2025-2026学年高二下学期人教A版期末模拟考试数学试卷四

第2页，共17页2025-2026学年高二下学期期末模拟考试（四）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（） A. B. C. D.2.已知随机变量等可能取值为，若，则（） A. B. C. D.3.根据下图的散点图，变量和变量的样本相关系数的值为（） A. B. C. D.4.某马拉松活动中，将5名志愿者分配到4个服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（） A.种 B.种 C.种 D.种5.记为等比数列的前项和.若，则（） A. B. C. D.6.已知，函数在内是单调递增函数，则实数的取值范围是（） A. B. C. D.7.已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于点两点，若面积是的2倍，则（） A. B.或 C. D.8.已知且，且，且，则（） A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.下列求导运算不正确的是（） A. B. C. D.10.有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱()”，事件表示“摸到绿球”，事件表示“摸到红球”，则（） A. B. C. D.11.已知抛物线的准线为，焦点为，为抛物线上的动点，过点作的一条切线，为切点，过作的垂线，垂足为，则（） A.准线与圆相切 B.过点的直线与抛物线相交的弦长为5 C.当点三点共线时， D.满足的点有且仅有2个第二部分非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.13.的展开式中的系数为＿＿＿＿＿＿.14.如图，在三棱锥中，平面，记与面所成的角为，，，，.若为平面内一动点，满足，则最大值为＿＿＿＿＿＿.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.一个不透明的盒子里有质地、大小相同的8个小球，其中2个红球、6个黑球，不放回地从盒子里依次随机摸取一个小球，当有同一种颜色的小球全部取出时停止摸球.（1）求停止摸球时盒子里恰好剩下4个黑球的概率；（2）停止摸球时，记总的摸球次数为，求的分布列与数学期望；（3）若将这8个球分别放在甲乙两个袋子中，每袋都装有1个红球、3个黑球.现从甲乙两袋中分别任取一球交换放入另一袋中，重复次这样操作后，设甲袋子中恰有1个红球的概率为，求.16.已知为数列的前项和，已知.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.

17.如图，在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点(不包含端点)，使平面与平面夹角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.18.已知抛物线上一点到焦点的距离为2.（1）求的方程；（2）直线与交于两点，过分别作的切线，设的交点为.（i）求证：为直角三角形；（ii）记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标.

19.定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”.（1）若是上的“好函数”，求的取值范围；（2）（i）证明：是上的“好函数”.（ii）设，证明：.第2页，共17页2025-2026学年高二下学期期末模拟考试（四）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）答案速查表12345BCACD678910ACDACDACD1112131415BCD8x1222（1）328（2）见解析（3）16171819（1）an=（1）证明见解析（2）存在，A（1）x2=4y（2）（i）证明见解析（1）[32,+∞)第一部分选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系O−xyz中，点M( A.(2,3,1) B.