北师大版小学五年级数学上册《质数与合数》探究式教案

北师大版小学五年级数学上册《质数与合数》探究式教案

一、教学背景与设计理念

（一）教材地位与作用分析

本课内容选自北京师范大学出版社出版的义务教育教科书数学五年级上册第三单元“倍数与因数”中的第五课时。在整数认识的知识链条中，学生已经系统地学习了整数的认识、四则运算，并在本单元的前继课时中掌握了因数和倍数的核心概念，能够熟练找出一个数的所有因数。本节课“质数与合数”的学习，是对非零自然数按照其因数个数的特征进行的一次本质性分类，是数论知识体系中最基础、最重要的概念之一。它不仅是对因数概念的深化应用，更是后续学习公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数，乃至分数的约分与通分、数的奇偶性等知识的基石。理解质数与合数的本质，对于培养学生的数感、分类思想、抽象概括能力以及逻辑推理能力具有不可替代的作用。本课内容构建了从“倍数与因数”到“数的整除特征”之间的关键桥梁。

（二）学情分析

本课的教学对象是小学五年级上学期的学生，其认知发展处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。从知识储备上看，学生已经能够理解因数和倍数的相互依存关系，并掌握了有序、不重复、不遗漏地找出一个数的全部因数的方法，例如，他们能快速找出12的因数有1，2，3，4，6，12；而7的因数只有1和7。这为发现数的因数个数规律提供了丰富的素材基础。从思维特点上看，学生已经具备初步的观察、比较、归纳能力，但抽象概括和严谨表述定义的能力尚在发展中。他们可能容易发现“有些数因数多，有些数因数少”的现象，但难以自主、精准地抓住“因数个数”这一分类标准，更难以将“1”这个特殊数纳入分类体系进行考量。从学习心理上看，五年级学生对富有挑战性和探索性的数学活动抱有浓厚兴趣，但注意力持久性有待加强，需要教师通过精心设计、层层递进的活动，引导他们经历完整的数学概念建构过程，体验数学发现的乐趣。

（三）设计理念与指导思想

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向为根本遵循，致力于体现以下先进理念：

其一，强调概念的形成过程。摒弃直接告知定义的传统方式，设计“用小正方形拼长方形”的核心探究活动，将抽象的数与直观的形相结合，让学生在“做数学”中感知、发现数的内在结构特征。通过操作、记录、观察、比较、归纳等一系列数学活动，引导学生亲历质数与合数概念的“再创造”过程，深刻理解其数学本质。

其二，聚焦核心素养的发展。本课着重发展学生的“数感”、“抽象能力”和“推理意识”。通过操作感知不同数的“拼法”多样性，建立数与形之间的联系，深化数感；从具体实例中剥离出“因数个数”这一本质属性，进行抽象与分类，锻炼抽象能力；从特殊现象提出猜想，并借助更多例证进行验证和概括，初步形成归纳推理能力。

其三，倡导跨学科视野的融合。在概念的应用与拓展环节，有机融入信息技术（密码学中的RSA算法）、科学（化学元素周期表与原子结构）、历史与文化（中外数学家如陈景润、欧拉、哥德巴赫等在数论领域的贡献）等相关知识，展现数学的基础性、工具性及文化价值，拓宽学生视野，激发学习内驱力。

其四，贯彻“以生为本”的课堂生态。教师角色定位于组织者、引导者和合作者。通过创设问题情境、提供探究素材、搭建思维支架、组织交流辩论，引领学生在自主探索与合作交流中主动建构知识。尊重学生的个体差异，鼓励不同思维水平的表达，让课堂成为思维碰撞、智慧生长的场域。

二、教学目标

（一）知识与技能

1.在操作、观察、比较活动中，理解质数与合数的意义，掌握判断一个数是质数还是合数的方法。

2.能准确判断100以内的数是质数还是合数，熟记20以内的质数。

3.明确“1”既不是质数也不是合数，理解自然数按因数个数分类的完整体系。

（二）过程与方法

1.经历“操作感知—提出猜想—举例验证—归纳概括”的概念建构全过程，体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。

