2026年留数 测试题题目及答案

2026年留数测试题题目及答案

一、单项选择题(总共10题，每题2分)1.函数$f(z)=\frac{1}{z(z-1)^2}$在$z=1$处的留数为（）A.0B.1C.-1D.22.若函数$f(z)$在孤立奇点$z_0$处的洛朗级数中负幂次项系数$c_{-n}$（$n\gt0$）全为零，则$z_0$是$f(z)$的（）A.可去奇点B.极点C.本性奇点D.非孤立奇点3.函数$f(z)=\frac{e^z}{z^2-1}$的奇点有（）A.$z=1$和$z=-1$B.$z=0$C.$z=1$D.$z=-1$4.设$f(z)$在$z_0$处有$n$阶极点，则$\underset{z\rightarrowz_0}{lim}(z-z_0)^nf(z)$（）A.等于0B.等于1C.为非零常数D.不存在5.函数$f(z)=\frac{1}{z^2+1}$在$z=i$处的留数为（）A.$\frac{1}{2i}$B.$-\frac{1}{2i}$C.$\frac{1}{2}$D.$-\frac{1}{2}$6.若$f(z)$在区域$D$内解析，$z_0$是$D$内一点，则$f(z)$在$z_0$处的留数为（）A.$f(z_0)$B.0C.$f^\prime(z_0)$D.$\frac{f^\prime(z_0)}{2\pii}$7.函数$f(z)=\frac{\sinz}{z^3}$在$z=0$处的留数为（）A.0B.$\frac{1}{6}$C.$-\frac{1}{6}$D.$\frac{1}{2}$8.若函数$f(z)$在$z_0$的某去心邻域内解析且有界，则$z_0$是$f(z)$的（）A.可去奇点B.极点C.本性奇点D.非孤立奇点9.函数$f(z)=\frac{z^2}{(z-1)(z-2)^2}$在$z=2$处的留数为（）A.2B.-2C.4D.-410.设$f(z)$在$z_0$处有一阶极点，则$\underset{z\rightarrowz_0}{lim}(z-z_0)f(z)$（）A.等于0B.等于1C.为非零常数D.不存在二、填空题(总共10题，每题2分)1.函数$f(z)=\frac{1}{z^2-4}$的奇点为______。2.若$f(z)$在$z_0$处有二阶极点，则$\underset{z\rightarrowz_0}{lim}(z-z_0)^2f(z)$______（填存在或不存在）。3.函数$f(z)=\frac{e^z}{z^2}$在$z=0$处的留数为______。4.设$f(z)$在$z_0$处有$n$阶极点，则$f(z)$在$z_0$处的留数为______。5.函数$f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$在$z=1$处的留数为______。6.若$f(z)$在区域$D$内解析，$C$是$D$内的一条简单闭曲线，则$\frac{1}{2\pii}\oint_{C}\frac{f^\prime(z)}{z-z_0}dz$（$z_0$在$C$内）的值为______。7.函数$f(z)=\frac{\cosz}{z^2}$在$z=0$处的留数为______。8.若$z_0$是$f(z)$的可去奇点，则$\underset{z\rightarrowz_0}{lim}f(z)$______（填存在或不存在）。9.函数$f(z)=\frac{z+1}{z^2(z-1)}$在$z=0$处的留数为______。算10.设$f(z)$在$z_0$处有一阶极点，$g(z)$在$z_0$处解析且$g(z_0)\neq0$，则$\frac{f(z)}{g(z)}$在$z_0$处的留数为______。三、判断题(总共10题，每题2分)1.函数$f(z)$的奇点一定是它的极点。（）2.若$f(z)$在$z_0$处有可去奇点，则$f(z)$在$z_0$处的留数为0。（）3.函数$f(z)=\frac{1}{z^2+1}$的奇点是本性奇点。（）4.设$f(z)$在$z_0$处有极点，则$f(z)$在$z_0$的某去心邻域内无界。（）5.若$f(z)$在区域$D$内解析，$C$是$D$内的简单闭曲线，$z_0$在$C$外，则$\frac{1}{2\pii}\oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_0}dz=0$。（）6.函数$f(z)=\frac{\sinz}{z}$在$z=0$处有可去奇点。（）7.若$f(z)$在$z_0$处的留数为0，则$z_0$是$f(z)$的可去奇点。（）8.