(2,−3,−【答案】B【解析】在空间直角坐标系中，点M(x,y,∵点M的坐标为(2∴点M关于平面xOz对称的点的坐标是(2【点拨】本题考查空间直角坐标系中的对称问题.熟记“关于哪个平面对称，哪个平面的坐标不变，另一个坐标取相反数”是解题关键.2.已知随机变量ξ等可能取值为1,2, A.n=20 B.n=18 C.n=【答案】C【解析】∵随机变量ξ等可能取值为1,∴P(ξ=∵P(ξ<∴4n=1【点拨】本题考查离散型随机变量的概率分布.明确等可能事件的概率计算公式是解题的基础.3.根据下图的散点图，变量x和变量y的样本相关系数r的值为（） A.−0.81 B.−0.20 C.0.34 D.【答案】A【解析】由散点图可知，散点整体呈左上到右下的趋势，故变量x和变量y呈负相关，即样本相关系数r<又散点分布比较集中在一条直线附近，说明相关性较强，所以样本相关系数r应接近−1，即r<−0.75【点拨】本题考查散点图与样本相关系数的关系.相关系数r的绝对值越接近1，线性相关性越强；r>0为正相关，4.某马拉松活动中，将5名志愿者分配到4个服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（） A.60种 B.120种 C.240种 D.360种【答案】C【解析】将5名志愿者分配到4个服务点，每个服务点至少安排1人，则必然有1个服务点安排2人，其余3个服务点各安排1人.第一步，将5名志愿者分为4组，人数分别为2,1,1,1，分组方法数为C5第二步，将分好的4组全排列分配到4个服务点，分配方法数为A4由分步乘法计数原理可得，不同的安排方法共有10×【点拨】本题考查排列组合中的“分组分配问题”.采用“先局部均分，后全排列”的策略，注意局部均分时需除以相同人数的组数的阶乘以去重.5.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若 A.39 B.156 C.395 D.【答案】D【解析】设等比数列{an}∵a3a4∵a1=15≠∴等比数列{an}是以1∴S4【点拨】本题考查等比数列的基本量运算.利用通项公式将已知条件转化为首项与公比的方程是通法.6.已知a>0，函数f(x)= A.0<a≤2 B.0<a≤18 【答案】A【解析】∵f(x)=∴f'∵f(x)∴f'(x)≥0在(∵x∈(1,3)∵y=2x2在∴a≤又已知a>0，∴实数a的取值范围是【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性求参数范围.将单调性转化为导数的不等式恒成立问题，再利用分离参数法求最值是常用技巧.注意端点值的取舍.7.已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2 A.−32 B.−23或−32 C.【答案】C【解析】由椭圆C:x23+y2设点F1,F2到直线y=∵△F1AB面积是△∴d1=2化简得|−2+m|=2|2联立y=x+mx由直线与椭圆相交于两点，得Δ=36m2∵−32<−∴m=−【点拨】本题考查椭圆的几何性质与直线与椭圆的位置关系.利用面积比转化为焦点到直线的距离比是解题突破口，切记最后必须用判别式Δ>08.已知a>15且ae15=15 A.c>b>a B.b>c>a 【答案】D【解析】由ae15=1同理可得lnb−b构造函数f(x)=ln当0<x<1时，f'(x)>0∵15<14<又a>15且f(a)=f∵f(x)在(∴a>【点拨】本题考查利用导数比较大小.通过对数运算将等式化为同构形式，构造函数f(二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.下列求导运算不正确的是（） A.(sinπ3)'=cosπ C.(exx2)'【答案】ACD【解析】对于A，sinπ3为常数，常数的导数为0，即对于B，(x对于C，(e对于D，根据复合函数求导法则，(ln(3x本题选不正确的，故选ACD.【点拨】本题考查基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则.易错点在于A选项忽略了常数的导数为0，D选项忽略了复合函数的内层函数求导.10.