2.通过“拼长方形”的直观模型，发展几何直观能力，学会借助图形探索数的规律。

3.在小组合作与集体交流中，学会清晰表达自己的发现和思考，培养有序思考、分类讨论的思维习惯。

（三）情感态度与价值观

1.感受数学概念产生的自然性与必要性，体验数学探究的乐趣和成功的喜悦。

2.通过了解质数在密码学等现代科技中的应用，体会数学的广泛应用价值，增强学习数学的兴趣和信心。

3.在学习过程中，培养严谨求实、一丝不苟的科学态度和乐于合作、敢于质疑的理性精神。

三、教学重难点

（一）教学重点

理解质数与合数的本质含义，掌握根据一个数的因数的个数来判断其是质数还是合数的方法。

（二）教学难点

1.从“拼长方形”的直观操作中，抽象概括出“质数”与“合数”的准确定义。

2.理解“1”的特殊性，建构完整的非零自然数分类认知结构（质数、合数、1）。

四、教学准备

（一）教具准备

交互式电子白板课件（内含动态拼图演示、分类活动、巩固练习、拓展资料）、实物投影仪。

（二）学具准备

1.每组一套代表数字1至12的学具袋，每个数字对应数量相等的小正方形卡片（如代表“6”的学具袋中有6张小正方形卡片）。

2.小组合作学习记录单（附后）。

3.学生个人练习本。

（三）环境准备

学生按4-6人异质小组就坐，便于开展合作探究与交流。

五、教学过程

（一）创设情境，问题驱动，激活旧知（预计用时：8分钟）

师：同学们，我们已经认识了因数和倍数这两位好朋友。现在，老师想请大家玩一个“数字摄影师”的游戏。我这里有一些数字名片，它们的“全家福”就是它们所有的因数。谁能快速地说出数字“12”的因数全家福？

生：1，2，3，4，6，12。

师：完全正确！那数字“7”呢？

生：1和7。

师：“18”呢？

生：1，2，3，6，9，18。

师：同学们找得又快又准！请大家仔细观察这些数的“因数全家福”，你发现了什么有趣的现象吗？

生1：有的数因数多，有的数因数少。

生2：每个数都有因数1和它自己。

师：非常棒的发现！每一个非零自然数都至少有1和它本身两个因数。那么，是不是所有数的因数都只有这两个呢？除了个数不同，这些因数背后还藏着什么更深的秘密呢？今天，我们就换一个特别的角度——化身“图形设计师”，通过动手拼摆，来深入研究这些数的内在特征，揭开它们的神秘面纱。

（设计意图：从复习“找一个数的因数”入手，既巩固了旧知，又引导学生在对比观察中自然生疑，发现“因数个数”存在差异，从而引出本课的核心探索问题。游戏化的引入能迅速集中学生注意力，激发探究欲望。）

（二）操作探究，建构模型，感知概念（预计用时：18分钟）

活动一：动手操作，以形助数

1.明确任务：每个小组的学具袋里，有分别代表数字2到12的小正方形。请你任选一个数字，比如“6”，就用6个完全相同的小正方形，在桌面上拼摆出一个长方形（包含正方形）。想一想，有几种不同的拼法？每种拼法对应的长方形的“长”和“宽”分别是几？请把所有的拼法都找出来，并记录在学习单上。

2.小组合作：学生以小组为单位开展操作活动。教师巡视指导，重点关注学生是否有序思考（如从摆成一行开始尝试），是否能将摆出的长方形与乘法算式（即因数对）建立联系。

3.汇报交流（选取代表性数字）：

1.4.数字6：生：我们拼出了两种长方形。一种是长摆6个，宽摆1个（6×1）；另一种是长摆3个，宽摆2个（3×2）。所以6的因数有1，2，3，6。

2.5.数字9：生：我们拼出了两种。长9宽1（9×1），长3宽3（3×3）。所以9的因数有1，3，9。

3.6.数字4：生：两种。长4宽1（4×1），长2宽2（2×2）。因数：1，2，4。

4.7.数字5：生：只能拼出一种长方形，长5宽1（5×1）。所以5的因数只有1和5。

5.8.数字11：生：也只能拼出一种，长11宽1。因数只有1和11。

6.9.数字1：师：如果只给你1个小正方形，你能拼出几种不同的长方形？生：只能拼出一种，而且长和宽都是1，就是一个正方形。所以1的因数只有1。

10.引导关联：师：请大家把目光聚焦到记录单上。拼出的长方形种数，和这个数因数的个数，有什么关系？长方形的“长”和“宽”与这个数的因数又是什么关系？

生：有几种拼法，这个数就有几对因数。长和宽就是一对因数。

师：精辟！拼法的多样性，直观地反映了这个数因数对的多少，也就是因数个数的多少。

活动二：观察分类，发现特征

1.引导分类：师：看来，不同的数，用小正方形拼长方形时，情况还真不一样。如果我们根据“能拼出几种不同的长方形”这个标准，可以把2~12这些数分分类吗？请大家小组讨论，尝试分类。

2.小组讨论并初步分类。预期学生可能产生多种分类方式，如按拼法种数分为“只有一种拼法”和“不止一种拼法”。

3.集中汇报，聚焦本质：

师：哪个小组来分享一下你们的分类结果和理由？

生：我们把2，3，5，7，11分为一类，因为它们都只能拼出一种长方形（长是它本身，宽是1）。把4，6，8，9，10，12分为另一类，因为它们都能拼出两种或两种以上的长方形。

