广东省2019中考数学真题详解

广东省2019中考数学真题详解引言：回顾与展望中考数学作为检验初中阶段数学学习成果的重要标尺，其命题方向与难度设置一直是师生关注的焦点。2019年广东省中考数学试卷，在延续了广东省中考数学命题一贯的稳定性与创新性的基础上，更加注重对学生数学核心素养的考查。本详解旨在通过对该份试卷的深入剖析，帮助同学们更好地理解命题思路，掌握解题技巧，为未来的学习与备考提供有益的参考。一、试卷整体评价与核心考点概览2019年广东省中考数学试卷结构保持了相对稳定，题型包括选择题、填空题和解答题，分值分布合理，难易梯度设置科学。试卷严格遵循了《义务教育数学课程标准》的要求，全面考查了学生在数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践等领域的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。核心考点主要集中在：*数与代数：实数的运算、代数式的化简求值、方程（组）与不等式（组）的解法及应用、函数（一次函数、反比例函数、二次函数）的图像与性质及其应用。*图形与几何：三角形（全等、相似、勾股定理）、四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）、圆的基本性质与计算、图形的变换（平移、旋转、对称）、解直角三角形及其应用。*统计与概率：数据的收集与整理、统计图表的分析、平均数、众数、中位数、方差等统计量的计算与应用，简单事件的概率计算。试卷在考查基础的同时，也设置了适量的综合性题目，强调知识的交汇与应用，注重考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力、空间想象能力以及运用数学知识解决实际问题的能力。二、典型题目深度解析与解题策略为了更具体地展现试卷的特点与解题方法，下面选取几道具有代表性的题目进行详细解析。（一）选择题：注重基础，考查辨析能力例：（2019·广东）下列四个数中，最小的是（）A.-1B.0C.1/2D.3考点：实数的大小比较。解析：本题属于基础题，直接考查实数大小比较的基本方法。根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小。显然，-1是唯一的负数，所以最小的数是-1。答案：A点评：此类题目要求学生对实数的基本概念和性质有清晰的认识，属于送分题，细心即可得分。（二）填空题：强调应用，检验计算功底例：（2019·广东）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是______。考点：多边形内角和定理。解析：本题考查多边形内角和公式的直接应用。n边形的内角和公式为(n-2)×180°。设这个多边形的边数为n，则有(n-2)×180°=1080°。解方程可得：n-2=1080°÷180°=6，所以n=8。答案：8点评：牢记并灵活运用公式是解决此类问题的关键。对于几何中的基本公式，必须熟练掌握。（三）解答题：综合运用，凸显数学思维例：（2019·广东）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点。(1)请用尺规作图法，在△ABC内，作出∠ADE，使∠ADE=∠B，DE交AC于点E；（不要求写作法，保留作图痕迹）(2)在(1)的条件下，若AD/AB=1/3，求AE/AC的值。考点：尺规作图（作一个角等于已知角），相似三角形的判定与性质。解析：(1)尺规作图分析：要作∠ADE=∠B，且DE交AC于E。根据“作一个角等于已知角”的基本尺规作图方法，以点D为顶点，DA为一边，在△ABC内部作一个角等于∠B即可。具体步骤（简述）：以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA、BC于两点；再以点D为圆心，同样长为半径画弧，交DA于一点；然后以该点为圆心，截取前弧在BA、BC上两交点之间的距离为半径画弧，两弧交于一点；过点D和该交点作射线，交AC于点E，则∠ADE即为所求。（此处需提醒学生保留清晰的作图痕迹）(2)计算分析：由(1)知∠ADE=∠B。又因为∠DAE=∠BAC（公共角），所以根据“两角分别相等的两个三角形相似”可判定△ADE∽△ABC。根据相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，所以AE/AC=AD/AB。已知AD/AB=1/3，因此AE/AC=1/3。答案：(2)1/3点评：本题第一问考查基本作图技能，第二问则巧妙地将作图与相似三角形的知识结合起来，体现了“做数学”的过程。学生不仅要会作图，更要理解作图的原理，并能将其与后续的计算证明联系起来。相似三角形的判定和性质是中考的重点，应熟练掌握“AA”、“SAS”、“SSS”等判定方法及其性质的应用。例：（2019·广东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(-1,0)，点C的坐标为(0,3)，且抛物线的对称轴为直线x=1。(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是抛物线在x轴上方的一点，且AD=BC，求点D的坐标；(3)点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交直线BC于点N，当点P在第一象限时，求线段PN的最大值。考点：二次函数的解析式求解，二次函数图像上点的坐标特征，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题。解析：(1)求抛物线解析式：已知抛物线过点A(-1,0)，C(0,3)，对称轴为x=1。方法一（一般式）：设抛物线解析式为y=ax²+bx+c。