有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件Ai表示“取到i号箱(i=1,2 A.P(B|A2)= C.P(B)=1115【答案】ACD【解析】由题意知，P(1号箱有5个球（4绿1红），则P(B|2号箱有5个球（2绿3红），则P(B|3号箱有5个球（5绿0红），则P(B|对于A，P(对于B，P(对于C，由全概率公式，P(对于D，由条件概率公式，P(【点拨】本题考查全概率公式与条件概率公式的应用.理清事件之间的关系，准确计算各条件概率是解题的关键.11.已知抛物线C:y2=4x的准线为l，焦点为F，P为抛物线C上的动点，过点P作⊙A:x2 A.准线l与圆A相切 B.过点F, C.当点P,A D.满足|PA|=|PB【答案】BCD【解析】由抛物线C:y2=4x得准线l:x=−1对于A，圆心A(0,2)到准线l:x对于B，直线FA的斜率k=2−00−1=−2，方程为y=−2(x对于C，当P,A,B三点共线时，由于PB⊥l，故PA⊥l，即P,A,B所在直线平行于x轴.∵A(对于D，由抛物线定义知|PB|=|PF|，若|PA|=|PB|，则|PA|=|PF|，即点P在线段AF的垂直平分线上.线段AF的中点为(12,【点拨】本题考查抛物线与圆的综合问题.灵活运用抛物线的定义将点到准线的距离转化为点到焦点的距离是解决C、D选项的核心思路.第二部分非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线y=cos2x+【答案】8【解析】设f(x)=cos2当x=π4时，切点纵坐标y切线的斜率k=故切线方程为y−π4=−2(x【点拨】本题考查利用导数求曲线的切线方程.求出切点坐标和切线斜率，代入点斜式方程即可.13.(1−2x【答案】12【解析】(x+y原式可化为(x要求x2y6的系数，即求(x+y)8中在(x+y)8中，令r令r=7，得xy故原展开式中x2y6【点拨】本题考查二项式定理的应用.将多项式乘法转化为两个二项展开式特定项的系数和是常用技巧.14.如图，在三棱锥P−ABC中，AP⊥平面PBC，记AB与面PBC所成的角为θ，PB=PC，tanθ=62，PA=3【答案】22【解析】∵AP⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，∴AP⊥又AP⊥平面PBC，∴AB与平面PBC所成的角即为∠ABP，故在Rt△APB中，tanθ=AP∵PB=PC=32，BC在平面PBC内，以P为原点，PB,PC所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系，则设Q(x,y)，由QB椭圆的中心为BC的中点M(322,32点P(0,0)由于PB=PC，△PBC为等腰直角三角形，点P在BC以M为坐标原点，BC所在直线为x'轴，中垂线为y'轴建立新坐标系，则椭圆方程为x'​2设Q(x'该二次函数开口向下，对称轴为y'∵y'∈[−2∴当y'=23时，故|PQ|的最大值为【点拨】本题考查立体几何与解析几何的综合.利用线面垂直找到直角三角形求出边长，再根据椭圆定义确定动点轨迹，最后通过建系转化为二次函数求最值，展现了极强的综合性.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.一个不透明的盒子里有质地、大小相同的8个小球，其中2个红球、6个黑球，不放回地从盒子里依次随机摸取一个小球，当有同一种颜色的小球全部取出时停止摸球.（1）求停止摸球时盒子里恰好剩下4个黑球的概率；（2）停止摸球时，记总的摸球次数为X，求X的分布列与数学期望；（3）若将这8个球分别放在甲乙两个袋子中，每袋都装有1个红球、3个黑球.现从甲乙两袋中分别任取一球交换放入另一袋中，重复n(n∈N∗【答案】（1）3（2）分布列见解析；E（3）P【解析】解：（1）停止摸球时盒子里恰好剩下4个黑球，说明取出了2个红球和2个黑球，且最后一个取出的是红球（否则若最后取出黑球，说明红球早已取完，摸球早就停止了）.即前3次取出1个红球和2个黑球，第4次取出红球.故所求概率P=C（2）停止摸球时，总的摸球次数X的可能取值为2，3，4，5，6，7.