师：大家同意吗？对于第一类数，它们因数的个数有什么共同特点？

生：都只有两个因数：1和它自己。

师：那第二类数呢？

生：它们的因数个数都超过两个，至少有三个因数。

师：那么，数字“1”比较特殊，它只有一种拼法（1×1），但它的因数有几个？

生：只有1个，就是它自己。

师：所以，“1”既不能归到第一类（要求两个因数），也不能归到第二类（要求至少三个因数）。它是一个独特的数。

（设计意图：此环节是概念建构的核心。通过“拼长方形”这一极具数学味的操作性活动，将抽象的“因数个数”转化为直观的“拼法种数”，为学生提供了看得见、摸得着的思维支点。学生在操作、记录、观察、比较、分类的系列活动中，亲身经历了从现象中发现共性的过程，为后续抽象出质数与合数的定义积累了充足的感性经验。对“1”的特殊性的探讨，避免了概念认知的片面性，为构建完整的知识网络埋下伏笔。）

（三）抽象概括，明晰定义，形成概念（预计用时：10分钟）

1.命名与定义：

师：数学家们和同学们一样，也发现了自然数家族中的这个秘密。他们给这两类数起了专门的名字。

1.像2，3，5，7，11…这样，只有1和它本身两个因数的数，叫作质数（也叫素数）。

2.像4，6，8，9，10，12…这样，除了1和它本身以外，还有别的因数的数，叫作合数。

师：请大家齐读一遍定义。关键点是什么？

生：判断一个数是质数还是合数，关键是看它因数的个数。

1.理解特殊数“1”：

师：那么，1是质数还是合数？为什么？

生：1既不是质数，也不是合数。因为质数要有两个因数，合数至少有三个因数，而1只有1个因数。它自己单独是一类。

师：非常严谨。所以，在非零自然数的大家庭里，我们可以按照因数个数分为三大类：质数、合数和1。这是一个非常重要的数学规定，请大家牢记。

2.概念辨析与巩固：

师：现在，请大家迅速判断，并说出理由：19是质数还是合数？21呢？

生：19只有1和19两个因数，是质数。21的因数有1，3，7，21，超过两个，所以是合数。

师：最小的质数是几？最小的合数呢？

生：最小的质数是2，它也是唯一的偶质数。最小的合数是4。

师：“唯一的偶质数”这个发现太重要了！为什么2是唯一的偶质数？

生：因为其他的偶数至少都有1，2和它本身三个因数，所以它们都是合数。

3.完善认知结构：

教师利用课件动态呈现韦恩图或树状图，展示非零自然数的分类：

非零自然数{质数（只有两个因数），合数（至少有三个因数），1（只有一个因数）}。

师：这就是我们今天探索建立的数的王国新秩序。

（设计意图：在充分感知的基础上，适时揭示概念的名称和规范定义，实现从感性认识到理性认识的飞跃。通过关键追问（如1的分类、最小质数合数、偶质数），引导学生深入辨析概念的内涵与外延，避免机械记忆。利用图表完善认知结构，使学生对整个知识体系有清晰、系统的把握。）

（四）巩固拓展，深化理解，应用概念（预计用时：12分钟）

1.基础闯关：判断100以内的数。

1.2.课件快速出示一些数，如27，29，31，51，57，79，87，91等，学生手势判断（掌心向上表示质数，向下表示合数），并简要说明关键因数。

2.3.聚焦易错点：如51（3×17）、57（3×19）、87（3×29）、91（7×13），这些“伪质数”是检验学生是否真正掌握判断方法的试金石。引导学生发现，判断一个数是否为质数，可以尝试用较小的质数（2，3，5，7…）去试除。

4.制作“百以内的质数表”：

1.5.师：找出100以内的所有质数，是数学史上一个经典问题。古人用的方法是“筛选法”。我们一起来体验一下。

2.6.课件动态演示“埃拉托斯特尼筛法”原理：在一张1-100的数表中，先划去1；然后从2开始，留下2，划去所有2的倍数；接着留下3，划去所有3的倍数；留下5，划去所有5的倍数；留下7，划去所有7的倍数……这样剩下的就是100以内的质数。

3.7.学生观察并感受方法的巧妙，课后可尝试完成百数表的筛选。

4.8.要求熟记20以内的质数：2，3，5，7，11，13，17，19。

9.跨学科应用拓展：

1.10.师：质数看起来只是数学家的游戏吗？不，它在现代社会中扮演着“守门神”的角色。观看简短动画或图文介绍：RSA公钥加密算法。其基本原理依赖于将两个巨大的质数相乘非常容易，但想要从乘积倒推回原来的两个质数却极其困难。这就是目前网络通信、银行转账安全的数学基石。

