27.3 正多边形与圆 教案

27.3正多边形与圆教案（含一题多解、技巧解题、中考分析及应用拓展）一、教学目标掌握正多边形的概念、对称性，理解正多边形与圆的关系，明确正多边形的中心、半径、边心距、中心角等核心概念。熟练运用正多边形的内角、中心角公式进行计算，能通过勾股定理关联正多边形的半径、边心距与边长。掌握等分圆周画正多边形的两种方法，能规范作出特殊正多边形（如正五边形、正六边形）。掌握相关题型的一题多解思路，结合中考真题规范解题步骤，提升几何计算与作图能力。二、教学重难点（一）教学重点正多边形的角度与边长计算（一题多解）。正多边形与圆的关系及相关性质应用（技巧解题）。中考中正多边形的计算与作图题型突破。（二）教学难点利用勾股定理解决正多边形半径、边心距、边长的关系问题。复杂正多边形（如正五边形）的尺规作图原理理解。中考中正多边形与圆结合的综合计算题型解题思路构建。三、教学过程（含考点考频、例题解析、中考链接）（一）知识回顾（5分钟）核心概念：正多边形：各边相等、各角也相等的多边形，既是轴对称图形（n条对称轴），边数为偶数的正多边形还是中心对称图形。正多边形与圆：把圆n等分，依次连接各分点可得圆内接正n边形，该圆是正多边形的外接圆。关键元素：中心（外接圆的圆心）、半径（外接圆半径）、边心距（内切圆半径）、中心角（每边所对的圆心角，度数为360°/n）。核心公式：正n边形内角和：(n-2)×180°，一个内角：[(n-2)×180°]/n。中心角：360°/n（与外角相等）。勾股定理关联：半径²=边心距²+（边长/2）²。作图方法：量角器等分圆：用量角器作360°/n的中心角，依次截取等分点并连接。尺规等分圆：仅适用于特殊正多边形（如正三、四、五、六边形），通过尺规作相等弧实现等分。（二）考点考频及常考题型分析1.正多边形的角度与边长计算（考频：10年9考，必考中档题）①考频分析中考必考考点，覆盖选择、填空、解答题，分值3-6分，难度中档。核心考查内角、中心角的计算，或结合半径、边心距求边长、面积。②常考题型题型：正多边形角度计算中考链接：（2023·四川成都统考中考真题）正六边形的一个内角的度数是（）A．60°B．90°C．108°D．120°答案：D解题核心：正六边形内角=(6-2)×180°/6=120°。题型：正多边形边长与面积计算中考链接：（2022·浙江杭州统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为2，则该正六边形的边长和面积分别是（）A．2，6√3B．√3，6√3C．2，12D．√3，12答案：A解题核心：正六边形边长等于半径=2；边心距=√(2²-1²)=√3，面积=6×(2×√3)/2=6√3。2.正多边形与圆的关系（考频：10年8考，高频基础题）①考频分析考查频率高，以选择、填空题为主，分值3分，难度低-中档。核心考查正多边形的外接圆、内切圆相关概念，或等分圆周的作图原理。②常考题型题型：正多边形与圆的概念辨析中考链接：（2024·江苏苏州统考中考真题）下列说法正确的是（）各边相等的多边形是正多边形正多边形的外接圆半径等于边长正多边形的中心角与外角相等正多边形的内切圆半径就是边心距答案：C解题核心：A选项需同时满足各角相等；B选项仅正六边形等特殊正多边形成立；C选项中心角=360°/n，外角=360°/n，相等；D选项边心距是内切圆半径，但表述“就是”需明确前提，C为唯一正确选项。3.正多边形作图（考频：10年6考，高频基础题）①考频分析考查频率较高，以作图题、选择题为主，分值3-4分，难度中档。核心考查用量角器或尺规作特殊正多边形，或判断作图方法的正确性。②常考题型题型：正多边形作图判断中考链接：（2021·广东广州统考中考真题）用尺规作图作正六边形，下列步骤正确的是（）先作一个圆，再作圆的内接正三角形，顺次连接各边中点先作一个圆，再以圆上任意一点为圆心，圆的半径为半径作弧，依次截取等分点C．先作一条线段，再以线段端点为圆心，线段长度为半径作弧，构造等边三角形D．先作一条直线，再在直线上截取6段相等线段，依次连接形成正六边形答案：B解题核心：尺规作正六边形的关键是“以半径为弦长等分圆”，B选项符合该原理。