30.2 相似三角形 教案

30.2相似三角形教案（含一题多解、技巧解题、中考分析及应用拓展）一、教学目标理解相似三角形的概念及表示方法，掌握平行线分线段成比例定理及推论。熟练运用相似三角形的6种判定方法（定义法、平行法、两边成比例且夹角相等、三边成比例、两角分别相等、斜边直角边成比例）判定三角形相似。掌握相似三角形的性质（对应角相等、对应边成比例，对应线段、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方），能进行相关计算。运用相似三角形解决实际问题（如测量高度、河宽），掌握“建模→转化→求解”的解题流程，结合中考真题提升应试能力。二、教学重难点（一）教学重点相似三角形的判定方法应用（一题多解）。相似三角形的性质与相似比的综合计算（技巧解题）。中考中相似三角形的判定、计算及实际应用题型突破。（二）教学难点复杂图形中相似三角形对应边、对应角的准确识别。相似三角形判定方法的灵活选择（如含公共角、对顶角的模型）。中考中相似三角形与几何图形、实际场景结合的综合题型解题思路构建。三、教学过程（含考点考频、例题解析、中考链接）（一）知识回顾（5分钟）核心概念与定理：相似三角形定义：对应角相等、对应边成比例的三角形，记作“△ABC∽△A'B'C'”，对应顶点字母需对应。平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，对应线段成比例；推论（A/X型）：平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），对应线段成比例。判定方法：①定义法；②平行法（平行于一边的直线与另外两边相交，构成的三角形与原三角形相似）；③两边成比例且夹角相等；④三边成比例；⑤两角分别相等；⑥斜边和一条直角边成比例（直角三角形）。性质：①对应角相等，对应边成比例；②对应高、中线、角平分线的比等于相似比；③周长比=相似比；④面积比=相似比²。实际应用模型：太阳光线模型：同一时刻物高与影长成正比。标杆测量模型：利用标杆与物体的平行关系构建相似三角形。河宽测量模型：利用对顶角或公共角构建相似三角形。（二）考点考频及常考题型分析1.相似三角形的判定（考频：10年10考，必考中档题）①考频分析中考必考考点，覆盖选择、填空、解答题，分值3-6分，难度中档。核心考查根据已知条件选择合适的判定方法，常结合公共角、对顶角、平行线等条件。②常考题型题型：两角分别相等判定中考链接：（2023·浙江杭州统考中考真题）在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，在△DEF中，∠D=40°，∠E=80°，则△ABC与△DEF的关系是（）A．全等B．相似C．既不全等也不相似D．无法判断答案：B解题核心：△ABC中∠C=80°，△DEF中∠F=60°，两角分别相等（∠A=∠D，∠B=∠F），故两三角形相似。题型：两边成比例且夹角相等判定中考链接：（2022·江苏苏州统考中考真题）在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，AB:A'B'=AC:A'C'=2:3，则△ABC与△A'B'C'的相似比为（）A．2:3B．3:2C．4:9D．9:4答案：A解题核心：两边成比例且夹角相等，相似比等于对应边的比，即2:3。2.相似三角形的性质应用（考频：10年10考，必考中档题）①考频分析中考必考考点，覆盖选择、填空、解答题，分值3-6分，难度中档。核心考查利用相似比求边长、周长、面积，或反向求相似比。②常考题型题型：面积比与相似比计算中考链接：（2024·山东济南统考中考真题）两个相似三角形的相似比为2:3，则它们的面积比为（）A．2:3B．4:9C．√2:√3D．2:9答案：B解题核心：相似三角形面积比等于相似比的平方，2²:3²=4:9。题型：边长与周长计算中考链接：（2021·广东广州统考中考真题）△ABC∽△DEF，相似比为1:2，若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为（）A．5B．10C．20D．40答案：C解题核心：周长比等于相似比，△DEF的周长=10×2=20。3.相似三角形的实际应用（考频：10年9考，高频中档题）①考频分析考查频率高，以解答题为主，分值6-8分，难度中档-高档。核心考查利用相似三角形测量高度、河宽等实际问题，需构建数学模型。②常考题型题型：测量物体高度中考链接：（2020·湖南长沙统考中考真题）在同一时刻，测得一根高1.8m的竹竿影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为（）A．