2026年烟台市中考数学试卷（含答案及解析）

数学试题第1页(共8页)2026年烟台市初中学业水平考试数学试题注意事项：1.本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2.答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上。3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。4.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。5.写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效。6.考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验。一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，满分30分。每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的)1.-12的相反数是A.-12 B.12 C.－2 2.一笔画图形是指用一根连续不间断的线条，在不重复路径的情况下完成整个图形绘制的特殊贯通图。下列一笔画图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是3.2026年1月，百度发布并上线原生全模态大模型文心5.0正式版，该模型参数达24千亿，实现原生的全模态统一理解与生成，多项权威评测稳居全球第一梯队。24千亿用科学记数法表示为A.24×1011 B.2.4×10114.右图是一个双耳罐器具，它的左视图是数学试题第2页(共8页)5.下列运算结果为m⁵的算式是A.m3⋅m2 B.m5÷m6.如图，某行李箱的齿轮密码是三位数，每一位数都是0~9中的一个数字，开箱时发现忘记密码的最后一位，则一次成功打开该行李箱的概率是A.12 B.13 C.19 7.如图，在折纸活动中，将一组对边互相平行的纸带进行了两次折叠，折痕分别为AB,CD。若AB∥CE,∠CAB＝36°,则∠CDB的度数为A.14° B.16° C.18° D.20°8.若整数m使关于x的一元一次不等式组x+3>0，4x-3＜m有且只有3个整数解，且关于y的分式方程2-3mA.0 B.－1 C.－2 D.－39.如图，直线y＝12x+2与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数y＝kx的图象交于C，D两点,CE⊥x轴,垂足为E,连接DEA.8 B.12 C.16 D.2410.如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点A(1，0)，与y轴的交点C位于(0,－2)和(0,－3)之间,顶点为P,对称轴为直线x＝2。下列说法:①abc＜0;②4a+b＝0;③－1＜a＜－23④设抛物线与x轴的另一交点为B，当∠CPBA.②③④ B.②③ C.②④ D.①③④数学试题第3页(共8页)二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，满分18分)11.若x2x-1在实数范围内有意义，则实数x12.计算π-10+13.路上一群马车行，车车坐人都相等。五人同车三车空，四人同车九步行。问车有多少辆，共有多少人?设有x辆车，y个人，根据题意，可列关于x，y的方程组为。14.如图,正五边形ABCDE的边长为10,连接AC,以AB为直径作⊙O,与AC交于点F,与CB的延长线交于点G，则阴影部分扇形GOF的面积为。15.如图，以原点O为顶点作边长为2的菱形OA₁A₂A₃，点A₃在x轴上，且∠A1OA3＝60∘,将点A₃向右平移2个单位得到点A₄，以A₄为顶点作与菱形OA₁A₂A₃全等的菱形A₄A₅A₆A₇，点A₇在x轴上；再将点A₇向右平移2个单位得到点A₈，以A₈为顶点作与菱形OA1A2A3全等的菱形A₈A₉16.如图1,点P从矩形ABCD的顶点A出发,沿A→B→C→D的方向运动至点D停止,连接AP，Q为AP的中点，连接BQ。设点P的运动路程为x，线段BQ的长为y，图2表示点P从A运动到C的过程中y与x的函数关系。当点P运动到CD中点时，BQ的长度为。数学试题第4页(共8页)三、解答题(本大题共8个小题，满分72分)17.(本题满分6分)先化简，再求值：x2+xx2-218.