28.1 随机事件与概率 教案

28.1随机事件与概率教案（含一题多解、技巧解题、中考分析及应用拓展）一、教学目标掌握必然事件、不可能事件、随机事件的核心概念，能准确辨别各类事件；理解概率的意义，明确概率的取值范围及特殊事件的概率值。精通随机事件可能性大小比较及概率计算的一题多解思路，掌握快速解题技巧，提升解题效率。理解概率知识的实际应用场景，能结合中考真题规律综合解题，提升中考应试能力。能运用概率知识解决生活中的简单问题，如游戏公平性判断、事件发生可能性分析等。二、教学重难点（一）教学重点必然事件、不可能事件、随机事件的概念辨析与判定。概率的定义及简单计算（一题多解）。随机事件发生可能性大小的比较及实际应用。（二）教学难点复杂情境中随机事件的识别与概率计算。概率与实际生活问题的结合，如游戏策略选择、决策分析等。中考中概率与其他数学知识结合的综合题型技巧总结。三、教学过程（含例题、一题多解、技巧、中考分析）（一）知识回顾（10分钟）核心概念：事件分类：必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件。不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件。随机事件（不确定事件）：在一定条件下，可能会发生，也可能不发生的事件。确定性事件：必然事件和不可能事件统称为确定性事件，事件发生前可预知结果，具有必然性；随机事件发生前不可预知结果，具有偶然性。概率：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，记为P(A)。关键性质与公式：事件发生可能性大小比较：在相同条件和总数一定的情况下，通过可能出现的结果数比较，结果数越多，事件发生的可能性越大。概率公式：事件A发生的概率P(A)=事件A包含的可能结果数m÷所有可能的结果数n（即P(A)=m/n）。概率取值范围：0≤P(A)≤1；当A为必然事件时，P(A)=1；当A为不可能事件时，P(A)=0；事件发生的可能性越大，概率越接近1，反之越接近0。（二）考点考频及常考题型1.事件类型识别（考频：10年9考，近5年连续考查）①考频分析属于基础必考知识点，多在选择题、填空题第1-6题出现，难度低（分值3分）。核心考查对必然事件、不可能事件、随机事件定义的理解，常结合生活实例、数学常识、几何性质等命题。②常考题型题型1：事件分类判断题（占比90%）示例：（2024湖南中考）下列事件中，属于必然事件的是（）A.掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是6B.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中C.通常加热到100℃时，水沸腾D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯答案：C解题核心：紧扣各类事件定义，结合生活经验、科学常识或数学定理判断，排除不确定因素的选项。题型2：事件举例题（占比10%）示例：（2023江苏中考）请写出一个生活中的随机事件：__________答案：打开电视，它正在播放新闻（答案不唯一）解题核心：结合生活实际，写出可能发生也可能不发生的事件，避免与必然事件、不可能事件混淆。2.概率计算（考频：10年10考，近6年无间断）①考频分析中考核心考点，覆盖选择、填空、解答题，分值3-8分，难度低-中档。核心考查概率公式的直接应用、可能性大小比较，常以摸球、掷骰子、转盘、抽卡片等为背景命题，部分题目结合分类讨论思想。②常考题型题型1：直接计算概率题（占比60%）示例：（2024广东中考）一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，摸到红球的概率是（）A.1/5B.2/5C.3/5D.2/3答案：C解题核心：明确所有可能的结果数n和所求事件包含的结果数m，代入概率公式P(A)=m/n计算。题型2：可能性大小比较题（占比20%）示例：（2022山东中考）地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7，随机选取地球上一个点，这个点在海洋的概率与在陆地的概率相比（）A.在海洋的概率大B.在陆地的概率大C.概率相等D.无法确定答案：A解题核心：先分别计算两类事件的概率，再比较概率大小，概率越大，可能性越大。