2025-2026学年湖南省永州市宁远县第一中学崇德学校等校高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省永州市宁远县第一中学崇德学校等校高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.不小于2的所有整数构成的集合可表示为（）A.{x∈Q|x＞2} B.{x∈N|x＞2} C.{x∈Q|x≥2} D.{x∈N|x≥2}2.若f（x）为奇函数，当x＞1时，f（x）=log4x,则f（-8）=（）A. B. C. D.3.将复数（1+i）（5-10i）的实部与虚部进行交换，得到的复数为（）A.-5+15i B.5-15i C.-5-5i D.-5+10i4.的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（）A.-30 B.-29 C.1 D.315.设双曲线的左焦点为F1（-c,0），过F1作C的一条渐近线的垂线，交y轴于点M，若，则C的离心率为（）A.2 B. C. D.6.从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数，则这4个数恰好可以构成等差数列或等比数列的概率为（）A. B. C. D.7.已知随机变量X服从两点分布，随机变量Y的分布列为Y123P0.20.60.2若P（X=0）=0.5，且X与Y相互独立，则D（X+Y）=（）A.0.25 B.0.4 C.0.65 D.0.98.函数f（x）=e2x-（2x+1）ex+x2+x的最小值为（）A. B.ln2 C.1 D.0二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知数列{an}，{bn}分别是等差、等比数列，则必有（）A.a5+a7=a12 B.a6+a7+a20=3a11

C.b1b2b19=b2b3b17 D.b1+b2，b3+b4，b5+b6成等比数列10.若∃x∈（0，4]，3x2-a2＜x3+10a,则a的取值可以为（）A.-10 B. C.-4 D.111.在正四棱锥P-ABCD中，是PB的中点，M为底面的中心，点T在四棱锥P-ABCD的外接球（球O）的球面上，点N在四棱锥P-ABCD的内切球的球面上，则（）A.球O的表面积为48π

B.平面HAD将该四棱锥P-ABCD分成两部分，体积较小的部分也是一个四棱锥

C.NT的最大值为

D.为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设函数，则=

.13.振风塔享有“万里长江第一塔”的美誉.某中学社会实践小组为测量振风塔的高度，开展了一次实地测量的活动.他们在塔底B所在的水平地面上选取C，D两点，测得CD=21米，∠BCD=15°31′，∠BDC=150°，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则振风塔的高度AB约为

米.（结果精确到整数，参考数据：取）

14.如图，给这八个方格涂色，现有红、蓝、黄、紫、绿、黑六种颜色可供选择，要求相邻的方格涂不同的颜色，且两端都涂红色，则不同的涂色方法共有

种.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数.

（1）求的值；

（2）求f（x）的定义域；

（3）若f（x）在区间[0，m]上有零点，求m的最小值.16.(本小题15分)

某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为0.6，选择乙餐厅的概率为0.4，甲餐厅的准时送达率为0.95，乙餐厅的准时送达率为0.9.已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立.

（1）求该用户每次外卖点餐准时送达的概率.

（2）平台推出“准时保”，每单需支付0.5元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付.该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过0.3元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由.17.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，且AB=BC=3，AA1=2.

（1）证明：EF∥平面AB1C1.

（2）在答题卡上，作出平面B1DF与AC的交点，并说明你的理由.

（3）求平面B1DF与平面ABB1A1夹角的正切值.18.(本小题17分)

已知椭圆经过点，且E的长轴长与短轴长之比为.

（1）求E的方程.

（2）已知点P（1，1），过点P且斜率为k1的直线l1与E交于A，B两点，过点P且斜率为k2（k2≠k1）的直线l2与E交于C，D两点，M，N分别为AB，CD的中点，且k1+k2=1.

（i）若P与M重合，求k1k2.

（ii）判断直线MN是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由.19.(本小题17分)

在正项数列{an}中，记，若{bn}为非零常数列，则称{an}存在等比型递推结构，数列{bn}为{an}的结构常数数列.

（1）试问数列是否存在等比型递推结构？请说明理由.

（2）已知正项数列{an}存在等比型递推结构，且a1=1，a2=2，a4=64.

（i）求{an}的通项公式；

（ii）设，记{pn}的前n项和为Tn，证明：对任意n∈N*，2（e2n-1）＜e2n（e2-1）（1-2n+2n•Tn）恒成立.

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】BC

10.【答案】ABD

11.【答案】BCD

12.【答案】10

13.【答案】73

14.【答案】13020．

15.【答案】-1

16.【答案】0.93

他愿意购买“准时保”．

理由如下：

设他购买“准时保”的净收益为Y元，则Y的所有可能取值为-0.5，2.5，

P（Y=-0.5）=0.93，P（Y=2.5）=1-0.93=0.07，

则E（Y）=0.93×（-0.5）+0.07×2.5=-0.29．

因为E（Y）=-0.29＞-0.3，即亏损期望不超过0.3元，所以他愿意购买“准时保”

17.【答案】证明：因为，

即得，所以EF∥BC，

又因为BC∥B1C1，所以EF∥B1C1，

因为EF⊄平面AB1C1，且B1C1⊂平面AB1C1，

所以EF∥平面AB1C1

如图：

理由：延长B1D交BC延长线于点G，连接FG交AC于点H，

因为G∈B1D，且B1D⊂平面B1DF，所以G∈平面B1DF，

又因为F∈平面B1DF，所以FG⊂平面B1DF，

所以H为平面B1DF与AC的交点

18.【答案】

（i）；（ⅱ）直线MN过定点

19.【答案】数列存在等比型递推结构，设，

根据等比型递推的定义，可得数列存在等比型递推结构

（i）；（ii）证明：，

所以

=，

则，

要证2（e2n-1）＜e2n（e2-1）（1-2n+2n•Tn），只需证，

设，则h′（x）=ex-x-1，

设g（x）=ex-x-1，则g′（x）=ex-1，

当x＞0时，g′（x）=ex-1＞0，则g（x）在（0，+∞）上