(本题满分8分)AI技术已广泛应用于社会各领域，某学校新建了一个智慧AI自习教室，引进了“数字人模型”和“AI助教模型”两种模型供学生使用。使用一段时间后，对这两种模型的使用满意度进行了问卷调查(每份问卷涉及两种模型，评分均为0~10的整数，单位：分)，并随机抽取了20份调查问卷，对数据进行整理、分析，得到如下图表：“数字人模型”满意度调查条形统计图 “AI助教模型”满意度调查扇形统计图类别平均数/分中位数/分众数/分数字人模型ab7AI助教模型88c请根据上述信息解答下列问题：(1)填空:a＝,b＝,c＝,m＝;(2)运营商准备对“AI助教模型”进行优化升级，已知所抽取的20份调查问卷中，有2名男生和1名女生对该模型的评分为6分，现从这3人中随机抽取2人进行座谈，请利用树状图或表格求出恰好抽到2名男生的概率。数学试题第5页(共8页)19.(本题满分7分)如图，矩形ABCD中，AC是对角线，请解决下列问题：(1)将△ABC绕点A旋转后，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，且点E在线段AC上，请用尺规作出旋转后的图形(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)的条件下,若AB＝2,BC＝4,,EF与AD交于点G,求FG的长。20.(本题满分8分)为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品。已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量y(件)与每件售价x(元)的函数关系如图所示。(1)求y与x的函数表达式；(2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元?数学试题第6页(共8页)21.(本题满分8分)【综合与实践】活动主题测算矩形广告牌的面积测量工具皮尺、无人机、计时器、计算器等活动过程测量过程如图，矩形广告牌ABCD的边CD为11米，BC与水平地面垂直，支柱EF长6.4米，且垂直于地面。无人机从N点起飞，以3米/秒的速度竖直向上飞行8秒到达M点，此时测得C点的俯角为67.4°，D点的俯角为36.9°(图中各点均在同一平面内)。模型建构参考数据sin67.4°≈0.92,,sin36.9°≈0.60,问题解决求矩形广告牌ABCD的面积(结果精确到1平方米)。数学试题第7页(共8页)22.(本题满分10分)如图，△ABC中，∠C＝90∘,O是边AB上一点,以OB为半径作⊙O,分别与BC,AB交于D,E两点,与AC相切于点F(1)求证:EF(2)试用等式表示线段BE，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论。23.(本题满分12分)【尝试发现】(1)如图1,△ABC△ADE,ABAC＝23。当点D【变式探究】(2)如图2,将(1)中的.△ADE绕点A按逆时针方向旋转一定的角度，其它条件不变，连接CE,BD,AC与BD交于点O,CE与BD的延长线交于点F。①求BDCE的值；②写出∠BAC和∠BFC的数量关系并证明;【联系拓广】(3)如图3,矩形ABCD中,AB＝3,BC＝6,点E在边BC上且BE＝2,连接AE。F是直线BC上的动点,作△AFG∽△ABE,连接CG,EG。①当点F在线段CB的延长线上，且EG＝EA时，求EF的长；②当CG的长度最小时，直接写出此时BF的长。24.(本题满分13分)如图，直线y＝﹣x－6与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，与x(1)求抛物线的表达式；(2)点D在抛物线上，横坐标为t，若点D到直线AC的距离为322,(3)若H为抛物线的顶点，P为对称轴上一点，请直接写出PH+5数学试题第8页(共8页)2026年烟台市初中学业水平考试数学试题答案及解析一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，满分30分.每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的)1.B【解析】【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数，∴-12的相反数是2.D【解析】【分析】把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可，熟练掌握其定义是解题的关键.