题型3：概率与游戏公平性结合题（占比20%）示例：（2023浙江中考）一个不透明的盒子里有2个红球和1个白球，它们除颜色外完全相同，从中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再随机摸出1个球。若两次摸到的球颜色相同，则甲获胜；若两次摸到的球颜色不同，则乙获胜。这个游戏公平吗？请说明理由。答案：不公平，理由：所有可能的结果有（红1，红1）、（红1，红2）、（红1，白）、（红2，红1）、（红2，红2）、（红2，白）、（白，红1）、（白，红2）、（白，白），共9种。两次颜色相同的结果有5种，P（甲获胜）=5/9；两次颜色不同的结果有4种，P（乙获胜）=4/9。因为5/9≠4/9，所以游戏不公平。解题核心：先列举所有可能的结果，计算双方获胜的概率，若概率相等则游戏公平，否则不公平。3.概率综合应用（考频：10年8考，近3年考查频次上升）①考频分析中档偏难题型，多在解答题第17-20题出现，分值6-8分。核心考查概率与统计、几何图形、实际决策等知识的结合，需要学生具备较强的分析能力和综合运用知识的能力。②常考题型题型1：概率与几何图形结合题（占比50%）示例：（2024湖北中考）如图，一个可以自由转动的转盘分成7个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，其中红色3个、绿色2个、黄色2个。转动转盘，停止后指针指向红色扇形的概率是（）A.2/7B.3/7C.4/7D.5/7答案：B解题核心：确定几何图形中符合条件的区域数量与总区域数量，利用概率公式计算，注意区域大小需相同。题型2：概率与实际决策题（占比50%）示例：（2023安徽中考）某超市举办抽奖活动，规则如下：在一个不透明的箱子里放有红、黄、蓝三种颜色的小球若干（除颜色外完全相同），顾客随机摸出一个小球，记下颜色后放回，摇匀后再摸一次。若两次摸到的小球颜色相同，即可获得奖品。已知箱子里红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，求顾客获得奖品的概率。答案：19/50解题核心：先计算所有可能的摸球结果数，再计算两次颜色相同的结果数，最后代入概率公式求解，依据概率大小分析决策合理性。（三）经典例题解析（30分钟）例题1：事件类型识别（基础题）题目：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件。（1）通常加热到100℃时，水沸腾；（2）篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中；（3）掷一次骰子，向上一面的点数是6；（4）任意画一个三角形，其内角和是360°；（5）经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；（6）射击运动员射击一次，命中靶心。解法1：定义直接判定法（常规法）步骤：分析事件（1）：根据物理常识，标准大气压下加热到100℃水必然沸腾，属于必然事件；分析事件（2）：投篮结果不确定，可能投中也可能未投中，属于随机事件；分析事件（3）：掷骰子点数可能是1-6中的任意一个，点数为6是不确定的，属于随机事件；分析事件（4）：根据三角形内角和定理，三角形内角和一定是180°，不可能是360°，属于不可能事件；分析事件（5）：交通信号灯有红、绿、黄三种，遇到红灯是不确定的，属于随机事件；分析事件（6）：射击结果不确定，可能命中也可能未命中，属于随机事件。核心依据：必然事件、不可能事件、随机事件的定义，结合常识、定理判断。解法2：特征排除法（技巧法）步骤：先找出必然事件：描述真理或客观存在事实的事件，即（1）；再找出不可能事件：描述违背真理或客观存在事实的事件，即（4）；剩余事件均为随机事件：（2）（3）（5）（6）。核心依据：利用确定性事件（必然、不可能事件）的特征快速筛选，剩余即为随机事件，提高判断效率。技巧解题：关键词速判技巧技巧：看到“一定”“必然”“肯定”等关键词，大概率是必然事件；看到“不可能”“绝不会”等关键词，为不可能事件；看到“可能”“不确定”“有时”等关键词，为随机事件。适用场景：选择题、填空题中的事件类型快速判断，中考速解。中考分析：考频：每年中考必考（选择/填空基础题），难度低。命题趋势：结合生活场景、学科常识（物理、几何）命题，事件描述更贴近实际。例题2：概率计算（中档题·一题多解）题目：掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：（1）点数为2；（2）点数为奇数；（3）点数大于2且小于5。