教学材料《工程力学》-第三单元

3.1平面汇交力系在工程实际中，有不少平面汇交力系的实例。起重机起吊重物时如图3一3

(a)所示，作用于吊钩C的力有:钢绳拉力F3,绳AC和BC的拉力F1及F2，如图3-3(b)所示，它们都在同一铅垂平面内并汇交于C点，组成一平面汇交力系。图3-4

(b)为图3-4(a)所示的屋架的一部分，其中各杆所受的力F1,F2,F3,F4在同一平面内并汇交于一点，也组成一平面汇交力系。图3-5为汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上且平衡时，A点受到外力P,B点受水平拉力T,D点受约束反力N的作用。以上三力的作用线都在竖直平面内且汇交于中心O点，此力系也是平面汇交力系。本节主要讲述用几何法和解析法研究平面汇交力系的合成与平衡问题。几何法直观明了，物理意义明确;解析法计算规范、程式化，适合计算机编程。下一页返回3.1平面汇交力系3.1.1平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件1.平面汇交力系合成的几何法:力的多边形法则设刚体上作用一个平面汇交力系F1、F2、F3、F4，各力的作用线汇交于A点〔图3-6

(a)〕，由力的可传性，将这些力沿其作用线移到A点，得到一个平面汇交力系。其合力FR;可通过连续使用力的三角形法则求得。如图3-6(b)所示，先作F1与F2的合力，再将FR1与F3合成为力FR2;依此类推，最后求出FR2与F4的合力FR。力FR即为该汇交力系的合力，可用矢量式表示为上一页下一页返回3.1平面汇交力系由图3-6(b)可见，求合力FR时，只需将各力首尾相接，形成一条折线，最后连接封闭边，从F1的始端A指向F4的末端E所形成的矢量即为合力FR的大小与方向。此法称为力的多边形法则。由多边形法则求得的合力FR，其作用点仍为各力的汇交点，而且合力FR的大小、方向与各力相加次序无关[图3一6(c)]。上述方法可以推广到由n个力F1,F2,…Fn组成的平面汇交力系。若平面汇交力系包含n个力，以FR表示它们的合力，上述关系可用矢量表达式表述为上一页下一页返回3.1平面汇交力系于是可以得出结论:平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的作用线经过力系的汇交点，合力等于原力系中所有各分力的矢量和。2.平面汇交力系平衡的几何条件由于平面汇交力系可以合成为一个力，显然，平面汇交力系平衡的充分和必要条件是:该力系的合力等于零。用矢量表示，即对该力系作力的多边形时，得到一个闭合多边形，即最后一个力矢的末端与第一个力矢的始端相重合，如图3-8所示。因此，平面汇交力系平衡的充分与必要的几何条件是:力的多边形自行封闭。上一页下一页返回3.1平面汇交力系用几何法解题所获得解答的精确程度受作图质量的影响。3.1.2平面汇交力系合成的解析法与平衡的解析条件1.力在直角坐标轴上的投影设力F作用在刚体上的A点，建立直角坐标系Oxy，使它与力F的作用线在同一平面内，如图3一11所示。从力F的起点A和终止点B分别向x轴和y轴作垂线，得垂足a,b和a‘,b‘。线段ab称为力F在x轴上的投影，用Fx表示。线段a’b’称为力F在y轴上的投影，用Fy表示。上一页下一页返回3.1平面汇交力系若已知力F的大小和它与x轴间的夹角α(取锐角)，则力F在直角坐标轴上的投影Fx和Fy分别为如将F沿直角坐标轴方向分解。所得分力Fx、Fy的值与力F在同轴上的投影Fx、Fy的绝对值相等。但须注意，力在轴上的投影是代数量，而分力是矢量，不可混为一谈。力的投影正负号规定如下:若由a到b(或a’到b‘)的指向与坐标轴的正向一致时，力的投影为正值;反之，为负值。上一页下一页返回3.1平面汇交力系若已知Fx、Fy值，可求出F的大小和方向，即2.平面汇交力系合成的解析法设刚体上作用有一个平面汇交力系F1,F2,……Fn，据式(3一1)有上一页下一页返回3.1平面汇交力系将上式两边分别向x轴和y轴投影，即有式(3-5)即为合力投影定理:力系的合力在某轴上的投影，等于力系中各力在同一轴上投影的代数和。当平面汇交力系已知时，可以求出力系中各力在坐标轴上的投影，然后利用合力投影定理求出平面汇交力系的合力在坐标轴上的投影FRx=ΣFx,FRy=ΣFx，然后再将FRx,FRy合成，就可得到合力FR的大小为上一页下一页返回3.1平面汇交力系若用α表示合力FR与x轴所构成的锐角，则合力的指向可由ΣFx及ΣFy的正负号决定。必须指出，上述各公式只对直角坐标系成立。应用式(3-6),(3-7)计算合力大小和方向的方法，称为平面汇交力系合成的解析法。上一页下一页返回3.1平面汇交力系3.平面汇交力系平衡的解析条件通过上面的讨论可知，平面汇交力系平衡的充分和必要条件是该力系的合力为零。用解析式表示为式中(ΣFx)2、(

