2027届新高考数学热点精准复习直线的方程

2027届新高考数学热点精准复习直线的方程【课标要求】

1.理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念，掌握直线的斜率计算公式.2.掌握直线方程的点斜式、两点式和一般式方程，了解直线方程的斜截式和截距式，能根据已知条件，选择恰当形式熟练地求出直线的方程.3.了解斜截式与一次函数的关系.【知识要点】1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴

与直线l

之间所成的角α叫做直线l的倾斜角，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为

.

(2)倾斜角的取值范围:

.

正向向上方向0°0°≤α<180°2.直线的斜率及斜率计算公式(1)直线的倾斜角不等于90°时，其

叫做该直线的斜率，记作k=tanα(α≠90°);直线的倾斜角等于90°时，其斜率

.

(2)过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k=

，当x1=x2时，斜率

.

(3)k>0⇔α∈

，k<0⇔α∈

.特别地:k=0时，α=0°，k不存在时，α=90°.

正切值不存在不存在(0°，90°)(90°，180°)

3.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式

不含垂直于x轴的直线斜截式

不含垂直于x轴的直线两点式

不含垂直于坐标轴的直线截距式

不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式

平面直角坐标系内的直线都适用y-y0=k(x-x0)y=kx+b

Ax+By+C=0(A，B不同时为0)

(1)当x1=x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为

;

(2)当x1≠x2，且y1=y2时，直线垂直于y轴，方程为

.

4.直线系方程(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程:A(x-x0)+B(y-y0)+C=0(A2+B2≠0)，还可以表示为y-y0=k(x-x0)，斜率不存在时可设为x=x0.(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Ax+By+C1=0(C1≠C).(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Bx-Ay+C1=0.(4)过两条已知直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中不包括直线A2x+B2y+C2=0).x=x1y=y1【基础检测】1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.(

)(2)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等.(

)(3)直线y=kx+b与y轴交于一点B(0，b)，其中在y轴上的截距b=|OB|(O为坐标原点).(

)(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示.(

)(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(

)×√××√[解析](3)截距b是点的纵坐标，可以是负值，不等同于线段长度.[解析](4)斜率存在的直线才可以.2.[选择性必修1p57习题T1]已知直线l的一个方向向量为a=(1，-1)，则直线l的倾斜角为(

)A.45° B.90° C.120° D.135°D[解析]

由于直线l的一个方向向量为a=(1，-1)，所以直线l的斜率为-1，所以直线l的倾斜角为135°.故选D.3.过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为

.

3x-2y=0或x+y-5=0

4.[选择性必修1p67T1]倾斜角为135°，在y轴上的截距为-1的直线方程是(

)A.x-y+1=0 B.x-y-1=0C.x+y-1=0 D.x+y+1=0D[解析]

直线的斜率为k=tan135°=-1，所以直线方程为y=-x-1，即x+y+1=0.5.直线kx-y+3k-2=0恒过一定点，则该定点的坐标为(

)A.(3，2) B.(-3，-2)C.(2，3) D.(-2，-3)B

考点1直线的倾斜角与斜率例1

(1)若直线l经过A(2，1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是(

)A.0°≤α<180°B.45°≤α<90°或90°<α<180°C.0°≤α≤45°D.0°≤α≤45°或90°<α<180°D

C

1.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则k1，k2，k3从小到大的顺序依次为

.

k1<k3<k2[解析]

由图象知，直线l1的倾斜角为钝角，所以k1<0，直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以k2>k3>0，则k1，k2，k3从小到大的顺序依次为k1<k3<k2.巩固训练

3.若正方形的一条对角线所在的直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在的直线的斜率分别为

，

.

-3

考点2直线方程的求法例2

(1)直线l经过点A(-1，-3)，倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍，则直线l的方程为

.

3x+4y+15=0

(2)已知直线l的一个方向向量为n=(2，3)，且l过点A(-4，3)，则直线l的方程为

.

3x-2y+18=0

[小结]1.因为确立一条直线需两个独立的条件,所以直线方程也需要两个独立条件,求解直线方程的方法一般有两种:直接法根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程待定系数法①设所求直线方程的某种形式;②由条件建立所求参数的方程(组);③解这个方程(组)求出参数;④把参数的值代入所设直线方程2.谨防3种失误(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时,要注意讨论斜率是否存在.(2)应用“截距式”方程时,要注意讨论直线是否过原点,截距是否为0.(3)应用一般式Ax+By+C=0确定直线的斜率时,注意讨论B是否为0.

B

巩固训练5.已知△ABC的顶点B(2，1)，C(-2，3)，则BC边的垂直平分线DE的方程为

.

2x-y+2=0

3x+4y-12=0或15x+8y-36=0

考点3直线方程的综合应用例3已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程.

变式探究1.在本例条件下，当|OA|+|OB|取最小值时，求直线l的方程.

2.本例中，