54mB．60mC．81mD．90m答案：A解题核心：设楼高压为x，由物高与影长成正比，1.8:3=x:90，解得x=54m。（三）经典例题解析（30分钟）例题1：相似三角形的判定（基础题·一题多解）题目：已知△ABC中，AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm；△A'B'C'中，A'B'=12cm，B'C'=18cm，A'C'=24cm，判断两三角形是否相似，说明理由。解法1：三边成比例判定法（核心法）步骤：计算对应边比例：AB:A'B'=4:12=1:3，BC:B'C'=6:18=1:3，AC:A'C'=8:24=1:3；三边对应成比例，故△ABC∽△A'B'C'。核心依据：直接运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理。解法2：比例性质验证法（技巧法）步骤：验证比例关系：AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'=1/3，比例等式成立；由比例的传递性，可知对应边成比例，故两三角形相似。核心依据：通过比例等式的一致性验证，强化判定条件的理解。技巧解题：判定方法速记技巧技巧：“三边看比例，两边看夹角，两角直接判，平行必相似”，根据已知条件快速选择判定方法。中考分析：考频：该类题型为中考基础中档题，每年必考。命题趋势：常给出三边长度或两边及夹角，核心是判定方法的灵活应用。例题2：相似三角形的性质计算（中档题·一题多解）题目：△ABC∽△DEF，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，△ABC的BC边上高为6，面积为12√5，求△DEF的EF边上高和面积。解法1：相似比法（核心法）步骤：相似比k=DE:AB=1:2；对应高的比=k，故EF边上的高=6×(1/2)=3；面积比=k²，故面积=12√5×(1/2)²=3√5。核心依据：直接运用相似三角形对应高、面积与相似比的关系。解法2：设元计算法（技巧法）步骤：设DE=x，则AB=2x，设△DEF的高为h，面积为S；由相似比，2x:x=6:h→h=3；面积比=(2x:x)²=4:1→12√5:S=4:1→S=3√5。核心依据：通过设未知数建立比例关系，适合对性质理解不熟练的情况。技巧解题：性质速记技巧技巧：“对应线段比=相似比，面积比=平方比，周长比=相似比”，快速关联计算。中考分析：考频：该类题型为中考高频中档题，侧重性质综合应用。命题趋势：常结合高、中线、面积的联动计算，核心是相似比的准确识别。例题3：相似三角形的实际应用（高档题·一题多解+拓展）题目：为估算河宽PQ，在近岸取Q、S，使P、Q、S共线且PS⊥河，过S作直线a⊥PS，取T，PT交过Q且⊥PS的直线b于R，测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河宽PQ。解法1：相似三角形法（核心法）步骤：∠PQR=∠PST=90°，∠P为公共角，故△PQR∽△PST；对应边成比例：PQ:(PQ+QS)=QR:ST→PQ:(PQ+45)=60:90；解得PQ=90m。核心依据：构建相似三角形，利用公共角和直角判定相似，列比例求解。解法2：比例线段法（技巧法）步骤：由平行线分线段成比例（QR∥ST），PQ/PS=QR/ST；设PQ=x，则PS=x+45，x/(x+45)=60/90→x=90m。核心依据：利用推论直接建立比例关系，跳过相似判定步骤。技巧解题：实际应用速记技巧技巧：“找直角、寻公共角，构建相似列比例；求高度、算河宽，物高影长成正比”，快速建模。拓展：若QR=70m，ST=140m，QS=50m，则PQ=50m，核心方法仍为“相似+比例”。中考分析：考频：该类题型为中考高频高档题，侧重实际建模。命题趋势：常结合测量场景，核心是从实际问题中提取相似模型。（四）中考命题规律总结（10分钟）考查题型分布：基础题（3分）：相似三角形的判定、简单相似比计算（选择/填空），占比35%。中档题（3-6分）：相似三角形的性质综合计算（选择/填空/解答题），占比45%。高档题（6-8分）：相似三角形的实际应用、与几何图形结合的综合题（解答题），占比20%。命题趋势分析：基础题稳定化：判定、简单计算每年必考，难度无上升。模型固定化：常考查“公共角+直角”“平行型”“对顶角型”等固定相似模型。应用情境化：结合测量、建筑等实际场景，体现数学实用性。解题技巧总览：基础题：“看条件，选判定，快速判相似”。中档题：“找对应，用性质，比例来计算”。高档题：“先建模，再相似，求解验实际”。