第三章　进阶篇　不等式恒(能)成立问题　进阶1　参数全分离

第三章进阶篇

不等式恒(能)成立问题进阶1参数全分离将两个变量构成的不等式(或方程)变形，使不等号(或等号)两端的变量各自相同，是解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量其中一个范围已知，另一个范围未知.解决问题的关键：分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域问题.重点解读例1

(2025·安庆模拟)已知函数f(x)=ex-ax2，a∈R，f'(x)为函数f(x)的导函数.(1)讨论函数f'(x)的单调性；题型一参数全分离解因为f(x)=ex-ax2，且定义域为R，所以f'(x)=ex-2ax，令g(x)=ex-2ax，则g'(x)=ex-2a，当a≤0时，g'(x)>0，函数f'(x)在R上单调递增；当a>0时，令g'(x)>0，得到x∈(ln

2a，+∞)，令g'(x)<0，得到x∈(-∞，ln

2a)，故函数f'(x)在(-∞，ln

2a)上单调递减，在(ln

2a，+∞)上单调递增，综上，当a≤0时，f'(x)在R上单调递增；当a>0时，f'(x)在(-∞，ln

2a)上单调递减，在(ln

2a，+∞)上单调递增.例1

(2025·安庆模拟)已知函数f(x)=ex-ax2，a∈R，f'(x)为函数f(x)的导函数.(2)若任意x∈(0，1)，f(x)+f'(x)<2-ax2恒成立，求a的取值范围.

例1

(2025·安庆模拟)已知函数f(x)=ex-ax2，a∈R，f'(x)为函数f(x)的导函数.(2)若任意x∈(0，1)，f(x)+f'(x)<2-ax2恒成立，求a的取值范围.

分离参数法解决恒(能)成立问题的策略(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.思维升华

跟踪训练1

(2026·张家口模拟)已知f(x)=lnx-a(x+1)，a∈R.(1)若a=2，求曲线f(x)在x=1处的切线方程；

跟踪训练1

(2026·张家口模拟)已知f(x)=lnx-a(x+1)，a∈R.(2)若∃x0∈(0，2]，使f(x0)>0，求a的取值范围.

跟踪训练1

(2026·张家口模拟)已知f(x)=lnx-a(x+1)，a∈R.(2)若∃x0∈(0，2]，使f(x0)>0，求a的取值范围.题型二换元后参数分离例2

已知函数f(x)=xlnx-x-lnx+1的导函数为f'(x).(1)证明：函数f(x)有且只有一个极值点；

例2

已知函数f(x)=xlnx-x-lnx+1的导函数为f'(x).(1)证明：函数f(x)有且只有一个极值点；

例2

已知函数f(x)=xlnx-x-lnx+1的导函数为f'(x).(2)若xf'(x)-f(x)≤-3-mxex恒成立，求实数m的取值范围.

例2

已知函数f(x)=xlnx-x-lnx+1的导函数为f'(x).(2)若xf'(x)-f(x)≤-3-mxex恒成立，求实数m的取值范围.

在有些题目中不能直接利用分离参数法，有时为了简化函数，常进行换元，如本题令t=xex就可轻松分离参数.思维升华跟踪训练2

已知函数f(x)=aln(x+1)-ax，a∈R.(1)当a≠0时，讨论f(x)的单调性；

课时精练答案121.

答案121.

答案121.

答案121.即h(x)在(0，+∞)上单调递减.又h(1)=0，故当0<x<1时，h(x)>0，g'(x)>0，所以函数g(x)在(0，1)上单调递增；当x>1时，h(x)<0，g'(x)<0，所以函数g(x)在(1，+∞)上单调递减，所以g(x)max=g(1)=-3，又a≥g(x)恒成立，即a≥g(x)max=-3，所以a的取值范围是[-3，+∞).答案122.

答案122.

2.

答案122.

答案122.

答案122.

答案121.(2025·深圳模拟)函数f(x)=2x2+ax-lnx+1，a∈R.(1)当a=0时，求函数f(x)的极值；12答案

1.(2025·深圳模拟)函数f(x)=2x2+ax-lnx+1，a∈R.(1)当a=0时，求函数f(x)的极值；12答案

1.(2025·深圳模拟)函数f(x)=2x2+ax-lnx+1，a∈R.(2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.12答案

1.(2025·深圳模拟)函数f(x)=2x2+ax-lnx+1，a∈R.(2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.12答案

1.(2025·深圳模拟)函数f(x)=2x2+ax-lnx+1，a∈R.(2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.12答案解所以函数g(x)在(1，+∞)上单调递减，所以g(x)max=g(1)=-3，又a≥g(x)恒成立，即a≥g(x)max=-3，所以a的取值范围是[-3，+∞).2.已知函数f(x)=x3eax-1(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性；

12答案2.已知函数f(x)=x3eax-1(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性；

12答案2.已知函数f(x)=x3eax-1(a∈R).(2)若a=2，不等式f(x)≥mx+3lnx对x∈(0，+∞)恒成立，求实数m的取值范围.

12答案2.已知函数f(x)=x3eax-1(a∈R).(2)若a=2，不等式f(x)≥mx+3lnx对x∈(0，+∞)恒成立，求实数m的取值范围.

12答案2.已知函数f(x)=x3eax-1(a∈R).(2)若a=2，不等式f(x)≥mx+3lnx对x∈(0，+∞)恒成立，求实数m的取值范围.

12答案2.已知函数f(x)=x3eax-1(a∈R).(2)若a=2，不等式