【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意.3.C【解析】【详解】解:1亿＝10⁸,则1千亿＝则24千亿＝4.A【解析】【分析】根据三视图的定义，主视图是从正面看得到的图形，左视图是从左面看得到的图形，俯视图是从上面看得到的图形.结合实物图及“从正面看”的提示，判断各选项，进而推断左视图.【详解】解：左视图是从物体左侧向右观察得到的视图，题干给出的是双耳罐的立体图，两个耳分别在罐身的左右两侧.选项A、从左侧观察双耳罐时，两个耳沿左右方向分布，会重合在视图的中间位置；由于双耳有厚度，因此会在视图顶部中间呈现出两条平行的竖线，罐身轮廓保持罐子的外形，符合左视图特征.选项B、左右带耳，是主视图.选项C、呈现同心圆与耳的横向轮廓线，是俯视图.选项D、没有画出双耳线条，未体现耳的存在；错误.5.A【解析】【分析】本题考查幂的基础运算法则，根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方对应运算法则计算各选项结果，即可得到答案.【详解】选项A：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴m选项B：同底数幂相除，底数不变，指数相减，∴m选项C：幂的乘方，底数不变，指数相乘，∴m选项D：m³和m²不是同类项，不能合并，结果不为m⁵，不符合要求.6.D【解析】【分析】根据题意，在10个数中选择一个，结合概率的计算即可求解.【详解】解：每一位数都是0~9中的一个数字，∵0~9共有10个数，在其中选择一个数，∴打开该行李箱的概率是17.C【解析】【分析】如图，延长AC到点F，由平行线的性质求出∠FCE＝∠CAB＝36°，然后结合折叠的性质求解。【详解】解：如图，延长AC到点F，∵AB∥CE,∠CAB＝36°,∴∠FCE＝∠CAB＝36°,由折叠得，∵AB∥CE,∴∠CDB＝∠FCD＝18°.8.B【解析】【分析】先解一元一次不等式组，根据整数解的个数确定m的范围，再解分式方程，根据解为非负数且分母不为0进一步确定m的取值，最后，找出所有符合条件的整数m，求和即可得到答案。【详解】解：解不等式组{解不等式x+3＞0,得x＞－3,解不等式4x－3＞m得x∴原不等式组的解集为-∵不等式组有且只有3个整数解，∴不等式组的3个整数为－2,－1,0,∴解得－3＞m≤1.解分式方程方程两边同乘(y－1),得:2(y－1)+3m＝y+4m,整理,得y＝m+2.∵分式方程的解为非负数，且分母不为0，∴{y≥0y≠1,即{m+2≥0m+2综上,m的取值范围为－2≤m≤1,且m≠－1,∵m为整数，∴符合条件的整数m为－2,0,1.∴符合条件的所有整数m的和为－2+0+1＝－1.9.B【解析】【分析】先利用一次函数求出点A的坐标，由OA＝2OE推出点E的坐标，再次利用一次函数求出点C的坐标，进而求得反比例函数的解析式，联立一次函数与反比例函数求出点D的坐标，最后利用割补法求出△CDE的面积.【详解】解：将y＝0代入y＝12x+2,∴点A的坐标为(－4,0),∴OA＝4,∵OA＝2OE,∴OE＝2,AE＝6,∴点E的坐标为(2,0),∵CE⊥x轴,∴将x＝2代入y＝12x+2∴点C的坐标为(2,3),将点C(2,3)代入y＝kx,得∴反比例函数的解析式为y联立一次函数与反比例函数得，{解得{x＝2∴点D的坐标为(－6,－1),S10.A【解析】【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与y轴的交点分别判断a、b、c的正负，进而判断abc的正负；②用对称轴公式x＝-b2a＝2＞0变形推导等式;③把b＝－4a、A(1,0)代入解析式得(c＝3a,结合c的范围解不等式；④利用二次函数图象的对称性得B点坐标，据c＝3a得C点坐标，将x＝2，c＝3a,b＝－4【详解】解：∵二次函数图象开口向下，∴a＞0,∵对称轴为x∴b＞0,∵二次函数的图象与y轴的交点C位于(0，－2)和(0，－3)之间，∴c＞0,∴abc＞0,①错;∵对称轴为x∴b＝－4a,∴4a+b＝0,②正确;∵二次函数的图象与x轴交于点A(1，0)，∴a+b+c＝0,∵b＝－4a,∴a－4a+c＝0,∴c＝3a,∵二次函数图象与y轴的交点C位于(0，－2)和(0，－3)之间，∴可得－3＞c＝3a＞－2,∴-∵二次函数的图象与x轴交于点A(1，0)，对称轴为x＝2，∴点B的坐标为(3,0),∵c＝3a,∴点C的坐标为(0,3a),当x＝2,可得y＝4a+2b+c,将c＝3a,b＝－4a代入,可得y＝－a,∴点P的坐标为(2,－a),∴P∵∠CPB＝90°,∴P可得4解得∵a＞0,④综上，正确的说法为②③④.