（五）课堂练习（10分钟）用两种方法判定：△ABC中，∠A=40°，AB=8cm，AC=15cm；△A'B'C'中，∠A'=40°，A'B'=16cm，A'C'=30cm，两三角形是否相似（一题多解）。△ABC∽△DEF，相似比为3:5，△ABC的周长为21，面积为18，求△DEF的周长和面积（技巧解题）。某时刻，3m高的标杆影长4.5m，同时测得一塔影长22.5m，求塔高（综合应用）。Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，证明△ACD∽△ABC（拓展应用）。（六）课堂小结（5分钟）核心知识：相似三角形的判定方法、性质，平行线分线段成比例定理，实际应用模型。解题方法：一题多解（判定法/比例法、相似比法/设元法）、技巧解题（模型识别、性质速记）。中考策略：基础题保分（判定准确），中档题稳分（计算规范），高档题突破（建模熟练）。（七）课后作业（分层设计）基础层：完成教材习题30.2（相似判定、简单性质计算）。提高层：完成2021-2024年全国各省市中考相似三角形相关真题（不少于5道），要求规范书写步骤。拓展层：设计一道结合相似三角形与矩形的实际应用题（如测量矩形建筑高度），写出题目、解题过程及思路解析。四、教学反思难点突破：学生对“复杂图形中相似模型的识别”“相似比与面积比的关系”问题突出，后续教学中可增加模型专项训练、错题对比。一题多解教学：需引导学生根据题目条件选择最优解法，基础判定用快速法，解答题用规范法。中考衔接：需补充更多含固定模型的真题，强化“模型识别→判定相似→列比例求解”的流程，让学生适应中考命题逻辑。细节规范：部分学生忽略相似三角形对应顶点的顺序、判定中“夹角相等”的条件，需通过例题强调细节。综合训练一、选择题1.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C,直线DF分别交l1,l2,l3于点D,E,F,AC与DF相交于点H,且AH=2,HB=1,BC=5,则DEEF的值为(A.12 B.C.25 D.2.如图,锐角三角形ABC的高CD和高BE相交于点O,则与△DOB相似的三角形个数是()A.1 B.2C.3 D.43.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,边OA在x轴上,OC在y轴上.如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的14A.(3,2) B.(-2,-3)C.(2,3)或(-2,-3) D.(3,2)或(-3,-2)4.如图,在△ABC中,∠C=90°,D是AC上一点,DE⊥AB于点E.若AC=8,BC=6,DE=3,则AD的长为()A.3 B.4 C.5 D.65.已知△ABC三个顶点的坐标分别为(1,2),(-2,3),(-1,0),把它们的横坐标和纵坐标分别变成原来的2倍,得到点A',B',C'.下列说法正确的是()A.△A'B'C'与△ABC是位似图形,位似中心是点(1,0)B.△A'B'C'与△ABC是位似图形,位似中心是点(0,0)C.△A'B'C'与△ABC是相似图形,但不是位似图形D.△A'B'C'与△ABC不是相似图形6.如图,梯形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,G是BD的中点.若AD=3,BC=9,则GO∶BG=()A.1∶2 B.1∶3C.2∶3 D.11∶207.(2024·新疆中考)如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx(k>0)与双曲线y=2x交于A,B两点,AC⊥x轴于点C,连接BC交y轴于点D,结合图象判断下列结论:①点A与点B关于原点对称;②点D是线段BC的中点;③在双曲线y=2x上任取点P(x1,y1)和点Q(x2,y2),如果y1>y2,那么x1>x2;④S△BOD=12.A.1 B.2 C.3 D.48.在平面直角坐标系中,已知点O(0,0),A(0,2),B(1,0),点P是反比例函数y=-1x图象上的一个动点,过点P作PQ⊥x轴,垂足为点Q.若以点O,P,Q为顶点的三角形与△OAB相似,则相应的点P共有(A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题9.如图,已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形,每个小正方形的顶点称为格点.若△ABC与△A1B1C1是位似图形,且顶点都在格点上,则位似中心的坐标是.