函数$f(z)=\frac{1}{(z-1)^3}$在$z=1$处有三阶极点。（）9.设$f(z)$在$z_0$处有一阶极点，则$\underset{z\rightarrowz_0}{lim}(z-z_0)f(z)$存在且不为0。（）10.若$f(z)$在$z_0$的某去心邻域内解析且无界，则$z_0$是$f(z)$的本性奇点。（）四、简答题(总共4题，每题5分)1.简述留数的定义。2.如何求函数在极点处的留数？3.说明可去奇点、极点和本性奇点的特点。4.留数定理的内容是什么？五、讨论题(总共4题，每题5分)1.讨论函数$f(z)=\frac{1}{z^2(z-1)}$在奇点处的留数及奇点类型。2.分析函数$f(z)=\frac{e^z}{z^2-1}$的奇点情况及留数计算方法。3.探讨函数$f(z)=\frac{\sinz}{z^3}$在$z=0$处的奇点类型及留数的求法。4.研究函数$f(z)=\frac{1}{(z-a)(z-b)}$（$a\neqb$）在奇点处的留数及相关性质。答案1.单项选择题答案-1.C-2.A-3.A-4.C-5.A-6.B-7.B-8.A-9.C-10.C2.填空题答案-1.$z=2$和$z=-2$-2.存在-3.1-4.$\frac{1}{(n-1)!}\underset{z\rightarrowz_0}{lim}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}[(z-z_0)^nf(z)]$-5.1-6.$f^\prime(z_0)$-7.0-8.存在-9.-1-10.$\frac{f(z_0)}{g^\prime(z_0)}$3.判断题答案-1.×-2.√-3.×-4.√-5.√-6.√-7.×-8.√-9.√-10.√4.简答题答案-1.设函数$f(z)$在点$z_0$解析，$C$是$z_0$的正向简单闭曲线，那么积分$\frac{1}{2\pii}\oint_{C}f(z)dz$的值称为$f(z)$在$z_0$处的留数，记为$\underset{z=z_0}{Res}f(z)$。-2.对于$n$阶极点$z_0$，可利用公式$\underset{z\rightarrowz_0}{Res}f(z)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{z\rightarrowz_0}{lim}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}[(z-z_0)^nf(z)]$来求留数。-3.可去奇点处函数极限存在，在该点补充定义后函数解析；极点处函数在该点的去心邻域内无界；本性奇点处函数在该点的去心邻域内无界且函数值在该点的极限不存在。-4.留数定理：设$f(z)$在区域$D$内除有限个孤立奇点$z_1,z_2,\cdots,z_n$外处处解析，$C$是$D$内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则$\oint_{C}f(z)dz=2\pii\sum_{k=1}^{n}\underset{z=z_k}{Res}f(z)$。5.讨论题答案-1.函数$f(z)=\frac{1}{z^2(z-1)}$的奇点为$z=0$和$z=1$。$z=0$是二阶极点，$z=1$是一阶极点。求$z=0$处留数：利用公式$\underset{z\rightarrow0}{Res}f(z)=\frac{1}{(2-1)!}\underset{z\rightarrow0}{lim}\frac{d}{dz}[(z-0)^2\frac{1}{z^2(z-1)}]=-1$；求$z=1$处留数：直接代入可得$\underset{z=1}{Res}f(z)=1$。-2.函数$f(z)=\frac{e^z}{z^2-1}$的奇点为$z=1$和$z=-1$，都是一阶极点。求$z=1$处留数：$\underset{z=1}{Res}f(z)=\frac{e^1}{2\times1}=\frac{e}{2}$；求$z=-1$处留数：$\underset{z=-1}{Res}f(z)=\frac{e^{-1}}{2\times(-1)}=-\frac{1}{2e}$。-3.函数$f(z)=\frac{\sinz}{z^3}$在$z=0$处是三阶极点。利用公式求留数：$\underset{z\rightarrow0}{Res}f(z)=\frac{1}{(3-1)!}\underset{z\rightarrow0}{lim}\frac{d^{2}}{dz^{2}}[(z-0)^3