二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，满分18分)11.【答案】x【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，可得被开方数大于0，据此列不等式求解即可.【详解】解：∴2x－1＞0,移项得2x＞1,系数化为1得x12.【答案】－3【解析】【详解】解:原式＝1－8+4＝－3.13.【答案】{【解析】【分析】根据五人同车三车空，四人同车九步行，列方程组即可解决.【详解】解：设有x辆车，y个人，由题意得，{14.15【解析】【分析】根据正五边形的定义得出AB＝CB,∠ABC＝108∘,，根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠ACB＝36°，根据直径所对的圆周角是直角得出∠AGB【详解】解：如图，连接AG，∵在正五边形ABCDE中,∴AB∴∠BAC∵AB为⊙O的直径,∴∠AGB∴∠FAG∴∠GOF＝2∠GAF＝108°.∴15.【答案】125【解析】【分析】如图，过点A1作A1H⟂x于点H，从A1开始，每8个点记为1组，根据1126＝8×15+6得到A126的位置和第1组中【详解】解：如图，过点A1作A1H⟂x∵所以菱形都两两全等∴从A1开始，每8个点记为1∵∴A126的位置和第1组中∵∠∴∠O∵菱形OA1∴O∴OH∴∴∴由平移得，A∴O∴∵菱形OA1A2∴同理可得，A∴∴∴16.【答案】145【解析】【分析】根据函数图象可知，当点P运动到点B时，BQ取得最小值，当点P运动到点C时，BQ长度为5，利用直角三角形斜边中线性质求出AB和AC的长，进而求出BC的长，确定矩形边长，当点P在CD中点时，延长BQ，CD，相交于点E，证明.△ABQ≅△PEQ(AAS),得到BQ＝EQ,PE＝AB＝6【详解】解：由图2可知，当x＝a时，y取得最小值3，此时点P运动到点B，∵点P与点B重合，且点Q是AP的中点，∴BQ∴AB＝6;∵当x＝b时,y＝5,此时点P运动到点C,∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC∵点Q是AC的中点，∴BQ∴AC∴在Rt△ABC中，BC∴在矩形ABCD中,AD＝BC＝8,CD＝AB＝6.延长BQ,CD,相交于点E,∵点Q是AP的中点,∴AQ∵在矩形ABCD中,AB‖CD,∴∠ABQ＝∠E,∠BAQ＝∠EPQ,∴△ABQ≅△PEQ∴BQ＝EQ,PE＝AB＝6.∵点P是CD的中点，∴CP∴CE＝CP+PE＝3+6＝9,∵在矩形ABCD中,∠C＝90°,∴在Rt△BCE中,BE∵BQ＝EQ,∴BQ三、解答题(本大题共8个小题，满分72分)17.【答案】化简结果为x+3x-1【解析】【详解】解：∵|x|＝1,∴x＝±1,当x＝1时，原式无意义；当18.【答案】(1)7.2,7,8,30(2)【解析】【分析】(1)利用求平均数的公式求出a，利用中位数和众数的定义求出分别求出b，c，先求出扇形统计图中8分所占百分比，用整体1减去其他各部分的百分比即可求解m；(2)用树状图列出所有可能性，利用概率公式进行计算即可.【小问1详解】解：∴a＝7.2;一共20个数据从小到大排列，第10和11个数据的平均数是中位数，由柱状图知第10和11个数据都是7，∴中位数为7，即b＝7;由扇形统计图可知“AI助教模型”中8分出现次数最多，∴c＝8;∵∴1－5%－15%－10%－40%＝30%,即m＝30;【小问2详解】解：共有六种等可能性的结果，其中恰好抽到两名男生的情况由2种，∴19.【答案】(1)A₁D (2)3【解析】【分析】(1)以A为圆心，AB为半径画弧，交AC于E，以E为圆心BE为半径画弧，两弧相交于M，作射线AM，以A为圆心，AC长为半径画弧交AM于F，则△AEF即为所求；有作图可知AB＝AE,∠FAE＝∠CAB,AC＝AF,所以△AEF≌△ABC,且旋转角为∠BAC;(2)可证△AEG∽△ADC,利用对应边成比例可求EG,则FG＝FE－EG可求.【小问1详解】解：略；【小问2详解】解:∵在矩形ABCD中,∴∠ABC＝∠D＝90°,由(1)知△AEF≌△ABC,∴AE＝AB＝2,EF＝CB＝4,∠AEF＝∠B＝90°,∵∠CAD＝∠EAG,∠AEG＝∠D∴△AEG∽△ADC,∴∴∴EG＝1,∴FG＝4－1＝3.20.