数学高考总复习优化设计课时规范练52　双曲线

课时规范练52双曲线(分值:88分)(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)基础巩固练1.(2025·八省联考)双曲线x2-y29=1的渐近线方程为(A.y=±x B.y=±2xC.y=±3x D.y=±4x2.(2025·辽宁丹东期末)双曲线x24-y212A.3 B.23 C.2 D.13.(2025·福建厦门一模)已知等轴双曲线C的焦点到其渐近线的距离为1,则C的焦距为()A.2 B.2 C.22 D.44.(2025·河南焦作三模)若双曲线C:x216-y29=1上的点A到点(5,0)的距离为4,则点A到点(A.14 B.12 C.10 D.85.(2025·深圳一调)已知双曲线E的中心为原点,焦点在x轴上,两条渐近线夹角为60°,且点(1,1)在E上,则E的离心率为()A.3 B.23C.2 D.2336.(多选题)(2025·河北邢台一模)已知双曲线C:x2a2-y23a2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若|F1F2|=2e(A.a=1B.C的虚轴长为23C.e=2D.C的一条渐近线的斜率为37.(2025·广东佛山二模)焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为.

8.(2025·广东汕头一模)过双曲线x23-y26=1的右焦点作倾斜角为30°的直线l,直线l与双曲线交于不同的两点A,B,综合提升练9.(2025·广东广州一模)已知点P在双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上,且点P到C的两条渐近线的距离之积等于A.3 B.2 C.3 D.210.(多选题)(2025·河北承德期末)已知F1,F2分别是双曲线W:y2a2-x29=1(a>0)的上、下焦点,过F1的直线l与双曲线W的上支交于A,B两点,AB的长等于实轴长的2倍,且AB⊥A.W的焦距为43B.W的渐近线方程为y=±33C.|AF2|=|BF1|=36D.△ABF2的周长为12611.(2025·江西鹰潭二模)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在E的左支上,过点M作E的一条渐近线的垂线,垂足为N,则当|MF2|+|MN|取最小值12时,△F12.(2025·江苏苏锡常镇二模)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为43.若C和抛物线y2=x交于A,B两点,且△OAB为等边三角形,则C的离心率为.

13.(15分)(2026·江苏南京高三模拟)已知双曲线C:x2-y2=a2(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=4.过F2的直线l与C交于A,B两点.(1)求C的方程;(2)若A,B均在C的右支上(A在第一象限),且△ABF1的周长为162,求l的方程.创新应用练14.(多选题)(2025·全国2,11)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且∠NAA.∠A1MA2=πB.|MA1|=2|MA2|C.C的离心率为13D.当a=2时,四边形NA1MA2的面积为8315.(2025·河南郑州质检)设F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2且斜率为-34的直线l与C的右支交于点A,与C的左支交于点B,点D满足BD参考答案1.C2.A解析由x24-y212=1,可得其渐近线方程为y=±3x,顶点坐标为(±2,0),由对称性,取顶点(2,0),渐近线3x+y=0,3.C解析设等轴双曲线的焦距为2c,其中一个焦点坐标为(c,0),渐近线方程为y=bax.因为焦点到其渐近线的距离为bca1+(ba)