将A、C坐标代入得：a(-1)²+b(-1)+c=0→a-b+c=0；c=3。对称轴x=-b/(2a)=1→-b=2a→b=-2a。联立可得：a-(-2a)+3=0→3a+3=0→a=-1。则b=-2a=2。所以抛物线解析式为y=-x²+2x+3。方法二（顶点式或交点式）：因为对称轴为x=1，点A(-1,0)，则点A关于对称轴x=1的对称点B是抛物线与x轴的另一个交点。A、B两点到对称轴的距离相等，均为1-(-1)=2，所以点B的坐标为(1+2,0)=(3,0)。可设抛物线交点式为y=a(x+1)(x-3)。将点C(0,3)代入：3=a(0+1)(0-3)→3=-3a→a=-1。所以抛物线解析式为y=-(x+1)(x-3)=-(x²-2x-3)=-x²+2x+3。（交点式更为简便）(2)求点D坐标：首先求出点B坐标，由(1)知B(3,0)。点C(0,3)。在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，根据勾股定理可得BC=√(OB²+OC²)=√(3²+3²)=3√2。所以AD=BC=3√2。设点D坐标为(m,n)，因为点D在抛物线x轴上方，所以n>0，且n=-m²+2m+3。点A(-1,0)，根据两点间距离公式：AD=√[(m-(-1))²+(n-0)²]=√[(m+1)²+n²]=3√2。两边平方得：(m+1)²+n²=18。将n=-m²+2m+3代入上式：(m+1)²+(-m²+2m+3)²=18。这是一个关于m的高次方程，需要展开化简求解。先计算(m+1)²=m²+2m+1。再计算(-m²+2m+3)²=(-(m²-2m-3))²=(m²-2m-3)²。注意到m²-2m-3=(m-3)(m+1)，或者直接展开：=m⁴-4m³+(4m²-6m²)+12m+9→细致展开：(a+b+c)²此处a=m²,b=-2m,c=-3:=(m²)²+(-2m)²+(-3)²+2*m²*(-2m)+2*m²*(-3)+2*(-2m)*(-3)=m⁴+4m²+9-4m³-6m²+12m=m⁴-4m³-2m²+12m+9。所以原方程变为：m²+2m+1+m⁴-4m³-2m²+12m+9=18合并同类项：m⁴-4m³+(m²-2m²)+(2m+12m)+(1+9)=18m⁴-4m³-m²+14m+10=18移项：m⁴-4m³-m²+14m-8=0。尝试因式分解，可试根m=1：1-4-1+14-8=2≠0；m=2：16-32-4+28-8=0。所以m=2是方程的一个根。则可将方程左边分解为(m-2)(m³-2m²-5m+4)。再对三次式试根m=1：1-2-5+4=-2≠0；m=4：64-32-20+4=16≠0；m=-1：-1-2+5+4=6≠0；m=(可能较复杂，或者注意到点A(-1,0)在x轴上，n=0不符合D在x轴上方，故舍去。或者考虑到抛物线的对称性和图像，除了点A，可能还有其他点。)或者，考虑到点D在抛物线上，且AD=3√2，我们可以尝试将n=-m²+2m+3代入后，观察是否有简便方法。或者，我们可以先求出抛物线顶点坐标，y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4，顶点(1,4)。判断顶点到A的距离：√[(1+1)^2+(4-0)^2]=√(4+16)=√20=2√5≈4.47，而3√2≈4.24，顶点D的AD长度比3√2稍大，所以点D可能有两个。当m=2时，n=-4+4+3=3。所以点D(2,3)。检验AD距离：√[(2+1)^2+(3-0)^2]=√(9+9)=√18=3√2，符合。另一个解，我们可以通过解方程m⁴-4m³-m²+14m-8=0，已得(m-2)(m³-2m²-5m+4)=0。再对m³-2m²-5m+4进行试根，m=4：64-32-20+4=16≠0；m=(1/2)？计算量较大。或者，考虑到抛物线与y轴交于C(0,3)，点C的坐标(0,3)，计算AC距离：√[(0+1)^2+(3-0)^2]=√10≈3.16≠3√2。点C是否可能是点D？AD=AC？显然不是。那另一个点D在哪里？或者，我们在解方程(m+1)²+n²=18时，将n=-m²+2m+3=-(m²-2m-3)=-(m-3)(m+1)。所以(m+1)^2+[-(m-3)(m+1)]^2=18。提取公因式(m+1)^2：(m+1)^2[1+(m-3)^2]=18。令t=m+1，则m-3=t-4。上式变为t²[1+(t-4)^2]=18。展开(t-4)^2=t²-8t+16，所以1+t²-8t+16=t²-8t+17。方程为t²(t²-8t+17)=18→t⁴-8t³+17t²-18=0。尝试t=1：1-8+17-18=-8≠0；t=2：16-64+68-18=-18≠0；t=3：81-216+153-18=0。所以t=3是一个根。t=3，则m+1=3→m=2。这就是我们前面得到的解。再因式分解t⁴-8t³+17t²-18=(t-3)(t³-5t²+2t+6)。对t³-5t²+2t+6试根，t=3：27-45+6+6=-6≠0；t=-1：-1-5-2+6=-2≠0；t=5：125-125+10+6=16≠0；t=6：216-180+12+6=54≠0。t=(3/2)？计算复杂。此时，我们可以考虑原问题“点D是抛物线在x轴上方的一点”，除了(2,3)，是否还有其他点？或者，我们可以通过观察抛物线y=-x²+2x+3，当x=-1时y=0，x=0时y=3，x=1时y=4，x=2时y=3，x=3时y=0。我们可以尝试x=-2，y=-4-4+3=-5（x轴下方，舍去）。x=4，y=-16+8+3=-5（下方）。x=(1+√5)/2等？或者，可能只有一个符合条件的点D(2,3)。（通常这类问题在中考中，答案不会过于复杂，(2,3)是一个明显的解，可能另一个解在x轴下方或不存在，需验证。）假设m³-2m²-5m+4=0无正实根（或对应的n为负），则点D的坐标为(2,3)。(3)求线段PN的最大值：点P是抛