机械制图（多学时）第2版 课件 模块3 投影变换

模块3

投影变换

教学内容模块3

投影变换知识点2

点的投影变换知识点3

直线的投影变换知识点5

换面法的应用知识点4

平面的投影变换知识点1任务引入

知识点6

任务实施教学目标1.了解换面法的基本概念；2.掌握点、直线、平面的换面方法；3.熟悉直线、平面换面法的应用。模块3

投影变换条条大路通罗马，在遵守规则的基础上学会变通。素养提升知识点1任务引入

1.问题的提出★如何求一般位置直线的实长？★如何求一般位置平面的真实大小？换面法

物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射。即变换空间几何元素（点、线、面）对投影面相对位置。解决方法：更换投影面。2.概念

在解决工程实际问题时，经常遇到求解度量问题，如实长、实形、距离、夹角等，或者求解定位问题，如交点、交线等。一般位置平面VHABa

b

ab3.新投影面的选择原则1）新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。2）新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。V1a1b1新投影体系V1/H老投影体系V/HX1新轴X老轴知识点1任务引入

二、点的二次换面一、点的一次换面知识点2

点的投影变换一、点的一次换面1.新投影体系的建立VHAa

a

axX

X1V1a1

ax1

VHXV1HX1

a

aa1

axax1.

旧投影体系：X—VH

新投影体系：V1HX1—A点的两个投影：a，a

A点的两个投影：a，a1

知识点2

点的投影变换2.新旧投影之间的关系

aa1

X1

a1ax1=a

ax2)点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。一般规律：1)点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。VHAa

a

axX

X1V1a1

ax1

VHXV1HX1

a

aa1

axax1.知识点2

点的投影变换

XVHaa

ax更换H面3.求新投影的作图方法

VHXV1HX1aa

X1H1V

a1axax1ax1更换V面●a1

作图规律：由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。

..知识点2

点的投影变换二、点的二次换面1.新投影体系的建立1）先把V面换成平面V1，V1H，得到中间新投影体系:X1

—

V1H2）再把H面换成平面H2，H2

V1，得到新投影体系:X2

—

V1

H2按次序更换AaVHa

axXX1V1a1

ax1

ax2a2

知识点2

点的投影变换X2H2ax2

a

aXVH

2.求新投影的作图方法

a2X1HV1X2V1H2作图规律a2a1X2

轴a2ax2

=aax1a1

axax1

..知识点2

点的投影变换二、投影面平行线变换成投影面垂直线三、一般位置直线变换成投影面垂直线一、一般位置直线变换成投影面平行线知识点3

直线的投影变换一、一般位置直线变换成投影面平行线例1：求直线AB的实长及与H面的夹角。空间分析:用V1面代替V面，在新投影体系V1/H，直线AB//面V1。VHABa

b

abV1a1

b1

换H面行吗？不行！X1HV1作图：a

b

abXVHa1●b1●

.新投影轴的位置？与ab平行。知识点3

直线的投影变换二、投影面平行线变换成投影面垂直线1.功用：一次换面后可用于求点与直线,两直线间的距离等。2.关键：新轴要垂直于反映实长的那个投影。X1VHXABa'b'abH1a1(b1)

X1H1Va1(b1)XVHaba'b'一般位置直线变换为垂直线知识点3

直线的投影变换三、一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：一次换面把直线变成投影面平行线；二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。a1●b1●VHa

aXBb

bAa

b

abXVHX1H1V1V1H2X2作图：X1V1a1b1X2轴的位置？

a2b2ax2a2b2

.与a1b1垂直知识点3

直线的投影变换X2H2a'b'XVHcabX1HV1b1'c1'a1'c'ee1'例2：已知等腰三角形ABC的底边为AB，试用换面法求出等腰三角形ABC的正面投影。知识点3

直线的投影变换二、投影面垂直面变换成投影面平行面三、一般位置平面变换成投影面平行面一、一般位置平面变换成投影面垂直面知识点4

平面的投影变换一、一般位置平面变换成投影面垂直面1.功用：可求解平面与投影面的倾角，点与平面的距离，两平行面间的距离等。2.关键：在平面上作一条投影面平行线，新轴必须垂直与该平行线反映实长的那个投影。3.空间分析：两平面垂直需满足什么条件？

