2025-2026学年上海海事大学附属北蔡高级中学高二（下）期末数学试卷(含答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年上海海事大学附属北蔡高级中学高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共4小题，共12分。1.若a＞b，则下列不等式成立的是（）A.|a|＞|b| B.＜ C.a2＞b2 D.a3＞b32.从实现中华民族伟大复兴中国梦的宏伟目标来看，社会主义核心价值观是文化软实力的灵魂.构建具有强大的凝聚力、感召力的核心价值观至关重要.倡导中小学生学习践行的“富强、民主、文明、和谐；自由、平等、公正、法治：爱国、敬业、诚信、友善”这24个字，其中含有12个词，每个词的笔画数的和依次为24，10，12，19：11，17，9，16：18，17，17，16.则这12个笔画数的平均数、中位数、众数分别是（）A.15，16，17 B.15.5，16.5，17 C.16.5，17，16 D.17，16，163.设实数a,b∈R，则不等式|a+b|≤|a|+|b|的等号成立的一个充分不必要条件为（）A.ab＞0 B.ab＜0 C.ab≥0 D.ab≤04.已知数列{an}，给出以下定义：若存在常数k＞0，对于任意的n∈N*，都有an+2-an+1≥k（an+1-an），则称数列{an}为“k-加速数列”，现给出下列命题：

①若，则对任意k＞0，数列{an}都不是“k-加速数列”；

②若数列{an}是“1-加速数列”，且an∈Z，a1=a2026=2026，则数列{an}存在最小项；

③若数列{an}是“2-加速数列”，且a1=1，a2=2，则存在M＞0，使得|an|＜M；

④正数列{an}是等比数列且公比q≠1，则{an}是“k-加速数列”的充要条件是k=1.

其中正确的命题是（）A.①②③ B.② C.②④ D.③④二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。5.设全集U=R，集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x＜3}，则A∩B=

.6.函数y=的定义域为

.7.的展开式中的常数项等于______．8.甲、乙等共3人排成一排，则甲和乙不相邻的概率为

.9.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=0，a6+a7=14，则S7=

．10.已知班内7位同学的体重数据（单位：kg）由以下茎叶图（十位数字为茎，个位数字为叶）所示，则这组数据的第70百分位数是

.

11.在正项等比数列{an}中，a2，a8是方程x2-10x+16=0的两个根，则的值为

.12.某个比赛中甲乙两人通过初赛的概率分别为和，两人独立参加初赛，其中恰有一人通过的概率是

.13.总体由编号为01，02，03，…，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体.选取方法是从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右读取，则选出来的第5个个体的编号为

.

6667706714640571958611056509687683203790

571600116614908445117573880590522741148614.设a＞0，b＞0，且5ab+b2=1，则a+b的最小值为

.15.已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）≥f（x）+1与f（x+1013）≤f（x）+1013恒成立，若f（x）与任意定义域为R的奇函数均有交点，则f（2026）=

.16.设a＞0，函数，给出下列三个结论：

①y=f（x）在区间（a-1，+∞）上单调递减；

②当a≥1时，y=f（x）存在最大值；

③设M（x1，f（x1））（x1≤a），N（x2，f（x2））（x2＞a），则|MN|＞1.

其中所存正确结论的序号是

.三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

已知全集为R，集合，集合B={x||x-1|≥2}.

（1）求A∩B；

（2）若集合C={x|1-λ＜x＜2λ}，且C∪=C，求实数λ的取值范围.18.(本小题10分)

如图，三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，O为AC中点.

（1）求证：AC⊥PB；

（2）若PO⊥OB，求二面角P-AB-C的大小.19.(本小题10分)

函数.

（1）当a=0时，是否存在实数c,使得f（x）为奇函数；

（2）若函数f（x）过点（1，3），且函数f（x）图像与x轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围.20.(本小题12分)

为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中a的值；

（2）在考核成绩为[70，80），[80，90），[90，100]的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在[70，80）中的学生应抽取多少人？

（3）若落在[50，60）学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在[60，70）学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到0.1）21.(本小题12分)

设函数y=f（x）的定义域为D，对于区间I=[a,b]（I⊆D），当且仅当函数y=f（x）满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间I是y=f（x）的一个“美好区间”.

性质①：对于任意x0∈I，都有f（x0）∈I；性质②：对于任意x0∈I，都有f（x0）∉I.

（1）已知f（x）=-x2+2x,x∈R.分别判断区间[0，2]和区间[1，3]是否为函数y=f（x）的“美好区间”，并说明理由；

（2）已知且m＞0，若区间[0，m]是函数y=f（x）的一个“美好区间”，求实数m的取值范围；

（3）已知函数y=f（x）的定义域为R，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意a＜b,都有f（a）-f（b）＞b-a.求证：函数y=f（x）存在“美好区间”，且存在x0∈R，使得x0不属于函数y=f（x）的任意一个“美好区间”.

