期末模拟考试（五）-2025-2026学年高二下学期人教A版数学（含解析）

第2页，共17页2025-2026学年高二下学期期末模拟考试（五）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（） A.60 B.84 C.100 D.1202.从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的期望为（） A. B.2 C. D.3.已知随机变量，，则（） A.0.15 B.0.2 C.0.3 D.0.354.曲线在处的切线方程为（） A. B. C. D.5.已知且，则二项式的展开式中，常数项为（） A.-24 B.-6 C.6 D.246.某学校有两家餐厅，某同学连续三天午餐均在学校用餐.如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为.若该同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则该同学第3天去餐厅用餐的概率为（） A. B. C. D.7.已知等差数列的前项和为，若，则（） A.100 B.110 C.115 D.1208.若函数的图像与直线恰有两个公共点，则的取值范围为（） A.或 B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.下列说法错误的是（） A.两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1 B.甲、乙两个模型的决定系数分别为0.98和0.82，则模型甲的拟合效果更好 C.对于经验回归方程，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加2个单位 D.在回归分析模型中，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越好10.现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（） A.没有空盒子的方法共有24种 B.可以有空盒子的方法共有256种 C.恰有1个盒子不放球的方法共有288种 D.没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种11.已知函数，则下列结论正确的是（） A.当时，有两个极值点 B.当时，在处取得极大值 C.若满足，则的最小值为 D.若存在极大值点，且，其中，则第二部分非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.甲将一枚硬币向上抛出10次，每次落下时正面朝上的概率为，用表示落下时正面朝上的次数，则的期望＿＿＿＿＿＿.13.已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式＿＿＿＿＿＿.14.已知函数，若存在两个零点，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）某大型学校有初中学生2400人，高中学生1600人.学校为了解学生的体育锻炼习惯，采用按比例分配的分层抽样方式从中抽取100人进行问卷调查.将每天体育锻炼时长小时视为锻炼达标，整理出如下列联表：是否达标学段合计初中高中达标28不达标24合计6040100（1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生体育锻炼达标情况是否与学段（初中、高中）有关联.（结果保留小数点后三位）（2）如果将上面列联表中的所有数据都扩大为原来的10倍，依据小概率值的独立性检验，分析学生体育锻炼达标情况是否与学段（初中、高中）有关联.（结果保留小数点后三位）附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816.（15分）在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列.（1）求；（2）求展开式中二项式系数最大的项.17.（15分）新能源汽车发展非常迅速，某地区2017年至2024年（年份代码分别记为：1,2,3,4,5,6,7,8）某品牌新能源汽车的科研经费投入和销售量统计如下：年份代码12345678科研经费(单位:百亿元)2361013151821销售量(单位:百万辆)1122.53.53.54.56参考数据：，，，.参考公式：相关系数，，.（1）根据样本数据，计算科研经费与销售量之间的样本相关系数，并推断它们的线性相关程度（结果精确到0.01）；（2）根据样本数据，求销售量关于科研经费的线性回归方程（用分数表达）.18.（17分）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和丙的概率分别为和，乙传给甲和丙的概率分别为和，丙传给甲和乙的概率分别为和.（1）求第1次和第2次传球后球在乙手中的概率；（2）求第次传球后球在乙手中的概率；（3）记第次传球时，乙接到的次数为，则服从两点分布，且，，设前次传球后，乙接到球的总次数为，且总成立，求实数的最小值.19.（17分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，设正项数列满足：.（i）证明：；（ii）记数列的前项和为，证明：.2025-2026学年高二下学期期末模拟考试（五）数学（解析卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）答案速查表12345CCCAC678910BBCACDAB1112131415ACD22(（1）没有充分证据推断学生体育锻炼达标情况与学段有关联（2）有充分证据推断学生体育锻炼达标情况与学段有关联16171819（1）n=7（1）r≈0.98，线性相关程度很强（1）第1次13，第2次29（2）p（1）当m≤0时，单调递增区间为(-1,+∞)；当m>0时，单调递增区间为(-1第一部分选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（） A.60 B.84 C.100 D.120【答案】C【解析】从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选3个数字组成无重复数字的三位数，由于首位不能为0，可分步进行：第一步，确定百位数字，从1，2，3，4，5中任选1个，有C51第二步，确定十位和个位数字，从剩下的5个数字中任选2个进行排列，有A52根据分步乘法计数原理，共有5×20【点拨】本题考查排列组合的基础应用.