【答案】(1)y＝－x+70(2)该款文创产品每件的售价为35元.【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)根据题意列一元二次方程，取较小解即可.【小问1详解】解：设y与x的函数表达式为y＝kx+b，将点(30,40)和点(40,30)的代入得:{解得：{∴y与x的函数表达式为y＝－x+70;【小问2详解】解:根据题意得:(x－20)(－x+70)＝525,整理得：x解得：x∵尽可能的让利于顾客，∴x＝35,即该款文创产品每件的售价为35元.21.【答案】矩形广告牌ABCD的面积约为62平方米【解析】【分析】过点C,B分别作MN的垂线,垂足分别为H,P,则四边形CBPH,EFNP是矩形,依题意,MM＝3×8＝24,∠GMD＝36.9∘,∠GMC＝67.4∘,GM‖CD,DC【详解】解:如图,过点C,B分别作MN的垂线,垂足分别为H,P,则四边形CBPH,EFNP是矩形,水平线G－M依题意,MN＝3×8＝24,∠GMD＝36.9°,∠GMC＝67.4°,GM∥CD,DC＝11,PN＝EF＝6.4∴∠MDH＝∠GMD＝36.9°,∠MCH＝∠GMC＝67.4°设MH＝x,则tan∠MDH∴DC解得:x＝12∴MH＝12∴CB＝HP＝MN－MH－PN＝24－12－6.4＝5.6∴ABCD的面积＝BC×DC＝5.6×11＝61.6≈62答：矩形广告牌ABCD的面积约为62平方米22.【答案】(1)证明:如图,连接OF,∵AC是⊙O的切线,∴∠1+∠2＝90°∵∠C＝90°,∴∠4+∠2＝90°∴∠1＝∠4又∵OF＝OB∴∠1＝∠3∴∠3＝∠4(2)BE＝BD+2CD,证明:如图,连接FD,过点F作FG⊥BE于点G,∴∠FGB＝∠C＝90°由(1)可得∠FBC＝∠FBE又∵FB＝FB∴△FBC≅△FBG(AAS)∴FC＝FG,BC＝BG,∵EF∴FD＝FE,∴∴CD＝EG∴BE＝BG+EG＝BC+CD＝BD+2CD,即BE＝BD+2CD【解析】【分析】(1)根据切线的性质可得∠1+∠2＝90°，根据直角三角形的两个锐角互余可得∠4+∠2＝90∘,则∠1＝∠4,根据OF＝OB得出∠1＝∠3(2)连接FD,过点F作FG⊥BE于点G,证明.△FBC≅△FBG(AAS)得出.FC＝FG,BC＝BG,进而证明Rt△EFG≅Rt△DFC(HL23.【答案】123②∠BAC＝∠BFC,证明如下:连接AF,由①得△BAD∽△CAE,∴∠ABD＝∠ACE,即∠ABF＝∠ACF,∴点A、B、C、F四点共圆,∴∠BAC＝∠BFC;(3)①5;②36【解析】【分析】再结合BD＝AB－AD,CE＝AC－AE,计算即可得出结果;(2)①由相似三角形的性质可得ABAD＝ACAE,∠BAC＝∠DAE,从而得出ABAC＝ADAE＝23,∠BAD＝∠CAE,再证明△BAD∽△CAE,即可得出结果;②连接AF,由①得(3)①由矩形的性质得∠ABC＝90°，由勾股定理得AE＝13,由相似三角形的性质得∠AFG＝∠ABC＝90°,∠FAG＝∠BAE,∠AGF＝∠AEB,证明点A、F、G、E四点共圆,求出∠AEG＝90°，从而可得AG＝26,由正切的定义得出tan∠FAG＝FGAF＝23,设FG＝2x,则AF＝3x,结合勾股定理求出AF＝3x＝32,从而可得BF＝3，即可得出结果；②由主动点F在直线BC上，得出点G在直线EG上运动,当CG₁⊥EG时,CG的长度最小,为CG₁,此时点F在F₁处,由①得∠AEG＝90°,结合正切的定义得出CG1EG1＝23,设【小问1详解】解:解:∵△ABC∽△ADE,∴∴AD∵点D,E分别在边AB和AC上,∴BD＝AB－AD,CE＝AC－AE,∴【小问2详解】解:①∵△ABC∽△ADE,∴∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD,AB∴∠BAD＝∠CAE,∴△BAD∽△CAE,∴②略;【小问3详解】解:①∵四边形ABCD为矩形,∴∠ABC＝90°,∴AE∵△AFG∽△ABE,∴∠AFG＝∠ABC＝90°,∠FAG＝∠BAE,∠AGF＝∠AEB,∵点F在线段CB的延长线上，∴∠AGF＝∠AEF,∴点A、F、G、E四点共圆,∴∠AFG+∠AEG＝180°,∴∠AEG∵EG∴AG∵∠FAG＝∠BAE,∴tan∠FAG∴tan∠FAG设FG＝2x,则AF＝3x,由勾股定理得A∴∴x＝∴AF∴BF∴EF②∵主动点F在直线BC上，∴从动点G必须在某一直线