∴n=1100【点拨】本题考查抽象函数的性质（奇偶性、周期性、求值）.利用赋值法，通过巧妙选取x,y第二部分非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的重量y（吨）的相关性，在生产过程中收集了6组对应数据(x,y)，如下表所示．根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为y=x234567y1.52345.5m【答案】6.2【解析】由表中数据可计算得样本平均数：x=y=∵经验回归直线y=x-0.8∴16+m解得16+m=22.2，即【点拨】本题考查线性回归方程的性质。经验回归直线一定经过样本中心点(x13.有6张卡片，分别标有数字1,2,3,4,5,6．现从这6张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和比剩余的3张卡片上的数字之和小3的概率为＿＿＿＿＿＿．【答案】3【解析】6张卡片上的数字总和为1+设抽出的3张卡片上的数字之和为x，则剩余的3张卡片上的数字之和为21-由题意得x=(21-x从6张卡片中随机抽出3张，共有C63要使抽出的3张卡片上的数字之和为9，可能的组合有：(1,2,6)，∴所求概率P=【点拨】本题考查古典概型的概率计算.先利用整体和与部分和的关系求出目标和，再用列举法找出符合条件的组合数，最后套用古典概型公式即可.14.已知函数f(x)=10-10ex+1．若方程f【答案】0【解析】已知f(则f(-∴f(∵f(x)=10-10ex+1，随着x的增大，ex+方程faex+f∵f(x)在R即a=(方程有3个实数根，即函数g(x)=(x2-3)求导得g'令g'(x)=0，得x当x<-3时，g'(x)>0，g(x)单调递增；当-3<x<1∴g(x)的极大值为g(-又当x→-∞时，g画出g(x)的大致图象可知，要使直线y=a与g(x∴a的取值范围为0,【点拨】本题考查利用导数研究方程根的个数.通过分析函数的奇偶性（或对称性）与单调性，将抽象函数方程转化为具体函数方程，再分离参数构造新函数，利用导数求极值并结合极限思想画出草图是解决此类问题的标准流程.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足（1）求数列{an（2）若bn=2an,n为奇数8ana【答案】（1）an=【解析】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1由a2+a4=12，得由S4=20，得4a1联立解得a1=∴an=（2）由（1）得b即bn=当n为偶数时，bn=数列{bn}的前2n项和其中奇数项之和为：b1+偶数项之和为：b2+∴T2n=【点拨】本题考查等差数列的通项公式及分组求和法.对于分段定义的数列求和，通常采用分组求和法，将奇数项和偶数项分别求和，其中偶数项求和用到了裂项相消法，奇数项求和用到了等比数列求和公式.16.甲、乙两人进行赛马，比赛规则如下：甲、乙各挑选3匹马（马匹各不相同），每场比赛甲、乙均从各自挑选的马匹中挑选一匹本次比赛未上场的马进行比赛，三场比赛结束即为本次比赛结束，三场比赛依次进行，胜利场数多的一方获得本次比赛的胜利，每场比赛均只有胜负，且胜利与否互不影响．在所有马匹中，有一匹快马，记为K马．经统计，在所有比赛中，参赛者的胜负情况和选择K马与否的情况如下表所示．单位：场选择K马与否参赛者的胜负情况（胜）参赛者的胜负情况（负）合计选择481260未选择221840合计7030100（1）完成2×2列联表，并依据α=0.01的独立性检验，能否认为参赛者的胜负和选择（2）由于马匹的不同，K马参加比赛的场次会进行调整．根据以往的数据统计，参赛者选择K马参与比赛时，安排K马参加第一场、第二场、第三场比赛的概率分别为13,27,821，相应参赛者获得本次比赛胜利的概率分别为34,附：χ2=nα0.100.