ΣFx)2恒为正数，则要使FR=0，也只有上一页下一页返回3.1平面汇交力系所以，平面汇交力系平衡的充要条件为:力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和均等于零。式(3-9)称为平面汇交力系的平衡方程。这是相互独立的两个方程，所以只能求解两个未知量。通过以上的例题，可以归纳出解决平面汇交力系平衡问题的主要步骤和注意事项如下:(1)确定研究对象，画受力图。一般以待求物体为研究对象。先画主动力再画被动力;正确应用二力平衡公理(二力杆)和力的多边形法则。(2)选取适当的坐标系。原则是坐标轴尽量与未知力垂直，可减少未知力的个数。(3)根据平衡条件列出平衡方程，要注意各力投影的正负号。(4)求解未知量。解方程求出未知力。若求出的力为负值，则表示受力图上力的实际指向与所假设的指向相反。上一页返回3.2力矩、合力矩定理3.2.1力对点的矩在日常生活及生产实践中，脚蹬自行车，脚用一个很小的力踩踏板，可以带动自行车前进[图3一16

(a)]。用手拔不出来的钉子，可以很容易用羊角锤拔出来[图3一16(b)]。开、关门时，我们会把力作用在距离门中缝比较远的把手上，且用力方向尽可能与门垂直，这样开、关门比较省力，如图3一16(c)所示。装配机械时，会用扳手拧紧螺母[图3一16(d)]。以扳手拧螺母的实例来引入力矩的概念，用扳手转动螺母时，作用于扳手A点的力F可使扳手与螺母一起绕中心点0转动。下一页返回3.2力矩、合力矩定理由经验可知，力的这种转动作用不仅与力的大小、方向有关，还与转动中心至力的作用线的垂直距离d有关。因此，将Fxdl的乘积定义为力使物体对点O产生转动效应的度量，称为力F对点O的矩，简称力矩，用符号MO(F)表示，记为从力矩的定义式(3一10)可知，力矩有以下几个性质:(1)将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。(2)若MO(F)=0，则F=0或者d=0(即力F过矩心O点)。所以，力矩等于零的条件是:力的大小等于零或力的作用线通过矩心。(3)互成平衡的两个力对于同一点的矩的代数和等于零。上一页下一页返回3.2力矩、合力矩定理3.2.2合力矩定理在计算力系的合力对某点的矩时，有时力臂的计算较烦琐，而将合力分解计算各分力对某点的矩较简单。讨论合力对某点的矩和分力对该点的矩的关系，这就是我们下面要讲述的合力矩定理。定理:平面汇交力系的合力对其平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和。证明:设刚体上的A点作用着一平面汇交力系。力系的合力FR。在力系所在平面内任选一点O，过O作oy轴，且垂直于OA。如图3一17所示。则图中Ob1,Ob2、……、Obn，0bR分别等于力F1,F2、……、Fn和FR在0y轴上的投影F1,F2、……、Fny和FRy。现分别计算F1,F2、……、Fn和FR对点O的力矩。上一页下一页返回3.2力矩、合力矩定理由图3一17可以看出将上述等式两边相加上一页下一页返回3.2力矩、合力矩定理根据合力投影定理于是定理得到证明。对于有合力的其他各种力系，合力矩定理也是成立的。上一页返回3.3力偶及其基本性质3.3.1力偶、力偶矩的概念1.力偶在日常生活和工程实际中经常见到物体受大小相等、方向相反且不在同一作用线上的两个平行力作用的情况。例如，司机转动驾驶汽车时两手作用在方向盘上的力，如图3一19