处理含“0”的排数问题时，“首位不为0”是核心限制条件，优先安排受限元素（首位）是常用策略.2.从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的期望为（） A.43 B.2 C.83 D.【答案】C【解析】设取出2个球所得分数为X，则X的可能取值为2（两白），3（一白一红），4（两红）.P(P(P(∴E(【点拨】本题考查超几何分布的数学期望.也可利用期望的线性性质求解：每次摸取红球的概率为13，白球的概率为23，每次得分的期望为2×13.已知随机变量X∼N(100,σ A.0.15 B.0.2 C.0.3 D.0.35【答案】C【解析】∵随机变量X∼N(100∵P(X≥90由正态曲线的对称性可知，P(∴P(【点拨】本题考查正态分布曲线的对称性.利用μ为对称中心，将所求区间的概率转化为已知区间的概率是解题关键.4.曲线f(x)=x3- A.x-y-2=0 B.x+y-2【答案】A【解析】由f(x)=x3-2x求导得f'∴切线的斜率k=由点斜式可得切线方程为y-(-1)=1【点拨】求曲线在某点处的切线方程，需严格遵循“三步曲”：一求切点坐标（代入原函数），二求导函数，三代入横坐标求切线斜率.5.已知X∼N(3,4)且 A.-24 B.-6 C.6 D.24【答案】C【解析】∵X∼N(3,又P(X<a)=P(X>5)，由对称性可知a∴二项式为(1其展开式的通项为Tr令2r-4=0∴展开式中的常数项为C4【点拨】本题综合考查了正态分布的对称性与二项式定理.确定参数a后，写出二项展开式的通项公式，分离系数与变量是求特定项的标准流程.6.某学校有A,B两家餐厅，某同学连续三天午餐均在学校用餐.如果某天去A餐厅，那么第2天还去A餐厅的概率为23；如果某天去B餐厅，那么第2天还去B餐厅的概率为34.若该同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则该同学第3天去 A.1124 B.127288 C.1324 【答案】B【解析】设第n天去A餐厅用餐为事件An，去B餐厅用餐为事件B由题意知，P(A1且P(An+1|A第2天去A餐厅的概率为：P(第2天去B餐厅的概率为：P(第3天去A餐厅的概率为：P(【点拨】本题考查全概率公式在马尔可夫链模型中的应用.画出树状图，理清每天状态转移的条件概率，逐层递推计算是避免出错的有效方法.7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a A.100 B.110 C.115 D.120【答案】B【解析】在等差数列{ana3∵a3=7,a9=由等差数列前n项和公式得：S11【点拨】本题考查等差数列的性质与前n项和公式.熟练运用“若m+n=p8.若函数f(x)=(x+1)ex A.a≥0或a=-1e C.-1e2<a【答案】C【解析】由f(x)=(x令f'(x)=当x<-2时，f'(当x>-2时，f'(∴f(x)在x=-2又当x→-∞时，f(x)→0且f(x画出f(x)的大致图像，可知要使直线y=a需满足-1【点拨】本题考查利用导数研究函数的极值与图像.处理方程根的个数问题，通常转化为两个函数图像的交点问题，准确画出函数草图（特别是注意极限趋势）是关键.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.下列说法错误的是（） A.两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r越接近于1 B.甲、乙两个模型的决定系数R2 C.对于经验回归方程y=2-3x，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量 D.在回归分析模型中，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越好【答案】ACD【解析】对于A，两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r的绝对值|r|越接近于1，而不是r越接近于1（r对于B，决定系数R2越大，模型的拟合效果越好.∵0.98对于C，对于经验回归方程y=2-3x，回归系数b=-3，表示当解释变量x对于D，在回归分析模型中，残差平方和越小，决定系数R2本题选错误的，故选ACD.【点拨】本题考查统计学中的基本概念.需准确区分相关系数r（符号表示正负相关，绝对值表示相关强弱）与决定系数R210.现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（） A.没有空盒子的方法共有24种 B.可以有空盒子的方法共有256种 C.恰有1个盒子不放球的方法共有288种 D.没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种【答案】AB【解析】对于A，没有空盒子，意味着4个小球分别放入4个盒子，即4个小球的全排列，共有A44对于B，可以有空盒子，即每个小球都有4种选择，共有44=对于C，恰有1个盒子不放球，说明另外3个盒子都有球.由于共有4个球，则必然有1个盒子放2个球，其余2个盒子各放1个球.先从4个盒子中选1个作为空盒，有C41种；再从4个球中选2个捆绑在一起，有C42种；最后将捆绑后的球和剩下的2个球放入选定的3个盒子中全排列，有A33对于D，恰有一个小球放入自己编号的盒子，先选定这个小球和对应的盒子，有C41=4种方法；剩下的3个小球放入剩下的3个盒子且均不能放入自己编号的盒子（即3个元素的错排），错排数为2种.