解法1：直接列举法（常规法）步骤：掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数所有可能结果为1、2、3、4、5、6，共6种，且每种结果可能性相等；（1）点数为2的结果只有1种，所以P（点数为2）=1/6；（2）点数为奇数的结果有1、3、5，共3种，所以P（点数为奇数）=3/6=1/2；（3）点数大于2且小于5的结果有3、4，共2种，所以P（点数大于2且小于5）=2/6=1/3。核心依据：概率公式，通过列举所有可能结果数和所求事件结果数计算。解法2：分类计数法（拓展法）步骤：设所有可能结果总数为n=6；（1）设事件A为“点数为2”，事件A包含的结果数m1=1，故P(A)=m1/n=1/6；（2）设事件B为“点数为奇数”，奇数包括1、3、5，m2=3，故P(B)=m2/n=3/6=1/2；（3）设事件C为“点数大于2且小于5”，符合条件的点数为3、4，m3=2，故P(C)=m3/n=2/6=1/3。核心依据：先分类确定各类事件的结果数，再代入概率公式，适合结果数较多的场景。技巧解题：结果数快速计数技巧技巧：对于掷骰子、抽卡片等问题，先明确总结果数，再根据事件条件快速筛选符合条件的结果数，无需完整列举，直接计算概率。适用场景：简单概率计算，中考选择/填空速解。中考分析：考频：高频考点（选择/填空/解答题），难度中低。命题趋势：结合事件组合（如“点数为偶数或大于4”）、多次重复试验等考查。真题链接：2024广东中考题“一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，从中随机摸出1个球，摸到红球的概率是（）”（答案：C）。例题3：转盘概率计算（中档题·一题多解）题目：一个可以自由转动的转盘，分成7个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色，其中红色3个、绿色2个、黄色2个。指针的位置固定，转动转盘停止后，求下列事件的概率：（1）指针指向红色；（2）指针指向红色或黄色；（3）指针不指向红色。解法1：直接计数法（常规法）步骤：所有可能结果总数n=7（7个扇形），且每种结果可能性相等；（1）指针指向红色的结果数m1=3，故P（指向红色）=3/7；（2）指针指向红色或黄色的结果数m2=3+2=5，故P（指向红色或黄色）=5/7；（3）指针不指向红色，即指向绿色或黄色，结果数m3=2+2=4，故P（不指向红色）=4/7。核心依据：概率公式，直接计算符合条件的扇形个数与总个数的比值。解法2：对立事件法（技巧法）步骤：（1）同解法1，P（指向红色）=3/7；（2）“指向红色或黄色”的对立事件是“指向绿色”，P（指向绿色）=2/7，故P（指向红色或黄色）=1-2/7=5/7；（3）“不指向红色”的对立事件是“指向红色”，故P（不指向红色）=1-P（指向红色）=1-3/7=4/7。核心依据：利用对立事件概率之和为1，当直接计算某事件概率较复杂时，可先求其对立事件概率，再间接求解。技巧解题：对立事件速算技巧技巧：遇到“不指向”“不是”“至少”“至多”等表述的事件，可优先考虑对立事件，简化计算过程。适用场景：复杂事件的概率计算，中考解答题快速解题。中考分析：考频：高频考点（选择/填空/解答题），难度中档。命题趋势：转盘设计更复杂（如不同大小扇形）、结合分层抽样思想考查。例题4：扫雷游戏概率分析（高档题·一题多解）题目：在一个有9×9个方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最多只能埋藏1颗地雷。小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现了如图所示的情况（与标号3的方格相邻的方格记为A区域，A区域外的部分记为B区域，数字3表示在A区域有3颗地雷）。下一步应该点击A区域还是B区域？解法1：概率计算比较法（常规法）步骤：首先确定A区域的方格数：与标号3的方格相邻的方格，假设标号3的方格周围有8个相邻方格（无边界遮挡情况），即A区域有8个方格，已知A区域有3颗地雷；则A区域未点击的方格中，地雷概率P(A)=3÷8=3/8；总方格数为9×9=81，已点击1个方格，剩余80个方格，B区域方格数=80-8=72，B区域地雷数=10-3=7；则B区域地雷概率P(B)=7÷72≈0.097；因为3/8=0.375＞0.097，即P(A)＞P(B)，所以点击B区域更安全。