如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。知识点4

平面的投影变换一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？a

b

c

abcdVHABCDXd

V1X1c1b1a1

d1

在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。4.作图方法：能否只进行一次变换？

思考

若变换H面，需在面内取什么位置直线？正平线！知识点4

平面的投影变换a

b

c

acbXVH例3：把三角形ABC变换成投影面垂直面。HV1X1作图过程：1.在平面内取一条水平线AD。d

d2.将AD变换成新投影面的垂直线。d1●a1d1●c1●

反映平面对哪个投影面的夹角？α知识点4

平面的投影变换二、投影面垂直面变换成投影面平行面1.功用：一次换面后可求解平面实形、形心、两直线交角等。2.关键：新投影轴必须平行于该平面的积聚性投影。Vb'a'c'HV1ABCbaa1'c1'b1'X1c展开图知识点4

平面的投影变换三、一般位置平面变换成投影面平行面1.空间分析：需经几次变换？1）一次换面，把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；2）二次换面，再变换成新投影面的平行面。2.作图分析：X2轴的位置？a1

b1●X2V1H2aba

c

b

XVHcAB是水平线a2●c2●b2●c1●平面的实形.X1HV1.与其平行知识点4

平面的投影变换XVHedcd'e'c'a'b'a1b1X1VH1c1d1(e1)ba20mm例4:已知直线AB与CDE平面平行，且相距20mm，求直线AB的水平投影。知识点4

平面的投影变换知识点5

换面法的应用1.求直线实长和与投影面的倾角：将直线变换成投影面的平行线。1）两直线之间：将两直线组成的平面变换成投影面平行面。2）两平面之间：将两平面变换成投影面的垂直面，即应将两平面的交线变换成投影面的垂直线。2）点与平面之间：将平面变换成投影面垂直面。3）两平行线之间：将两直线变换成投影面垂直线。4）两平行平面之间：将两平面变换成投影面垂直面。1）点与直线之间

a.将直线变换成投影面垂直线；b.将点与直线组成的平面变换成投影面的平行面。4.求距离：3.求平面与投影面的倾角：将平面变换成投影面的垂直面。2.求平面实形和形心：将平面变换成投影面的平行面。5.求夹角：b1

距离dd1X1HV1X2V1H2c2

d

c

c

b

a

abXVH

2.如下图：当直线AB垂直于投影面时，CD平行于投影面，其投影反映实长。APBDCca

b

d1.求C点到直线AB的距离，就是求垂线CD的实长。空间及投影分析：c1

a1

a2

b2

d2

过c1作线平行于x2轴。...如何确定d1点的位置？例5：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。知识点5

换面法的应用b

a

abcd●c

●m

●d

●a1≡b1≡m1●n1●c1●d1●n空间及投影分析：VHXHV1X1圆半径=MN●n

●m

当直线AB垂直于投影面时，MN平行于投影面，这时它的投影m1n1=MN,且m1n1⊥c1d1。P1ACDNMc1d1a1(m1b1)n1B请注意各点的投影如何返回？求m点是难点。..例6：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度为MN，且AB为水平线，求CD及MN的投影。MN知识点5

换面法的应用空间及投影分析:AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（60°），因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面。例7:过C点作直线CD与AB相交成60º角。d

X1HV1X1V1H2aba

c

b

XVHcc2●c1●a1

b1●a2●d2●d●b2●几个解？两个解！

已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，求等边三角形的投影。思考：如何解？解法相同！60°D点的投影如何返回？..●●知识点5

换面法的应用H2V1X2HV1X1c

d

b

a

dacb●d1●c1●a1●d2●b1c2●●a2≡

b2θVHXθ例8：求平面ABC和ABD两面角。空间及投影分析：

由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。

在投影图中,两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。..知识点5

换面法的应用知识点6

任务实施

一般位置平面△ABC，可以通过平面的换面，求出其真实投影，作图过程如下：2）作出m点的正面投影m'，连接b'm'。3）作第一次投影变换的投影轴o1x1，使o1x1垂直于b'm'。4）在新投影体系V/H1中，作出△ABC的积聚性投影，即直线a1b1c1。5）作第二次投影变换的投影轴o2x2，使o2x2平行于直线a1b1c1。6）在新投影体系V2/H1中，作出△ABC三个顶点的投影a2'b2'c2'，连接a2'、b2'、c2'，则得到△AB