共有【点拨】本题综合考查排列组合的经典模型.“恰有空盒”对应分组分配问题（先分组后分配），“放入自己编号”对应错排问题.11.已知函数f( A.当a>-1时，f B.当a=2时，f(x) C.若f(x)满足f(2-x D.若f(x)存在极大值点x0，且f(x【答案】ACD【解析】由f(x)=x对于A，f(x)有两个极值点等价于f'(x)=0有两个不相等的实数根，即对于B，当a=2时，f'(x)=3x2-6x=3x(x-2).令f'(x)=0得x=0对于C，若f(2-x)+f(x)=2，则函数f(x)的图像关于点(1,1)对称.又三次函数的对称中心横坐标为x=--33×1=对于D，若f(x)存在极大值点x0，设极小值点为x2，则x0,x2是f'(x)=0的两根，且x0<x2，x0+x2=--63【点拨】本题考查三次函数的综合性质.需熟练掌握三次函数的导数与极值的关系、对称中心坐标公式、以及极值点与函数值相等的另一交点横坐标之间的比例关系.第二部分非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.甲将一枚硬币向上抛出10次，每次落下时正面朝上的概率为15，用X表示落下时正面朝上的次数，则X的期望E(【答案】2【解析】由题意可知，甲抛掷硬币10次，每次正面朝上的概率均为p=因此，落下时正面朝上的次数X服从二项分布，即X∼根据二项分布的数学期望公式，可得E(【点拨】识别出随机变量服从二项分布模型是解题的关键，直接套用公式E(X13.已知数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn=4a【答案】2【解析】已知3Sn=当n=1时，3a1当n≥2时，3S①-②得：3an=4将其变形为an∵a1∴数列{an∴an-1=【点拨】本题考查由Sn与an的关系求通项公式.利用a14.已知函数f(x)=ln(ax)+(a-1)x-【答案】(【解析】由f(x)=0得ln(变形为ln(ax)+ax=设g(t)=lnt+t(t>0)，则由g(ax)=g(∵f(x)存在两个零点，∴方程设h(x)=e当x∈(0,1)时，当x∈(1,+∞)时，h'∴h(x)的最小值为又当x→0+时，h(x)→+∞；当∴要使直线y=a与y=h(即实数a的取值范围为(e【点拨】本题考查利用导数研究方程的根.通过同构法构造相同结构的函数g(t)，利用其单调性将复杂方程转化为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某大型学校有初中学生2400人，高中学生1600人.学校为了解学生的体育锻炼习惯，采用按比例分配的分层抽样方式从中抽取100人进行问卷调查.将每天体育锻炼时长≥2是否达标学段合计初中高中达标28不达标24合计6040100（1）请完成上面列联表，并依据小概率值α=0.05（2）如果将上面列联表中的所有数据都扩大为原来的10倍，依据小概率值α=0.05附：χ2=n(α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析；没有充分证据推断学生体育锻炼达标情况与学段有关联（2）有充分证据推断学生体育锻炼达标情况与学段有关联【解析】解：（1）依题意，抽样比例为2400:在100人中，初中抽取100×35=60初中达标人数为60-24=36人；高中不达标人数为完成的2×2是否达标学段合计初中高中达标362864不达标241236合计6040100…………2分根据列联表，计算得：χ2=∵1.042<∴根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0（2）将表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，则χ2=∵10.417>∴根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0【点拨】本题考查分层抽样与独立性检验.完善列联表时需注意抽样比例的计算，代入公式计算χ216.在(x2（1）求n；（2）求展开式中二项式系数最大的项.【答案】（1）n（2）T4=【解析】解：（1）由题意得，展开式中第2，3，4项的二项式系数依次为Cn∵它们成等差数列，∴2Cn即2×n化简得n2-9n+14=0，解得∵n≥3，∴n（2）由（1）知n=二项式系数最大的项为中间两项，即第4项或第5项.…………9分第4项为：T4=第5项为：T5=【点拨】本题考查二项式定理的通项公式与二项式系数的性质.注意区分“二项式系数”与“项的系数”，二项式系数最大项仅由指数n的奇偶性决定.17.新能源汽车发展非常迅速，某地区2017年至2024年（年份代码分别记为：1,2,3,4,5,6,7,8）某品牌新能源汽车的科研经费投入和销售量统计如下：年份代码i12345678科研经费xi2361013151821销售量yi1122.53.53.54.56参考数据：i=18xiyi参考公式：相关系数r=i=1n（1）根据样本数据，计算科研经费x与销售量y之间的样本相关系数，并推断它们的线性相关程度（结果精确到0.01）；（2）根据样本数据，求销售量y关于科研经费x的线性回归方程（a,b【答案】（1）r≈（2）y【解析】解：（1）由题中数据可得：x=2y=1iii=1∴相关系数r∵1785≈42.25，∴r由于|r|≈0.98（2）由（1）可得：b=ia=y∴销售量y关于科研经费x的线性回归方程为y=83【点拨】本题考查一元线性回归方程的求解与相关系数的计算.熟练运用公式的变形形式∑(xi18.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和丙的概率分别为13和23，乙传给甲和丙的概率分别为14和34，丙传给甲和乙的概率分别为23（1）求第1次和第2次传球后球在乙手中的概率；（2）求第n次传球后球在乙手中的概率；（3）记第i次传球时，乙接到的次数为Yi，则Yi服从两点分布，且P(Yi=1)=pi，E(i=1nY【答案】（1）第1次13