10.已知△ABC的三边长分别为5,12,13,与它相似的△DEF的最小边长为15,则△DEF的周长为.

11.(2023·广东中考)边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起,它们的底边在同一直线上(如图),则图中阴影部分的面积为.

12.如图,在△ABC中,AB=6,AC=4,P是AC的中点,过P点的直线交AB于点Q.若以A,P,Q为顶点的三角形和以A,B,C为顶点的三角形相似,则AQ的长为.

13.如图,小明在A时测得某树的影长为2m,在B时又测得该树的影长为8m.若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为m.

14.一捣碎器如图所示,已知支撑柱AB的高为0.3m,踏板DE长为1.6m,支撑点A到踏脚D的距离为0.6m,现在踏脚着地,则捣头点E距地面m.

三、解答题15.如图,方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼.(1)在同一方格纸中,画出将小金鱼图案绕原点O旋转180°后得到的图案;(2)在同一方格纸中,并在y轴的右侧,将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大,使它们的相似比为2∶1,画出放大后小金鱼的图案.16.某高中为高一新生设计的学生板凳从侧面看到的图形如图所示.其中BA=CD,BC=20cm,BC,EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm,8cm,为使板凳两腿底端A,D之间的距离为50cm,则横梁EF的长应为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计)17.(2024·新疆中考)如图,在☉O中,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,AD=(1)求证:△ACD∽△ECB;(2)若AC=3,BC=1,求CE的长.18.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点.(1)求证:AC2=AB·AD;(2)求证:CE∥AD;(3)若AD=4,AB=6,求ACAF的值综合训练一、选择题1.D2.C3.D4.C5.B6.A根据△AOD∽△COB,可以知道ODOB=ADBC=13.由于G是BD的中点,从而可以得到7.C如图,过点B作BE⊥x轴,垂足为E.∵反比例函数的图象关于原点成中心对称,∴①中结论正确.∵点A与点B关于原点对称,∴OA=OB.在△OBE和△OAC中,∠∴△OBE≌△OAC(AAS),∴OE=OC.∵EB∥y轴,∴△OCD∽△ECB.∵OE=OC,∴OCCE=CDCB=12,∴D是线段CB的中点,∴OD是△对于函数y=2x,在每个象限内,y随x的增大而减小,故③中结论错误易得S△BOD=12S△BOC=12S△AOC=12×1=12,故正确结论的序号是①②④,共3个.8.D在△OPQ和△OAB中,∠PQO=∠AOB=90°,当∠POQ=∠ABO或∠POQ=∠BAO时,两个三角形相似,故双曲线的每个分支上都有2个点满足题意,即相应的点P共有4个.二、填空题9.(9,0)要确定△ABC与△A1B1C1的位似中心,只要连接A1A,C1C并延长,其交点即为位似中心,然后再根据画图的结果,确定位似中心的坐标即可.10.90∵△ABC的三边长分别为5,12,13,∴△ABC的周长为5+12+13=30.∵与它相似的△DEF的最小边长为15,∴△DEF的周长∶△ABC的周长=15∶5=3∶1,∴△DEF的周长为3×30=90.11.15如图,∵BF∥DE,∴△ABF∽△ADE,∴ABAD∵AB=4,AD=4+6+10=20,DE=10,∴420=BF10,∴BF=2,∴GF=6-∵CK∥DE,∴△ACK∽△ADE,∴ACAD∵AC=4+6=10,AD=20,DE=10,∴1020=CK10,∴CK=5,∴HK=6-又易知阴影部分为梯形,∴阴影部分的面积为12(HK+GF)·GH=12×(1+4)×6=12.3或43由于以A,P,Q为顶点的三角形和以A,B,C为顶点的三角形有一个公共角(∠A),因此依据相似三角形的判定方法,过点P的直线PQ应有两种作法一是过点P作PQ∥BC,这样根据相似三角形的性质可得AQAB=APAC,即AQ二是过点P作∠APQ=∠ABC,交边AB于点Q,这时△APQ∽△ABC,于是有AQAC=APAB,即AQ4=26,解得AQ=413.4直角三角形被斜边上的高分成的两个小直角三角形都与原三角形相似,如图.这个基本图形可称之为“母子三角形”,树高EH所在的两个“子三角形”相似,即Rt△ECH∽Rt△DEH,得EH2=HC·HD=2×8.所以EH=4m.或者利用