若红球先被取完，则第k次取完红球，前k−1次取出1红k−其概率为P1若黑球先被取完，则第k次取完黑球，前k−1次取出5黑k−其概率为P2当X=2时，仅可能红球先取完，当X=3时，仅可能红球先取完，当X=4时，仅可能红球先取完，当X=5时，仅可能红球先取完，当X=6时，红球先取完的概率为C2故P(当X=7时，红球先取完的概率为C2故P(所以X的分布列为：X234567P1234612…………8分数学期望E(X（3）设操作n次后，甲袋中有1个红球的概率为Pn，有0个红球的概率为qn，有2个红球的概率为由对称性可知，甲袋中有0个红球（即乙袋有2个红球）的概率等于甲袋中有2个红球（即乙袋有0个红球）的概率，故qn操作n次后甲袋有1个红球，包含以下三种互斥情况：①操作n−1次后甲袋有1个红球，第②操作n−1次后甲袋有0个红球，第③操作n−1次后甲袋有2个红球，第所以Pn==5变形得：Pn又初始状态n=0时，甲袋有1个红球，即P0所以数列{Pn−47}是以故Pn−47【点拨】本题考查离散型随机变量的分布列与期望、全概率公式及马尔可夫链模型.第（2）问需分类讨论哪种颜色的球先被取完；第（3）问利用全概率公式建立递推关系，再构造等比数列求通项，体现了概率与数列的深度融合.16.已知Sn为数列{an}的前（1）求数列{a（2）若bn=log2an，求数列【答案】（1）a（2）T【解析】解：（1）因为Sn当n=1时，S1=2a当n≥2时，整理得an=所以数列{a故an=（2）由（1）知bn所以bna则Tn=12Tn=12①-②得：12T=12所以Tn=【点拨】本题考查数列递推公式求通项及错位相减法求和.利用an=Sn−17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=3，AC=6，D,E分别是AC,AB上的点，满足DE∥BC且（1）求证：平面A1CE⊥（2）在线段A1C上是否存在点N(不包含端点)，使平面BMN与平面CBM夹角余弦值为34【答案】（1）证明见解析（2）存在，A【解析】（1）证明：在Rt△ABC中，DE∥BC，且根据重心的性质，AD:又AC=6，所以AD=4折起前，因为∠C=90∘，即BC⊥AC，又DE∥折起后，DE⊥A1又A1D∩CD=所以DE⊥平面A1因为A1C⊂平面A又已知A1C⊥CD，且DE∩所以A1C⊥又A1C⊂所以平面A1CE⊥平面（2）解：在Rt△A1CD中，所以A1以C为坐标原点，CB,CD,则C(0,0,0)因为M是A1D的中点，所以M假设存在满足条件的点N，设CN=则N(CB=(3,0,0)设平面CBM的法向量为n1n1⋅CB=3x设平面BMN的法向量为n2n2取z2=3，得x2=2λ由题意，|cos⟨n化简得3|即|4两边平方并整理得：26λ2−39λ解得λ=1（舍去，不含端点）或此时CN=12CA所以A1故在线段A1C上存在点N，使平面BMN与平面CBM夹角余弦值为34，A1【点拨】本题考查空间线面垂直的证明及利用空间向量求二面角.折叠问题中寻找不变量（如垂直关系）是建系的关键；存在性问题通常转化为参数方程求解，注意检验参数是否在规定范围内.18.已知抛物线C:x2（1）求C的方程；（2）直线y=kx+1与C交于A,B两点，过A,B分别作（i）求证：△PAB（ii）记△PAB的面积为S，求S的最小值，并指出S最小时对应的点P【答案】（1）x（2）（i）证明见解析；（ii）最小值4，此时P【解析】解：（1）由抛物线定义，点M(m,所以1−(−p2)=所以抛物线C的方程为x2=（2）（i）设A(x1由x2=4y得y所以切线l1的斜率k1=x12将直线y=kx+1代入Δ=16由韦达定理得x1+x2所以k1所以l1⊥l2，即PA⊥（ii）切线l1的方程为y−y同理切线l2的方程为y联立l1,l2的方程得y=所以点P的坐标为(2k,−弦长|AB点P(2k,−1)到直线所以△PAB的面积S=因为k2≥0，所以当k=0此时点P的坐标为(0,−【点拨】本题考查抛物线的切线问题及三角形面积最值.熟记抛物线切线交点坐标的结论（xP=x19.定义在区间D上的函数f(x)满足：若对任意x1,x2∈D（1）若f(x)=ax（2）（i）证明：g(x)=ln（ii）设n∈N∗【答案】（1）[（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析【解析】解：（1）依题意，对任意x1,x2∈[即(aa(因为x1>x2≥a(x即a(所以a>令t=x1+x则a>2t+2记h(t)=2t所以h(所以a≥32，即a的取值范围为（2）（i）证明：要证g(x)=ln即证：对任意x1>x即证lnx1令t=x1x2上式转化为证明lnt>2设φ(t)=lnt−则φ'因为t>1，所以φ'(t)>0所以φ(t)>故g(x)=lnx是（ii）证明：由（i）可知，当