（三）经典例题解析（30分钟）例题1：正六边形的周长与面积计算（基础题·一题多解）题目：亭子地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留一位小数）。解法1：利用正六边形性质法（核心法）步骤：正六边形边长=半径=4m，周长=6×4=24m；作边心距OP⊥BC，PC=2m，边心距OP=√(4²-2²)=2√3m；面积=6×(4×2√3)/2=24√3≈54.6m²。核心依据：正六边形边长等于半径，面积为6个等边三角形面积之和。解法2：公式法（技巧法）步骤：周长公式：正n边形周长=n×边长，边长=半径=4m，周长=24m；面积公式：正n边形面积=(1/2)×周长×边心距，边心距=√(r²-(r/2)²)=(√3/2)r=2√3m；面积=(1/2)×24×2√3=24√3≈54.6m²。核心依据：记忆正多边形面积公式，直接代入计算，节省推导时间。技巧解题：正六边形速记技巧技巧：“正六边形，边等半径，边心距=(√3/2)r，面积=(3√3/2)r²”，直接套用公式快速求解。中考分析：考频：该类题型为中考中档题，每年必考。命题趋势：常结合建筑、图案等实际场景，核心是正六边形与圆的关系应用。例题2：正多边形内角与中心角计算（中档题·一题多解）题目：求正五边形的一个内角和中心角的度数。解法1：公式直接法（核心法）步骤：内角=(5-2)×180°/5=108°；中心角=360°/5=72°。核心依据：直接运用正多边形内角和与中心角公式。解法2：外角推导法（技巧法）步骤：多边形外角和=360°，正五边形外角=360°/5=72°；内角=180°-外角=108°；中心角=外角=72°（正多边形中心角与外角相等）。核心依据：利用外角和为定值，间接推导内角，简化计算。技巧解题：正多边形角度速记技巧技巧：“内角=180°-360°/n，中心角=360°/n=外角”，快速关联内角、中心角、外角的关系。中考分析：考频：该类题型为中考基础送分题，每年必考。命题趋势：常考查正三、四、五、六边形的角度，核心是公式记忆与应用。例题3：正多边形作图（高档题·一题多解+拓展）题目：画一个半径为2cm的正五边形，并作出五角星。解法1：量角器等分法（核心法）步骤：画半径2cm的圆，用量角器作中心角=360°/5=72°；依次在圆上截取5个等分点A、B、C、D、E；顺次连接A、B、C、D、E，得到正五边形；连接A、C、E、B、D，形成五角星。核心依据：用量角器精准等分圆，适用于任意正多边形。解法2：尺规等分法（技巧法）步骤：画半径2cm的圆，作直径AB；作OB的垂直平分线交OB于点P，以P为圆心，PC（C为圆上一点）为半径作弧交AB于点Q；以C为圆心，CQ为半径作弧，依次截取圆上等分点，连接得到正五边形；连接对角线形成五角星。核心依据：利用尺规作特殊长度，实现圆的五等分，适用于精准作图。技巧解题：正多边形作图速记技巧技巧：“量角器法万能，尺规法精准；特殊多边形（三、四、六）用尺规，一般多边形用量角器”，根据需求选择方法。拓展：若作正六边形，可直接以半径为弦长，用尺规六等分圆，步骤更简洁。中考分析：考频：该类题型为中考高频基础题，侧重作图规范。命题趋势：常考查正五、六边形的作图，或根据作图步骤判断正误。（四）中考命题规律总结（10分钟）考查题型分布：基础题（3分）：角度计算、概念辨析（选择/填空），占比40%。中档题（3-6分）：边长、面积计算（选择/填空/解答题），占比45%。高档题（4-6分）：作图题、正多边形与圆综合计算（作图题/解答题），占比15%。命题趋势分析：基础题稳定化：角度计算、概念辨析每年必考，难度无上升。计算规范化：边长、面积计算需结合勾股定理，步骤要求清晰。应用情境化：结合建筑、图案、机械零件等实际场景，体现数学实用性。解题技巧总览：基础题：角度计算“套公式”，概念辨析“抓定义”。中档题：边长面积“用勾股”，正六边形“边等半径”。高档题：作图题“选对方法”，综合题“先找圆的关系，再用正多边形性质”。（五）课堂练习（10分钟）用两种方法求正八边形的一个内角和中心角（一题多解）。正三角形内接于⊙O，⊙O半径为6，求正三角形的边长和面积（技巧解题）。