2=b=1,又因为a=b,所以c=4.B解析由题意可知,a2=16,b2=9,则c2=25,则双曲线C的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),由双曲线的定义知|AF2|-|AF1|=8或|AF1|-|AF2|=8,且|AF2|=4,故|AF1|=12.5.C解析由题意,设双曲线E的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).因为两渐近线的夹角为60°,所以ba=33或ba=3.又点(1,1)在E上,所以6.AB解析由C:x2a2-y23a2=1(a>0),知F1(-2a,0),F2(2a,0),e=2aa=2,由|F1F2|=2e,得4a=4,即a=1,3a2=3,所以C的虚轴长为23,故A,B正确,C错误;由C的渐近线方程为y=±3x,得两条渐近线的斜率分别为37.x2-y23=1解析由题意得c2=4,可设双曲线的标准方程为x2a2-y24-a2=1,将点(2,3)代入方程可得22a2-324-a2=1,解得a2=1或a8.1635解析设双曲线x23-y26=1的右焦点为F2,由题意知F2(3,0),所以直线l的方程为y=33(x-3).由x23-y26=1,y=33(x-3),得5x2+6x-27=0.设A(x1,y19.D解析设点P(x0,y0),则x02a2-y02b2=1,即b2x02-a2y02=a2b2.双曲线C的两条渐近线方程分别为bx+ay=0,bx-ay=0,则点P到C的两条渐近线的距离之积为d1·d2=|bx0+10.CD解析由题意得|AB|=2×2a=4a,由双曲线定义得|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|=|AF1|+2a+|BF1|+2a=|AB|+4a=8a.由AB⊥AF2,得|AF2|2+|AB|2=|BF2由|解得|所以|AF1|=a.由|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,得4c2=4a2+36=10a2,得a=6,c=15,所以W的焦距为2c=215,又△ABF2的周长为4a+8a=12a=126,故D正确.故选CD.11.18解析由题意得|MF2|-|MF1|=2a,故|MF2|=|MF1|+2a,如图,点F1(-c,0)到渐近线bx+ay=0的距离|F1N|=bcc=b,则|MF2|+|MN|=|MF1|+2a+|MN|≥|F1N|+2a≥b+2a当且仅当M,F1,N三点共线时等号成立,所以|MF2|+|MN|的最小值为b+2a=12,所以12≥22ab,即ab≤18,当且仅当b=6,a=3时等号成立,又|OF1|=c,故|ON|=c2-b2=a,所以S△F1NF2=2S△F1NO=2×12.2解析由对称性知A,B关于x轴对称,不妨设点A在第一象限,△AOB为等边三角形,如图,由等边三角形的对称性可知A,B为y=±33x与抛物线的交点,联立y=33x,y2=x,得x=3或x=0(舍去),当x=3时,y=3,故A(3,3).设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则2c=413.解(1)因为|F1F2|=4⇒2c=4,所以c=2,又c2=2a2,所以a2=2.所以双曲线C的方程为x2-y2=2.(2)因为A,B均在C的右支上,且△ABF1的周长为162,所以|AB|+|AF1|+|BF1|=162⇒|AB|+|AF2|+22+|BF2|+22=162⇒|AB|=如图.因为F2(2,0),设直线l:x=ty+2,代入x2-y2=2得(ty+2)2-y2=2,整理得(t2-1)y2+4ty+2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为A,B均在C的右支上,所以t2-1≠0,且y1y2=2t2-1<0,所以t2<1,y1+y2=-4tt2-1,所以(所以|AB|=1+t2·|y1-y2|=22(t2+1)1-t2=62,解得t2=12,所以t=±22,所以直线l的方程为14.ACD解析因为A1A2与MN互相平分,所以四边形A1MA2N是平行四边形,所以∠A1MA2=π-∠NA1M=π-5π6=π6,A正确;以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,不妨取渐近线y=bax,由x2+y2=c2,y=bax,设M(a,b),N(-a,-b),又因为A2(a,0),所以MA2⊥A1A2.在Rt△MA2A1中,∠A1MA2=π6,所以|MA1|∶|MA2|=2∶3,所以B错误;所以|A1M|=|A1A2|2+|MA2|2=4a2+b2=3a2+c2,由|A1M|=2|A1A2|,得3a2+c2=4a,即c2=13a2,即e2=13,所以e=15.577解析由BD=12BA又BD·F1D=0,所以F1D⊥AB,所以|AF1|=|BF1|.设|AF1|=|BF1|=m,由双曲线的定义,得|BF2|=2a+m,|AF2|=m-2a,所以|AB|=|BF2|-|AF2|=4a,从而|AD|=12|AB|=2a,所以|DF2|=|AD