学易金卷高中数学（人教B版2019）必修第三册、必修第四册高一下学期期末模拟卷（含答案详解）

/2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷01（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教B版必修第三册、必修第四册。第一部分（选择题共40分）选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部是（）A.2i B. C.2 D.2.下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（）A. B. C. D.3．PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是（）A. B.平面C. D.4．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（

）A． B． C． D．5．在中，已知，试判断的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形6．用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面．若正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，对角面面积为，则该棱台的体积为（）A.28 B. C. D.747．已知，，，，则（

）A． B． C． D．8．已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.9.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为，此人往膝王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为，则滕王阁的高度最接近于（）（忽略人的身高）（参考数据：）A.49米 B.51米 C.54米 D.57米10.已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（

）A．120° B．135° C．150° D．165°第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．已知向量，若，则__________.12．若，并且均为锐角，且，则________．13.在△中，若，,,求△的面积__________________14．已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球的表面积为______．15．在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为.下列有关的结论①②若，则③，其中为外接圆的半径④若为非直角三角形，则其中，所有正确结论的序号是_____________.三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（满分13分）已知函数（1）求函数的最小正周期及其在区间上的最小值；（2）若，，求的值．17．（满分13分）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．

(1)请用，表示向量；(2)若，设，的夹角为，若，求证：．18.（满分14分）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点．（1）求证：平面．（2）求直线与面所成的角的正弦值．19.（满分15分）已知，，分别为三个内角，，的对边，(1)求角；(2)若，的面积为，求，；(3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围.20.（满分15分）在中，．（1）若，求的值和的面积；（2）若，求角的大小；（3）若的周长为，求的面积．21.（满分15分）我们把山平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，，分别为，正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记．(1)已知向量的“广义坐标”为．求的模；(2)以为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”．(3)如图3，在“广义坐标系”中，点，分别在射线、射线上（均与点不重合），，，，分别为，的中点，求的最大值．参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678910DACDDACBDA第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.12．/13.或14．15.①②③三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（满分13分）【解析】（1），所以函数的最小正周期．（3分）由知，则当，即时，取得最小值为．（7分）（2）因为，所以．又，所以，所以，（9分）所以．（13分）17．（满分13分）【解析】（1），由题意得，（3分）所以．（6分）（2）由题意，．∵，，∴．（9分）∴，（12分）∴．（13分）18．（满分14分）【解析】（1）取的中点，连接、，则，且.（2分）因为，，所以且.所以四边形为平行四边形.（4分）所以，因为平面，平面，所以平面.（6分）（2）因为底面为梯形，，，，所以，，，（8分）又垂直于面，为棱的中点，所以到平面的距离为，所以，（10分）因为垂直于面，平面，所以，，所以，，所以，所以，（13分）设点到平面的距离为，则，即，所以，设直线与面所成的角为，则，（13分）直线与面所成的角的正弦值为.（14分）19．（满分15分）【解析】（1）因为，由正弦定理知可得，（2分）而，，即，又，

（4分），即，又，则，则.（5分）（2）由（1）及题设可得，即，

（7分）将代入，整理得，则，即（负值舍去），故.（9分）（3）因为为的中点，所以，两边平方得，

在中，由余弦定理得，即，所以，（10分）在中，由正弦定理得，所以，所以，（11分）因为为锐角三角形，所以且，解得，

（12分）所以，所以，则，（13分）所以，（14分）所以中线的取值范围是.（15分）20．（满分15分）【解析】（1）由余弦定理可得，即，整理得，解得(负根舍去)；因为，（3分）所以，所以；（5分）（2）因为，，所以，，（8分）所以，又因为，所以；（10分）（3）因为的周长为，所以，所以，由余弦定理可得，即，所以，（13分）解得，又因为，所以；（15分）21．（满分15分）【解析】（1）依题意，，由单位向量的夹角为，得，所以.（5分）（2）在平面直角坐标系中，，设，由向量在平面直角坐标系中的坐标为，（7分）得，则，解得，所以向量的“广义坐标”为.