4.6 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

4.6第1课时

线段垂直平分线的性质和判定1.理解线段垂直平分线的概念.2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理.3.能运用线段垂直平分线的有关知识进行证明或计算.观察：如图将矩形纸片进行对折，你会发现什么？折叠后两图形全等折叠的实质就是轴对称变换直线l上的点到A、B距离相等直线l上的点到C、D距离相等ABCDl想一想：成轴对称的两个图形中，对应点的连线有什么特征？

垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线(或中垂线).如图，直线l就是线段PP'的垂直平分线.想一想：成轴对称的两个图形中，对应点的连线有什么特征？对应点的连线被对称轴垂直平分平面内点P与点P′关于一条直线对称，则线段PP′被这条直线垂直平分.lPP′探究：如图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P(点P不在线段AB上)，连接PA，PB，则线段PA与PB的长度相等吗？为什么？由此你能得出什么结论？所以△PAD≌△PBD(边角边).因此PA=PB.设D是线段AB的中点，根据线段的垂直平分线的定义可知，点D在直线l上，并且PD⊥AB，于是∠ADP=∠BDP=90°.

当点P在线段AB上时，结论还成立吗？线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.PABCl几何语言：因为CA=CB，l⊥AB，（点P在线段AB的垂直平分线上）所以PA=PB．性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.说一说：线段垂直平分线的性质定理的条件是什么？结论是什么？它的逆命题是什么?条件：一个点在一条线段的垂直平分线上.结论：这个点到这条线段两端的距离相等.

它的逆命题：如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.你能证明上述逆命题是真命题吗？

如图，当点M不在线段AB上时，连接MA，MB，由于MA=MB，则∠MAB是等腰三角形.

取AB的中点D，连接MD，则MD是△MAB的底边AB上的中线，也是AB上的高线.

因此，直线MD是线段AB的垂直平分线，从而点M在线段AB的垂直平分线上.

当点M在线段AB上时，则M就是AB的中点，因而点M在AB的垂直平分线上.证明:线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.几何语言：因为PA=PB，所以点P

在AB的垂直平分线上．PAB【例1】如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上，所以OA=OB（线段垂直平分线上的性质定理）.同理可得OB=OC.于是OA=OC.所以点O在AC的垂直平分线上(线段垂直平分线上的性质定理的逆定理).结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.证明一个点在一条线段的垂直平分线上，思路有两种：一是作垂直，证平分.二是连中点，证垂直.证明一条直线是线段的垂直平分线，必须证明直线上有两个点都在垂直平分线上.注意：PAB1.如图所示，AC=

AD，BC=

BD，则下列说法正确的是（）A.AB垂直平分

CDB.CD垂直平分

ABC.AB与

CD互相垂直平分D.CD平分∠ACBA2.如图，在△ABC中，AB=5cm，BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，△ACD

的周长为8cm，则线段AC

的长为

.3cm3.已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD，点E在AD上，且∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AD垂直平分BC.证明：因为∠1=∠2，所以

EB=EC.所以点E在线段BC的垂直平分线上.又因为∠3=∠4，所以∠ABC=∠ACB，所以点A也在线段BC的垂直平分线上.所以AD垂直平分BC.4.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC=BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.求证：AO=BO.证明：因为AC=BC，AD=BD，所以点C和点D在线段AB的垂直平分线上.所以CD垂直平分线段AB.又因为AB与CD相交于点O，所以AO=BO.线段的垂直平分线定义垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线性质定理文字语言：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等数学语言：若点P在线