(a)所示;工人用丝锥攻螺纹时两手加在扳手上的力，如图3一19(b)所示;以及用两个手指拧动水龙头时所加的力等等。在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力称为力偶，用符号(F，F‘)表示。两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂，两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。下一页返回3.3力偶及其基本性质2.力偶矩由实践经验可知，力偶只能使物体转动。当力偶的力F越大，或力偶臂d越大时，力偶使物体转动的效应越强;反之，转动效应就弱。力偶(F,F‘)，其力偶臂为d，如图3一20所示。力偶对点O的矩为MO(F,F’)，则因为矩心O是任意选取的，由此在力学上以F与力偶臂d的乘积作为量度力偶在其作用面内对物体转动效应的物理量，称为力偶矩，并记作M(F，F‘)或M。即

上一页下一页返回3.3力偶及其基本性质于是可得结论:力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向，逆时针转向为正，反之为负，如图3-20所示。力偶矩的单位与力矩相同，也是N.m。

3.力偶等效条件除了力偶矩的大小，影响力偶对物体的转动效应的因素还有力偶的转向以及力偶作用面的方位。力偶对物体的转动效应取决于下列三要素:力偶矩的大小、力偶的转向以及力偶作用面的方位。平面力偶的等效是指上述三要素相同的力偶可以互相转换，而不改变对刚体的作用效果。上一页下一页返回3.3力偶及其基本性质图3-21各分图中力偶的作用效应都相同。力偶的力偶臂、力及其方向都可以改变，就可简明地以一个带箭头的弧线并标出值来表示力偶，如图3-22

(d)所示。由此我们可以得出两个结论:(1)任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。(2)只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。上一页下一页返回3.3力偶及其基本性质3.3.2力偶的基本性质力和力偶是静力学中两个基本要素。力偶与力具有不同的性质:(1)力偶不能简化为一个力，即力偶不能用一个力等效替代。因此力偶不能与一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。(2)力偶在任何坐标轴上投影的代数和为零。(3)力偶对其作在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，与矩心位置无关。上一页返回3.4平面力偶系的合成与平衡3.4.1平面力偶系的合成作用在同一个物体上的两个或两个以上的力偶组成一个力偶系，作用在同一平面内的力偶系称为平面力偶系。设在同一平面内有两个力偶(F1,F1‘)和(F2,F2’)，它们的力偶臂分别为d1和d2，如图3-23

(a)所示。这两个力偶的矩分别为M1和M2，求它们的合成结果。在保持力偶矩不变的情况下，同时改变这两个力偶力的大小和力偶臂的长短，使它们具有相同的臂长d，并将它们在平面内转动，使力的作用线重合，如图3-23(b)所示。于是得到与原力偶等效的两个新力偶(F3,F3‘)和(F4,F4’)。即下一页返回3.4平面力偶系的合成与平衡分别将作用在点A和B的力合成(设F3>F4)，得由于F与F‘是相等的，它们构成了与原力偶系等效的合力偶(F,F’)，如图3-23(c)所示。以M表示合力偶矩，得如果有两个以上的平面力偶，可以按照上述方法合成。即在同平面内的任意个力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和，可写为上一页下一页返回3.4平面力偶系的合成与平衡3.4.2平面力偶系的平衡由合成结果可知，力偶系平衡时，其合力偶的矩等于零。因此，平面力偶系平衡的充分和必要条件是:各力偶矩的代数和等于零，即横梁AB受到M=-100N·m的力偶作用，如图3-25所示，横梁长度l=5m，求支座A,B的反力。上一页下一页返回3.4平面力偶系的合成与平衡分析:以横梁AB为研究对象，并画出受力图，如图3-25(b)所示。梁上有主动力偶的力偶矩M,A,B处的约束反力FA,FB

，根据力偶必须由力偶来平衡的性质，则FA,FB必组成一力偶。因FB的方向可定，FA的方向随之可定。列平衡方程所以FA=M/5=-100/5=-20N因FA,FB组成一力偶，故-FA=FB=20N上一页返回3.5平面任意力系平面任意力系是工程实际中最常见的一种力系，工程计算中的许多实际问题都可以简化为平面任意力系问题来处理。案例导入:图3-27所示为曲轴冲床简图，由曲轮I、连杆AB和冲头B组成。A,B处为铰链连接。OA=R,AB=l。忽略摩擦和自重，当OA在水平位置、冲压力为F时系统处于平衡状态。(1)分析许出曲轮、连杆及冲头的受力图。(2)利用所学的知识求出冲头给导轨的侧压力。(3)求出作用在曲轮I上的力偶矩M的大小。利用之前所学知识容易解决前两个问题，但为了解决第三个问题，我们还需要学习平面任意力系的简化、平衡等问题。下一页返回3.5平面任意力系经过分析可知:(1)冲头B承受平面汇交力系作用〔图3-27(b)〕，连杆AB为二力杆〔图3-27(c)〕,曲轮承受平面任意力系作用〔图3-27(d)〕。(2)由于冲头承受平面汇交力系作用，在已知冲压力F的情况下，只要利用平面汇交力系的平衡方程式就可求出冲头给导轨的测压力FN和连杆AB受到的力FB‘。(3)由于曲轮I承受平面任意力系作用，利用已学过的平面汇交力系平衡和力偶系平衡方程，无法求解力偶矩M的大小。上一页下一页返回3.5平面任意力系3.5.1力的平移定理用两支桨划船，小船会直线前进，如图3-28