核心依据：计算两个区域的地雷概率，概率越小越安全，通过比较概率大小做出决策。解法2：可能性大小比较法（拓展法）步骤：A区域有8个方格，含3颗地雷，平均每2.67个方格有1颗地雷；B区域有72个方格，含7颗地雷，平均每10.29个方格有1颗地雷；显然B区域单位方格内地雷出现的可能性更小，所以点击B区域更安全。核心依据：通过计算单位区域内地雷的分布密度，比较可能性大小，密度越小越安全。技巧解题：区域密度比较技巧技巧：对于此类区域概率比较问题，可通过计算单位区域内目标事件（地雷）的分布密度，快速比较可能性大小，无需精确计算概率。适用场景：概率决策类问题，中考压轴选择/解答题。中考分析：考频：中频难点（选择压轴/解答题），难度中高。命题趋势：结合实际游戏、生活决策场景，考查概率在风险评估中的应用。（四）中考命题规律总结（10分钟）考查题型：基础题（3-6分）：事件类型识别、简单概率计算（摸球、掷骰子、转盘），多以选择/填空形式出现。中档题（4-8分）：复杂概率计算（组合事件、对立事件）、可能性大小比较，以填空/解答题形式出现。高档题（6-10分）：概率与实际生活结合（游戏公平性、决策分析）、概率与几何/统计综合，以解答题形式出现。命题趋势：从“单一事件”到“组合事件”：如“同时掷两枚骰子，点数之和为偶数”的概率计算。从“等可能模型”到“非等可能模型”：如不同大小扇形的转盘概率计算。从“纯数学计算”到“实际应用决策”：如基于概率的风险评估、方案选择等。解题技巧总览：基础题：定义辨析法、直接计数法、关键词速判技巧。中档题：对立事件法、分类计数法、组合事件分解技巧。高档题：概率比较法、密度分析技巧、实际场景建模法。（五）课堂练习（10分钟）桌上倒扣着背面图案相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃。从中随机抽取1张。（1）能够事先确定抽取的扑克牌的花色吗？（2）求抽到黑桃和红桃的概率，哪种花色抽到的可能性大？（3）能否通过改变某种花色的扑克牌的数量，使“抽到黑桃”和“抽到红桃”的可能性大小相同？（一题多解）已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，求陨石落在陆地上和海洋里的概率，并比较哪种可能性大。（六）课堂小结（5分钟）核心知识：必然事件、不可能事件、随机事件的概念；概率的定义、公式、取值范围；随机事件可能性大小比较方法。解题方法：一题多解（定义法、对立事件法、分类计数法）、技巧解题（关键词速判、对立事件速算、密度比较）。中考策略：基础题保分（熟练掌握概念和公式），中档题稳分（灵活运用解题技巧），高档题突破（建立实际场景与概率模型的联系）。（七）课后作业（分层设计）基础层：完成教材习题28.1（事件识别、简单概率计算）。提高层：完成2021-2024中考概率真题汇编（一题多解要求）。拓展层：设计一个公平的游戏规则，结合概率知识说明其公平性。四、教学反思需关注学生对随机事件概念的准确理解，可通过大量生活实例对比辨析，避免与确定性事件混淆。概率计算中，学生容易忽略“所有结果可能性相等”这一前提条件，教学中需重点强调，结合非等可能模型举例说明。一题多解教学中，要引导学生根据题目特点选择最优解法，如简单概率用直接计数法，复杂事件用对立事件法，提升解题效率。中考分析需结合最新真题，突出“实际应用”和“综合建模”趋势，让学生感受概率知识的实用性，增强学习兴趣。综合训练一、选择题1.下列事件中,是不可能事件的为()A.买一张电影票,座位号是奇数B.射击运动员射击一次,命中9环C.明天会下雨D.度量三角形的内角和,结果是360°2.下列说法正确的是()A.“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间都在降雨B.“抛一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率为12”C.“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票肯定会中奖D.“抛一枚质地均匀的正方体骰子,朝上的点数是2的概率为16”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数是2”这一事件发生的频率稳定在13.如图,有一些写有号码的卡片,它们的背面都相同,现将它们背面朝上,从中任意摸出一张,摸到号码为1的卡片的概率是()A.12 B.13 C.23 4.