2025-2026学年广东省广州市部分学校高二（下）期末数学试卷(含答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省广州市部分学校高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若集合A={x||x|＜3}，B={x|x=2n+1，n∈Z}，则A∩B=（）A.（-1，1） B.（-3，3） C.{-1，1} D.{-3，-1，1，3}2.若z=i,则z•=（）A.-2 B.- C. D.23.已知，则a2=（）A.-10 B.-40 C.10 D.404.函数y=f（x）的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.3是f（x）的极小值

B.f（x）的极值点有3个

C.f（x）在区间（-∞，3）上单调递减

D.曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率小于零5.已知数列{an}满足，，则an=（）A. B. C. D.6.已知，过点P作圆C：（x-a）2+（y-a-1）2=1（a为参数，且a∈R）的两条切线分别切圆C于点A、B，则sin∠APB的最大值为（）A.1 B. C. D.7.设函数f（x）=min{x2-1，x+1，-x+1}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者．若f（a+2）＞f（a），则实数a的取值范围为（）A.（-1，0） B.[-2，0]

C.（-∞，-2）∪（-1，0） D.[-2，+∞）8.已知a=，b=cos，c=4sin，则（）A.c＞b＞a B.b＞a＞c C.a＞b＞c D.a＞c＞b二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知函数，则（）A.2π为f（x）的一个周期 B.y=f（x）的图象关于直线对称

C.f（x+π）的一个零点为 D.f（x）在区间上单调递减10.下列命题中正确的是（）A.若回归方程为y=-0.45x+0.6，则变量y与x成负相关

B.数据9，10，10，11，12，14，16，17，19，21的上四分位数为17

C.某校高三年级男生的身高X（单位：cm）近似服从N（170，52），随机选择一名该校高三年级的男生，则P（175＜X＜180）=0.2718（若X～N（μ，σ2），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545）

D.已知数据x1、x2、…、x10的平均数，方差为．设yi=2xi-1（i=1，2，…，10），数据y1、y2、…、y10的方差为，数据x1、x2、…、x10、y1、y2、…、y10的方差为，则11.如图，P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上一个动点，E为棱A1B1的中点，O为侧面ADD1A1的中心.下列结论正确的是（）A.OE⊥平面A1BC1

B.AB与平面A1BC1所成角的余弦值为

C.若点P在各棱上，且到平面A1BC1的距离为，则满足条件的点P有9个

D.若点P在侧面BCC1B1内运动，且满足|PE|=1，则存在P点，使得A1P与BC1所成角为60°

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若双曲线的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线离心率为

.13.某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有

种.14.已知圆O的半径为1，直线PA与圆O相切于点A，直线PB与圆O交于B，C两点，D为BC的中点.若PO=，则•的最大值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c,，A的角平分线交BC于点D，且AD=1.

（1）求A的大小；

（2）若，求△ABC的面积.16.(本小题15分)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．17.(本小题15分)

如图所示，已知四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BC=CD=PA=PB=PC=PD=2.

（1）求证：BD⊥平面PAC；

（2）当四棱锥P-ABCD的体积最大时，求二面角P-BC-A的大小.18.(本小题17分)

已知抛物线C：y2=2px经过点A（1，2），B（x0，y0）是抛物线C上异于点A的动点，且x0≠1.

（1）求直线AB的斜率kAB（用y0表示）；

（2）设不经过点A的直线l与C交于M，N两点，且直线AM，AN的斜率之和为1.

①求证：直线l恒过定点Q；

②若向量，且，求△AMN的面积S的取值范围.19.(本小题17分)

甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式，当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留，当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙，当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中.设投掷n次后（n∈N*），球在乙手中的概率为Pn.

（1）求P2和P3；

（2）求数列{Pn}的通项；

（3）设，数列{bn}的前n项和为Sn，若，证明：.

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】AC

10.【答案】ABD

11.【答案】AC

12.【答案】2

13.【答案】14

14.【答案】

15.【答案】解：（1）因为，

由正弦定理可得，

B∈（0，π），

则sinB＞0，所以，故，

A∈（0，π），

则；

（2）由题意可知S△ABD+S△ACD=S△ABC，

A的角平分线交BC于点D，

则，化简可得b+c=bc,

在△ABC中，由余弦定理得，

从而，解得bc=5或bc=-4（舍）

所以．

16.【答案】解：由题意，f（x）的定义域为（-∞，+∞），且f′（x）=ex-a．

（1）当a=1时，f′（x）=ex-1，令f′（x）=0，解得x=0，

∴当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；

（2）①当a≤0时，f′（x）=ex-a>0恒成立，

​​​​​​​f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，不合题意；

②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=lna，

当x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

∴f（x）的极小值也是最小值为f（lna）=a-a（lna+2）=-a（1+lna），

又当x→-∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→+∞，

∴要使f（x）有两个零点，只要f（lna）＜0即可，

则1+lna＞0，可得a＞，

综上，若f（x）有两个零点，则a的取值范围是（，+∞）．

17.【答案】（1）证明：因为BC=CD，∠ABC=∠ADC=90°，AC=AC，

所以Rt△ABC≌Rt△ADC，所以AB=AD，

设AC∩BD=Q，连接PQ，则△QBC≌△QDC，

点Q为BD的中点，又PB=PD，所以PQ⊥BD，

又∠DQC=∠BQC，且∠DQC+∠BQC=180°，

所以AC⊥BD，又AC∩PQ=Q，AC，PQ⊂平面PAC，

所以BD⊥平面PAC；

（2）解：由（1）可知，BD⊥平面PAC，BD⊂平面ABCD，

所以平面ABCD⊥平面PAC，

取AC的中点为O，连接PO，则PO⊥AC，

又平面ABCD∩平面PAC=AC，PO⊂平面PAC，

所以PO⊥平面ABCD，

过点O作OH⊥BC，垂足为H，连接PH，

则PH⊥BC，所以∠PHO为二面角P-BC-A的平面角，

因为四棱锥P-ABCD的体积为：

==

=，

当且仅当，即时体积最大，

此时，

在Rt△POH中，，所以∠PHO=45°，

所以二面角P-BC-A的大小为45°．

18.【答案】

①证明：设直线MN的方程为x=my+t，M（x1，y1），N（x2，y2）（y1，y2≠2），

因为M，N两点均在抛物线上，

所以，

联立，消去x并整理得y2-4my-4t=0，

此时Δ=（-4m）2-4（-4t）=16m2+16t＞0，

由韦达定理得y1+y2=4m，y1y2=-4t，

所以，

即4（y2+2）+4（y1+2）=（y2+2）（y1+2），

所以2（y1+y2）-y1y2+12=0，

此时2m+t+3=0，

所以直线MN的方程为x=my-2m-3，

即x+3=m（y-2），

则直线MN过定点，该点坐标为Q（-3，2）；②（0，12]

19.【答案】解：（1）根据题目定义：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，

则甲将球传给乙，若点数不大于3，

则甲将球保留，当球在乙手中时，

若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，

若点数不大于4，则乙将球传给丙，

当球在丙手中时，若骰子点数大于3，

则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，

则丙将球传给乙．

当投掷2次骰子后，球在乙手中，共有1种情况：甲→甲→乙，其概率为，故，

当投掷3次骰子后，球在乙手中，共有3种情况：

①：甲→乙→甲→乙，其概率为

②：甲→乙→丙→乙，其概率为

③：甲→甲→甲→乙，其概率为

所以投掷3次后，球在乙手中的概率为．

（2）根据题目定义：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，

则甲将球传给乙，若点数不大于3，

则甲将球保留，当球在乙手中时，

若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，

若点数不大于4，则乙将