(a)所示;而用一支桨划船，小船会在原地打转，无法前进，如图3-28(b)所示，这是不会划船的人容易出现的问题。这种现象如何解释?由力的可传性知，力可以沿其作用线移到刚体上任意一点，而不改变力对刚体的作用效应。但当力平行于原来的作用线移动到刚体上任意一点时，力对刚体的作用效应就会改变，为了进行力系的简化，将力等效地平行移动，给出如下定理:力的平移定理:作用于刚体上的力可以平行移动到刚体上的任意一指定点，但必须同时在该力与指定点所决定的平面内附加一力偶，其力偶矩等于原力对指定点的矩。上一页下一页返回3.5平面任意力系证明设力F作用于刚体上A点，如图3一29

(a)所示。为将力F等效地平行移动到刚体上任意一点B，根据加减平衡力系公理，在B点加上两个等值、反向的力F'和F"，并使F'=F"=F，如图3-29(b)所示。显然，力F,F'和F'‘组成的力系与原力F等效。由于在力系F,F'和F'‘中，力F与力F"等值、反向且作用线平行，它们组成力偶(F,F")。于是作用在B点的力F’和力偶(F,F")与原力F等效。即把作用于A点的力F平行移动到任意一点B，但同时附加了一个力偶，如图3-29(c)所示。由图可见，附加力偶的力偶矩为上一页下一页返回3.5平面任意力系力的平移定理表明，可以将一个力分解为一个力和一个力偶;反过来，也可以将同一平面内的一个力和一个力偶合成为一个力。应该注意，力的平移定理只适用于刚体，而不适用于变形体，并且只能在同一刚体上平行移动。力的平移定理不仅是力系向一点进行简化的依据，而且可以用来解释一些实际问题。例如，前面讲的划船问题，可以用力的平移定理来解释。单桨划船，作用在桨上的力，向船的中心平移，得到一个力和一个力偶，所以船会在原地打转，而无法前进;而双桨划船，左右两桨上的力向船的中心平移，会得到一个合力，以及一对平衡的力偶，所以船会加速前行钳工攻螺纹时必须用两只手同时均匀用力，以便产生力偶。上一页下一页返回3.5平面任意力系如果只用一只手施力(图3-30)，则作用在铰杠一端B的力F相当于一个作用在中点O的力F’和一个附加力偶，这个附加力偶固然能起到攻螺纹的作用，但作用在中点O的力F’却可能使丝锥折断。

3.5.2平面任意力系的简化1.主矢、主矩刚体上作用有一平面任意力系F1、F2……Fn，如图3一31

(a)所示。在平面内任取一点O，称为简化中心。上一页下一页返回3.5平面任意力系简化方法:应用力的平移定理，把各力都平移到点O。这样，得到作用于点O的平面汇交力系F‘1、F’2……F‘n

，和一个附加平面力偶系M1、M2……Mn

，如图3一31(b)所示。且有(1)平面汇交力系F1、F2……Fn可以合成为一个作用在0点的力FR，如图3-29(a)所示。即力FR等于原来各力的矢量和，将这个力FR称为原力系的主矢。上一页下一页返回3.5平面任意力系将上式写成直角坐标系下的投影形式为:因此主矢的大小及其与x轴正向的夹角α分别为:上一页下一页返回3.5平面任意力系(2)平面力偶系M1、M2……Mn可合成为一个力偶，这个力偶的矩Mo等于各附加力偶矩的代数和，即这个力偶的矩等于原来各一个力对简化中心O点的矩的代数和，将Mo称为原力系对简化中心的主矩。由上面的结果，可以得出这样的结论:一般情况下，平面一般力系向作用面内任选一点O进行简化，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O,这个力偶的矩等于该力系对于O点的主矩。上一页下一页返回3.5平面任意力系由于主矢等于各力的矢量和，所以它和简化中心的选择无关。而主矩等于各力对于简化中心的矩的代数和，当取不同的点作简化中心时，各力的力臂将有改变，各力对简化中心的矩也会改变，一般情况下主矩与简化中心的选择有关。所以，以后说到主矩时，必须指出是力系对哪一点的主矩。2.固定端约束的简化现在利用力系向一点简化的方法，分析固定端支座的约束反力。固定端支座对物体在接触面上作用了一群约束反力。在平面问题中，这些力为一平面任意力系，如图3-32