判断：各角相等的圆内接多边形是正多边形（综合应用）。用尺规作半径为3cm的正六边形（拓展应用）。（六）课堂小结（5分钟）核心知识：正多边形的概念、性质、公式，与圆的关系，作图方法。解题方法：一题多解（公式法/外角法、量角器法/尺规法）、技巧解题（公式速记、作图口诀）。中考策略：基础题保分（牢记公式），中档题稳分（规范步骤），高档题突破（综合圆与正多边形性质）。（七）课后作业（分层设计）基础层：完成教材习题27.3（角度计算、概念辨析）。提高层：完成2021-2024年全国各省市中考正多边形相关真题（不少于5道），要求规范书写步骤。拓展层：设计一道结合正多边形与圆的综合题（如求阴影部分面积），写出题目、解题过程及思路解析。四、教学反思难点突破：学生对“正多边形与圆的关系”“勾股定理应用”问题突出，后续教学中可增加模型演示、专项计算训练。一题多解教学：需引导学生根据题目类型选择最优解法，基础计算用公式法提速，作图题根据精度要求选择量角器或尺规法。中考衔接：需补充更多实际场景类真题，强化正多边形面积、边长的计算规范，让学生适应中考评分标准。细节规范：部分学生混淆“边心距”“半径”的概念，或作图时遗漏等分点标注，需通过错题对比强化细节记忆。综合训练一、选择题1.在矩形ABCD中,AB=8,BC=35,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是()A.点B,C均在圆P外B.点B在圆P外、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B,C均在圆P内2.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是()A.80° B.100° C.140° D.160°3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且CE=CD,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F等于(A.92° B.108° C.112° D.124°4.如图,CD为圆O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM∶MD=5∶8,则圆O的周长为()A.26π B.13π C.96π5 D5.如图,从一块直径为2m的圆形铁皮上剪下一个圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为()A.π2m2 B.32πm2 C.πm2 D.2π6.如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,☉P与x轴、y轴都相切,且经过矩形AOBC的顶点C,与BC相交于点D.若☉P的半径为5,点A的坐标是(0,8).则点D的坐标是()A.(9,2) B.(9,3) C.(10,2) D.(10,3)7.如图,点P是等边三角形ABC外接圆☉O上的点,在下列判断中,不正确的是()A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥ACC.当PO⊥AC时,∠ACP=30°D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形8.如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是圆O的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为()A.4 B.33 C.6 D.23二、填空题9.如图,点A,B,C在半径为9的☉O上,AB的长为2π,则∠ACB的大小是.

10.如图,点A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若∠DCE=40°,则∠ACB的度数为.

11.如图,在☉O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=°.