2.11.师：在自然界中，某些蝉的生命周期（例如13年、17年）是质数，这可能有助于它们减少与天敌生命周期重合的几率，是进化中的智慧。

3.12.师：介绍“哥德巴赫猜想”（任何一个大于2的偶数都可以写成两个质数之和）和陈景润等数学家的故事，激发民族自豪感和科学探索精神。

（设计意图：练习设计层次分明。基础判断巩固定义，聚焦易错点突破难点；“筛法”制作质数表将数学文化、方法与技能学习融为一体；跨学科拓展则极大地开阔了学生眼界，将抽象的数学概念与前沿科技、自然奥秘、人文历史紧密联系，深刻体现了数学的广泛应用价值和强大生命力，落实了学科育人的目标。）

（五）课堂小结，反思梳理，提升认知（预计用时：2分钟）

师：通过这节课的探究之旅，你有哪些收获和体会？

生1：我知道了什么是质数和合数，关键是看因数的个数。

生2：我知道了1既不是质数也不是合数。

生3：我学会了用拼长方形的方法来研究数的特征，很有意思。

生4：我知道了质数在密码里很有用，数学真神奇。

师：同学们总结得非常全面。我们从动手操作中发现规律，抽象概括出质数和合数的定义，并看到了它们在现实世界中的奇妙应用。数学就是这样一门从实践中来，又到实践中去的学科。希望大家继续保持这种探索的热情，去发现数学中更多的奥秘。

六、板书设计

质数与合数

探究活动：用小正方形拼长方形

数

拼法（长×宽）

因数

拼法种数

2

2×1

1，2

1种

3

3×1

1，3

1种

4

4×1，2×2

1，2，4

2种

5

5×1

1，5

1种

6

6×1，3×2

1，2，3，6

2种

7

7×1

1，7

1种

……

……

……

……

我们的发现：

1.有的数只能拼出一种长方形→因数只有1和它本身→质数（素数）

（如：2，3，5，7，11，13...）

2.有的数能拼出两种或以上长方形→因数除了1和它本身，还有别的→合数

（如：4，6，8，9，10，12...）

3.“1”最特殊：只有一种拼法（1×1），但因数只有1个→既不是质数，也不是合数。

自然数（0除外）分类：

质数（2个因数）

合数（≥3个因数）

1（1个因数）

七、教学反思与改进预设

（一）成功经验预想

1.“拼长方形”的探究活动设计预计能有效调动全体学生的参与热情，将抽象的因数关系可视化，降低了思维坡度，使概念的形成过程自然流畅，符合学生的认知建构规律。

2.对“1”的特殊性的处理贯穿始终，从操作中感知，到分类时争议，再到定义后明晰，环节紧扣，有助于学生突破认知难点，形成完整知识结构。

3.跨学科拓展内容的选择，紧密联系现代科技与生活实际，预计能强烈激发学生的学习兴趣和求知欲，有效达成情感态度价值观目标，体现数学的育人价值。

（二）可能遇到的困难及应对策略

1.困难：在操作探究环节，部分学生可能沉浸于拼摆的乐趣，而忽视了对“拼法种数”与“因数”之间关系的思考。

策略：教师巡视时，应有针对性地进行启发式提问：“你拼出的这个长方形，长和宽是几？这对应着哪两个因数相乘？”“还能拼出不一样的吗？这又对应着哪两个因数？”引导学生将操作与数学思考紧密结合。

2.困难：在判断较大数（如91）是否为质数时，学生可能因无法快速找到其因数而感到困难或武断下结论。

策略：及时归纳判断方法：先用2，3，5等明显特征判断；再用较小的质数（如7，11，13等）去试除，直到试除的质数大于这个数的平方根为止。教授方法，而不仅仅是给出答案。

3.困难：拓展知识如“RSA加密”原理，部分学生理解起来可能有难度。

策略：采用生动的比喻和简单的例子进行说明，不必追求技术的完全透明。重点是传达“质数具有极其重要的应用价值”这一核心信息，激发向往之情即可。

（三）评价设计

1.过程性评价：贯穿于整个教学环节。通过观察学生的操作是否有序、倾听是否专注、发言是否积极、思考是否深入、合作是否有效等进行即时评价，以鼓励性语言为主。

2.纸笔练习评价：设计分层课后练习。

1.3.基础层：判断指定数是质数还是合数；找出50以内的所有质数。

2.4.提高层：两个质数的和是99，这两个质数的积是多少？一个长方形的长和宽都是质数，面积是77平方厘米，周长是多少？

3.5.