一只蚂蚁在如图所示的树上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它获得食物的概率是()A.13 B.12 C.23 5.一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球,其中2个红色,1个白色,1个黑色,搅匀后从布袋里摸出1个球,摸到红球的概率是()A.12 B.13 C.14 6.如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2在x轴上,点B1,B2在y轴上,其坐标分别为A1(1,0),A2(2,0),B1(0,1),B2(0,2),分别以A1,A2,B1,B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形,所作三角形是等腰三角形的概率是()A.34 B.12 C.23 7.如图,甲为四等分数字转盘,乙为三等分数字转盘.同时自由转动两个转盘,当转盘停止转动后(若指针停在边界处则重转),两个转盘的指针恰好有一个指向阴影区域的概率是()A.56 B.13 C.23 8.一项“过关游戏”规定:在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6的点数)抛掷n次,若n次抛掷所出现的点数之和大于54n2,则算过关;否则不算过关.则能过第二关的概率是(A.1318 B.C.14 D.二、填空题9.如果从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中任意选取一个数,那么取到的数恰好是5的倍数的概率是.

10.在一个不透明的盒子中装有n个小球,它们除颜色外其他均相同,其中有2个红球,每次摸球前先将盒子中的球摇匀,随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中,通过大量重复摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定于0.2,则可以推算出n大约是.

11.如果小球在如图所示的地面上自由滚动,并随机停留在某块方砖上,那么它最终停留在黑色区域的概率是.

12.今年五一节,某超市开展“有奖促销”活动,凡购物不少于30元的顾客均有一次转动转盘的机会(如图,转盘被分为8个全等的小扇形),当指针最终指向数字8时,该顾客获一等奖;当指针最终指向2或5时,该顾客获二等奖(若指针指向分界线则重转).经统计,当天发放一、二等奖奖品共600份,那么据此估计参与此次活动的顾客为人次.

三、解答题13.有一个质地均匀的正12面体,12个面上分别写有1~12这12个整数(每个面上只有一个整数且每个面上的整数互不相同).投掷这个正12面体一次,记事件A为“向上一面的数字是2或3的整数倍”,记事件B为“向上一面的数字是3的整数倍”,请你判断等式“P(A)=12+P(B)”是否成立,并说明理由14.一个不透明的口袋里装着分别标有汉字“灵”“秀”“神”“州”的四个小球,除汉字不同之外,小球没有任何区别,每次摸球前先搅拌均匀再摸球.(1)若从中任取一个球,则球上的汉字刚好是“神”的概率为多少?(2)甲从中任取一个球,不放回,再从中任取一个球,请用画树状图的方法,求出甲取出的两个球上的汉字恰好能组成“灵秀”或“神州”的概率P1;(3)乙从中任取一个球,记下汉字后再放回袋中,然后再从中任取一个球,记乙取出的两个球上的汉字恰能组成“灵秀”或“神州”的概率为P2,指出P1,P2的大小关系(请直接写出结论,不必证明).15.小亮与小齐学习概率初步知识后设计如下游戏:小亮手中有方块10,8,6三张扑克牌,小齐手中有方块9,7,5三张扑克牌.每人从各自手中取一张牌进行比较,牌面上的数字大的为本“局”获胜,每次取的牌不能放回.(1)若每人随机取手中的一张牌进行比赛,求小齐本“局”获胜的概率;(2)若本局采用三局两胜制,即胜2局或3局者为本次比赛获胜者.当小亮的三张牌出牌顺序为先出6,再出8,最后出10时,小齐随机出牌应对,求小齐本次比赛获胜的概率.16.经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左转或向右转,如果这三种情况是等可能的,那么当三辆汽车经过这个十字路口时:(1)求三辆车全部同向而行的概率;(2)求至少有两辆车向左转的概率;(3)由于十字路口右转弯处是通往新建经济开发区的,因此交管