12.如图,AB为☉O的直径,C为☉O外一点,过点C作☉O的切线,切点为B,连接AC交☉O于点D,∠C=38°.点E在AB右侧的半圆周上运动(不与A,B重合),则∠AED的度数为.

13.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC,垂足为D,连接BD,BC,AB=5,AC=4,则BD=.

三、解答题14.在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).(1)画出△ABC的外接圆☉P,并指出点D与☉P的位置关系;(2)若直线l经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l与☉P的位置关系.15.已知BC是☉O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是☉O的弦,∠AEC=30°.(1)求证:直线AD是☉O的切线;(2)若AE⊥BC,垂足为点M,☉O的半径为4,求AE的长.16.如图,已知在☉O中,AB=43,AC是☉O的直径,AC⊥BD,垂足为F,∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积;(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.17.如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,☉O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC,OF交AC于点E,交PC于点F,连接AF.(1)判断AF与☉O的位置关系并说明理由;(2)若☉O的半径为4,AF=3,求AC的长.综合训练一、选择题1.C2.B∵∠AOC=160°,∴∠ADC=12∠AOC=80°∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-80°=100°.3.C∵∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.在☉O中,∵CE=∴∠COE=2∠B=68°,∴∠F=112°,故选C.4.B如图,连接OA,设OM=5x,MD=8x,则OA=OD=13x.又AB=12,由垂径定理可得AM=6,∴在Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=12∴半径r=OA=132.根据圆周长公式C=2πr,得圆O的周长为13π5.A如图,连接AC,∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,即∠ABC=90°,∴AC为直径,即AC=2m,AB=BC.∵AB2+BC2=22,∴AB=BC=2(m).∴阴影部分的面积是90π×(2)23606.A7.C对于选项A,当弦PB最长时,PB是☉O的直径,O既是等边三角形ABC的内心,也是外心,所以∠ABP=∠CBP,根据圆周角性质,PA=PC,所以PA=PC;对于选项B,当△APC是等腰三角形时,点P是AC的中点或与点B重合,由垂径定理,都可以得到PO⊥AC;对于选项C,当PO⊥AC时,由点P是AC的中点或与点B重合,易得∠ACP=30°或∠ACP=60°;对于选项D,当∠ACP=30°时,分两种情况,点P是AC或AB的中点,都可以得到8.B如图,连接OD,因为DF为圆O的切线,所以OD⊥DF.因为△ABC为等边三角形,所以AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°.因为OD=OC,所以△OCD为等边三角形.所以OD∥AB.所以DF⊥AB.又O为BC的中点,所以D为AC的中点.在Rt△AFD中,∠ADF=30°,AF=2,所以AD=4,即AC=8.所以FB=AB-AF=8-2=6.在Rt△BFG中,∠BFG=30°,所以BG=3,则根据勾股定理得FG=33,故选B.二、填空题9.20°如图,连接OA,OB.设∠AOB=n°.∵AB的长为2π,∴nπ×9180=2π.∴n=40,∴∴∠ACB=12∠AOB=20°10.110°11.215在圆内接四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,∠B=180°-∠ADC.在圆内接四边形ACDE中,∠E+∠ACD=180°,∠E=180°-∠ACD,故∠B+∠E=180°-∠ADC+180°-∠ACD=180°+(180°-∠ADC-∠ACD)=180°+∠CAD=180°+35°=215°.12.38°如图,连接BE,则直径AB所对的圆周角∠AEB=90°.由BC是☉O的切线得∠ABC=90°,∠BAC=90°-∠C=90°-38°=52°.因为∠BAC=∠BED=52°,所以∠AED=∠AEB-∠BED=90°-52°=38°.13.13由垂径定理,得CD=2,由AB是☉O的直径,得∠C=90°.由勾股定理,得BC=3,在Rt△BCD中,由勾股定理得BD=13.三、解答题14.解(1)所画☉P如图所示.由图可知,☉P的半径为5.连接PD,∵PD=12+22=5,∴点