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，认为参赛者的胜负和选择K马与否有关(2)63【解析】解：(1)补充完整的2×2列联表如下：选择K马与否参赛者的胜负情况（胜）参赛者的胜负情况（负）合计选择481260未选择221840合计7030100…………3分零假设为H0：参赛者的胜负和选择K由表中的数据得χ2∵7.143>6.635，则依据α=0.01的独立性检验，可以推断假设不成立，即认为参赛者的胜负和选择K(2)设事件A1=“参赛者安排K马参加第一场比赛”，事件A2=“参赛者安排K马参加第二场比赛”，事件A3由题意知，P(P(当参赛者选择K马参加比赛时，参赛者获得本次比赛胜利的概率为：P=1=1当参赛者选择K马参加比赛时，在参赛者获得比赛胜利的条件下，参赛者安排K马参加的是第一场比赛的概率为：P(=1【点拨】本题考查独立性检验以及全概率公式与条件概率（贝叶斯公式）的应用。第二问中，明确“原因”事件（安排在第几场）和“结果”事件（获得胜利），理清条件概率的关系是解题关键。17.现有8款不同的高难度智力扣，每名学生随机抽取3款进行破解．已知甲学生只能破解其中的4款，设甲学生抽到能破解的智力扣的数量为X．（1）求P(（2）求X的分布列与数学期望．【答案】（1）12（2）分布列见解析，【解析】解：（1）由题意可知，甲学生能破解的智力扣有4款，不能破解的也有4款．从8款中随机抽取3款，抽到能破解的数量X服从超几何分布．P(XP(XP(X∴P(X（2）X的所有可能取值为0,1,2,3．P(XP(X∴X的分布列为：X0123P1331…………13分数学期望E(【点拨】本题考查超几何分布的概率计算、分布列及数学期望。识别出模型为超几何分布是解题的基础，计算时注意组合数的准确性。18.某产品生产共有2n-1(n∈N+)道工序，每道工序优秀的概率均为p（1）设p=①求该产品优秀工序的道数X的分布列和数学期望；②求p3（2）若该产品现共有7道工序，每件优品的利润为90元．因市场上产品更新换代的速度很快，工厂决定优化该产品，每件产品增加2道工序，增加工序后，单位时间内的产量是原来产量的2倍，并将优品分为一级优品和二级优品，二级优品产量占优品总产量的13，且每件二级优品的利润是90元，每件一级优品的利润是180①设该产品增加工序前单位时间内的产量为x件，记该产品增加工序后单位时间内生产的优品利润之和为Y元，试用x,p5表示②若该产品增加2道工序后产品为优品的概率变大，求p的取值范围．【答案】（1）①分布列见解析，E(X)=53②p3【解析】解：（1）①当n=3时，工序总数为2∵每道工序优秀的概率均为p=13，且相互独立，∴X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5．PP(XX的分布列为：X012345P32808040101…………4分数学期望E(②由题意，有不少于3道工序优秀时为优品，∴p3(2)①增加工序前产量为x，增加后产量为2x增加2道工序后，产品总工序数为9，优品概率为p5（因为2单位时间内生产的优品数量的期望为2x其中一级优品占23，二级优品占1∴利润之和的期望E(=2x②增加2道工序前，工序数为7（即n=4），优品概率为p4；增加后工序数为9，优品概率为由题意知p5p4增加2道工序后，要成为优品（至少5道优秀），可以分为以下情况：前7道中至少有5道优秀（概率为P(前7道中恰有4道优秀（概率为C74p前7道中恰有3道优秀（概率为C73p∴p5又∵p4∴p=-=-C∵C7p5要使p5>p∵0<p<1，∴∴只需2p-1>0，解得∴p的取值范围是12【点拨】本题考查二项分布的概率计算及期望，以及概率递推关系的推导。第二问中，利用全概率公式思想，将增加工序后的优品概率与增加前的概率建立联系，通过作差法比较大小是解决此类问题的经典技巧。19.若函数f(x)满足定义域为N+，∀x∈N+,lnf(x)≤1，且（1）试判断函数f(x)=1+1（2）已知f(x)是“对乘系数”为m【答案】（1）是，对乘系数为0（2）证明见解析【解析】解：（1）对于f(lnf设g(令h(x)=ln(x∴h(x)在(0,+∞)上单调递减，当∴h(x)>0同理可证ln