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】{2}

6.【答案】（-∞，-1]∪[3，+∞）

7.【答案】-32

8.【答案】

9.【答案】14

10.【答案】58

11.【答案】4

12.【答案】

13.【答案】20

14.【答案】

15.【答案】2026

16.【答案】②③

17.【答案】{x|-2＜x≤-1或x=3}

[2，+∞）

18.【答案】（1）证明：因为侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，

O为AC中点，所以PO⊥AC，BO⊥AC，因为PO⊥BO=O，

所以AC⊥平面POB，又PB⊂平面POB，

所以AC⊥PB

（2）

19.【答案】解：（1）根据题意，函数，

当a=0时，，定义域为D=（-∞，0）∪（0，+∞），

假设y=f（x）为奇函数，则f（-1）=-f（1），

而f（1）=2+c,f（-1）=-c,则2+c=c,此时无实数c满足条件，

所以不存在实数c,使得函数f（x）为奇函数；

（2）y=f（x）图像经过点（1，3），则代入得，解得c=1，

所以，定义域为（-∞，-a）∪（-a,+∞），

令g（x）=x2+（3a+1）x+1，则g（x）的图像与x轴负半轴有两个交点，

所以，即，解得，

若x+a=0，即x=-a是方程x2+（3a+1）x+1=0的解，

则代入可得a2+（3a+1）×（-a）+1=0，解得或a=-1．

由题意得，所以实数a的取值范团且，即a的取值范围为{a|且}．

20.【答案】（1）a=0.03

（2）6人

（3）平均数为62.4；方差为3.15

21.【答案】解：（1）区间[0，2]和区间[1，3]都是函数y=f（x）的“美好区间”，理由如下：

由f（x）=-x2+2x=-（x-1）2+1，

当x∈[0，2]时，f（x）∈[0，1]⊆[0，2]，所以区间[0，2]是函数y=f（x）的“美好区间”

当x∈[1，3]时，f（x）∈[-3，1]，不是[0，2]的子集，

所以区间[1，3]不是函数y=f（x）的“美好区间”；

（2）记I=[0，m]，S={f（x）|x∈I}

若区间[0，m]是函数y=f（x）的一个“美好区间”，则S⊆I或S∩I=∅

由，可得f′（x）=x2-2x-3=（x-3）（x+1），

所以当x＜-1或x＞3时，f′（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为：（-∞，-1），（3，+∞）；

当-1＜x＜3时，f′（x）＜0，则f（x）的单调递增区间为：（-1，3），

且f（0）=12，f（3）=3，，得到f（x）在[0，+∞）的大致图像如下：

（i）当m≥12时，f（x）在区间[0，3]上单调递减，在（3，m]上单调递增，且f（m）＞12，

此时S=[3，f（m）]，

因为f（0）=12∈[0，m]，则要使区间[0，m]是函数y=f（x）的一个“美好区间”，则S⊆I，

即f（m）≤m,

构造函数（m≥12），

则g′（m）=m2-2m-4=（m-1）2-5，

由于m≥12，所以g′（m）＞0恒成立，则g（m）在区间[m,+∞）上单调递增，

所以，则f（m）＞m,不满足题意，

故当m≥12时，区间[0，m]不是函数y=f（x）的一个“美好区间”；

（ii）当，f（x）在区间[0，3]上单调递减，在（3，m]上单调递增，

此时S=[3，12]，

所以f（3）=3∈[0，m]，f（0）=12∉[0，m]，

则当时，区间[0，m]不是函数y=f（x）的一个“美好区间”；

（iii）当时，f（x）在区间[0，3]上单调递减，在（3，m]上单调递增，

且f（m）＞12，此时S=[3，f（m）]，

所以f（3）=3∈[0，m]，f（m）∉[0，m]，

则当时，区间[0，m]不是函数y=f（x）的一个“美好区间”；

（iv）当0＜m＜3时，f（x）在区间[0，m]上单调递减，且f（m）＞f（3）=3，

所以S=[f（m），12]，则S∩I=∅，即对于任意x0∈I，都有f（x0）∉I，满足性质②，

故当m∈（0，3）时，区间[0，m]是函数y=f（x）的一个“美好区间”．

综上，实数m的取值范围是（0，3）；

（3）证明：对于任意区间I=[a,b]，记S={f（x）|x∈I}，

因为对于任意a＜b,都有f（a）-f（b）＞b-a,

所以f（x）在区间I上单调递减，故S=[f（b），f（a）]，

因为f（a）-f（b）＞b-a,即S的长度大于I的长度，故f（x）不满足性质①，

所以若I为y=f（x）的“美好区间”必满足性质②，即S∩I=∅，

即只需要f（a）＜a或f（b）＞b,

由f（x）=x显然不恒成立，所以存在常数c使得f（c）≠c,

如果f（c）＜c,取a=c,则区间I=[a,b]（a＜b）满足性质②；

如果f（c）＞c,取b=c,则区间I=[a,b]（a＜b）满足性质②；

综上，函数y=f（x）一定存在“美好区间”；

记g（x）=f（x）-x,则g（x）的图象连续不断，下证明g（x）有零点，

由于f（x）在R上单调递减，则g（x）在R上是减函数，记f（0）=t

若t=0，则x0=0