(a)所示。将这群力向作用平面内点A简化，得到一个力和一个力偶，如图3-32(b)所示。上一页下一页返回3.5平面任意力系一般情况下这个力的大小和方向均为未知量，可用两个正交分力来代替。因此，在平面力系情况下，固定端A处的约束作用力可简化为两个约束力FAx,FAy和一个约束力偶MA，如图3一32(c)所示。3.平面任意力系的简化结果平面任意力系向作用面内一点简化的结果，通常为一个主矢FR和一个主矩Mo，进一步分析有以下四种情况:(1)F'R=0，Mo=0简化结果为主矢和主矩都等于零，则原力系平衡，这种情形将在下节讨论。上一页下一页返回3.5平面任意力系(2)F'R≠0，Mo=0简化的结果为主矩为零，而主矢不为零。F‘R就是原力系的合力，而合力的作用线恰好通过了特定的简化中心O。(3)F'R=0，M=0简化的结果为主矢为零，而主矩不为零。作用在简化中心的合力为零，但附加的力偶系并不平衡，可合成为一个力偶。因为力偶对于平面内任意点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。上一页下一页返回3.5平面任意力系(4)F'R≠0，Mo≠0简化的结果为主矢、主矩都不为零。这种情况还可以进一步简化，根据力的平移定理逆过程，可以把F公和M,，合成一个合力F‘R和Mo合成过程如图3一33所示，合力FR的作用线到简化中心O的距离为:上一页下一页返回3.5平面任意力系3.5.3平面任意力系的平衡方程及应用1.平面任意力系的平衡方程现在讨论静力学中最重要的情形，即平面任意力系的主矢和主矩都等于零的情形:显然，主矢等于零，表明作用于简化中心O的汇交力系为平衡力系;主矩等于零，表明附加力偶系也是平衡力系，所以原力系必为平衡力系。因此，式(3-20)为平面一般力系平衡的充分条件。

上一页下一页返回3.5平面任意力系由上一节分析结果可见:若主矢和主矩有一个不等于零，则力系应简化为合力或合力偶;若主矢与主矩都不等于零时，可进一步简化为一个合力。上述情况下力系都不能平衡，只有当主矢和主矩都等于零时，力系才能平衡，因此，式(3-20)又是平面一般力系平衡的必要条件。平面一般力系平衡的充分与必要条件是:力系的主矢和主矩同时为零。将式(3-20)改写成为力的投影形式，得到:(1)基本形式上一页下一页返回3.5平面任意力系由此，可以得出结论，平面任意力系平衡的解析条件是:所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和为零，且各力对任意一点矩的代数和也等于零。上式(3-21)称为平面一般力系的平衡方程，平面一般的平衡方程有三个，可求解最多三个未知量。用解析表达式表示平衡条件的方式不是唯一的。平衡方程的形式还有二力矩式和三力矩式两种形式。(2)二力矩式平衡方程上一页下一页返回3.5平面任意力系其中A,B的连线不能与x轴(或y轴)垂直(3)三力矩式平衡方程其中A,B,C的连线不能在同一条直线上。上一页下一页返回3.5平面任意力系2.平面任意力系平衡问题的解题步骤现将解平面力系平衡问题的方法和步骤归纳如下:(1)首先弄清题意，明确要求，正确选择研究对象。对于单个物体，只要指明某物体为研究对象即可。对于物体系统，往往要选两个以上的研究对象。如果选择了合适的研究对象，再选择适当形式的平衡方程，则可使解题过程大为简化。显然，选择研究对象存在多种可能性。例如，可选物体系统和系统内某个构件为研究对象，也可选物体系统和系统内由若干物体组成的局部为研究对象;还可考虑把物体系统全部拆开来逐个分析的方法，其平衡问题总是可以解决的。因此，在分析时，应排好研究对象的先后次序，整理出解题思路，确定最佳的解题方案。上一页下一页返回3.5平面任意力系(2)分析研究对象的受力情况，并画出受力图。在受力图上画出作用在