北师大版小学数学五年级下册《分数除法（三）第2课时：已知一个数的几分之几是多少求这个数》教学设计

北师大版小学数学五年级下册《分数除法（三）第2课时：已知一个数的几分之几是多少，求这个数》教学设计一、课标分析《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第三学段“数与代数”领域指出，要让学生“能进行简单的分数四则运算和混合运算，感悟运算的一致性，形成数感和运算能力。”对于本课时，课标强调：“在具体情境中，理解百分数的意义，会进行小数、分数和百分数的转化（不包括将循环小数化为分数）。”虽直接提及百分数，但其所指的核心素养导向——即“在真实情境中理解运算的意义，并能运用所学知识解决简单的实际问题”——对本课具有直接的指导意义。本课时的核心在于引导学生从“算术思维”向“代数思维”跨越，通过“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题，让学生经历从“逆向思考”到“顺向建模”的过程，初步体会方程作为刻画现实世界数量关系的重要工具的价值，发展学生的抽象能力、模型意识和应用意识。【重要】二、教材分析《分数除法（三）》是北师大版五年级下册第五单元《分数除法》的核心内容。本单元共分为三个部分：分数除法（一）主要探讨分数除以整数；分数除法（二）主要探讨一个数除以分数（含整数除以分数和分数除以分数），并归纳出统一的分数除法计算法则——“除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数”；分数除法（三）则是将这些计算知识应用于解决实际问题。本课（第2课时）是在学生已经掌握了分数除法的计算方法，并在第1课时中初步接触了用方程解决简单的分数除法实际问题的基础上进行教学的。第1课时侧重于引导学生理解“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”这类问题的基本结构，并尝试用方程解答。第2课时则需要在巩固方程法的同时，深化对数量关系的分析，特别是当题目中的信息更为复杂（如涉及两个以上的量、比较量与分率不对应等），引导学生沟通算术法（分数除法）与方程法之间的联系，理解两种方法的本质是相同的，只是思维路径相反。【基础】教材通过“跳绳的小朋友有6人，是操场上参加活动总人数的2/9，操场上有多少人？”这类典型问题引入，旨在让学生在解决问题的过程中，进一步理解分数除法的意义，掌握用方程和算术方法解决问题的策略，为后续学习更复杂的分数乘除法混合问题以及百分数应用题打下坚实的基础。【高频考点】三、学情分析五年级学生已经具备了一定的抽象思维能力，能够理解部分与整体的关系，并掌握了分数乘除法的计算法则。在学习了本单元前几课时以及本单元第1课时后，学生对于“求一个数的几分之几是多少”用乘法计算，以及“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”用方程或除法计算有了初步的认识。然而，学生在学习中仍面临两大障碍：其一，思维定势的干扰。在低年级解决实际问题时，学生习惯根据已知信息进行直接的列式解答（算术思维）。面对“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”这类需要逆向思考的问题时，学生往往难以从“顺向”的数量关系入手，容易受题目中数字的干扰，出现用乘法或随意进行除法计算的错误。【难点】其二，数量关系分析的模糊性。部分学生不能准确找到题目中的单位“1”，分不清分率对应的比较量，导致等量关系建立错误。特别是当题目叙述方式变化，或需要间接设未知数时，学生更是感到困难。因此，本课时的核心任务，不是简单地让学生套用公式，而是要引导学生学会“画图分析——寻找等量——列式解答”的通法，特别是强化用方程解决此类问题的优越性，因为方程符合学生的顺向思维，能降低思维难度。【非常重要】四、核心素养目标1.【知识与技能】结合具体情境，能正确分析数量关系，掌握“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题的解题方法，能熟练运用方程和算术法进行解答，并会检验结果的合理性。2.【过程与方法】通过画线段图、列表等方法，经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，在比较、分析、交流中，理解方程法与算术法之间的联系与区别，体会转化、数形结合等数学思想，发展抽象能力和推理能力。【重要】3.【情感态度与价值观】在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，体验解决问题策略的多样化，增强学习数学的兴趣和信心，初步培养模型意识和应用意识。五、教学重难点1.【教学重点】分析题目中的数量关系，掌握用方程和算术方法解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题。2.【教学难点】能够根据数量关系正确列出等量关系式，理解并沟通方程法与算术法（除法）的本质联系，体会方程的顺向思维优势。【难点】六、教学准备多媒体课件（PPT）、学习单（含线段图、练习题）、直尺、彩笔。七、教学过程设计（一）唤醒经验，冲突引入（预计5分钟）好的开始是成功的一半。本环节旨在通过一组对比练习，唤醒学生已有的知识经验，同时制造认知冲突，激发学生探究新方法的欲望。1.课件出示一组题目，请学生口答或快速列式：（1）操场上有27人在活动，其中跳绳的人数占2/9，跳绳的有多少人？（2）跳绳的有6人，踢足球的人数是跳绳的2/3，踢足球的有多少人？2.学生独立完成后，指名汇报，并让其说说列式理由。引导学生说出：第（1）题是“求一个数的几分之几是多少”，用乘法计算：27×2/9=6（人）。【基础】第（2）题也是“求一个数的几分之几是多少”，用乘法计算：6×2/3=4（人）。3.教师追问：为什么这两题都用乘法？引导学生明确：因为单位“1”的量是已知的，求它的几分之几，自然是用乘法。【核心问题】4.课件变换问题，出示新情境：还是操场上，我们知道跳绳的有6人，并且知道跳绳的人数占操场上参加活动总人数的2/9。你们能提出一个数学问题吗？学生自然提问：操场上一共有多少人参加活动？5.教师引导：这个问题和我们刚才解决的问题有什么不同？（学生发现：单位“1”是未知的。）对！当单位“1”未知时，我们该怎么解决呢？这节课，我们就来继续研究“分数除法（三）”，重点学习如何解决这类“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题。【板书课题】（二）探究新知，建构模型（预计18分钟）本环节是本课的核心，将通过“画图分析—寻找等量—列式解答—沟通联系”四个步骤，引导学生逐步建构解题模型，深刻理解数量关系。【非常重要】1.画图分析，理解题意。（1）课件出示例题（教材情境）：跳绳的小朋友有6人，是操场上参加活动总人数的2/9。操场上有多少人参加活动？（2）引导学生找出题目中的关键句子，并说说对这句话的理解：“是操场上参加活动总人数的2/9”是什么意思？预设学生回答：这句话是把操场上参加活动的总人数看作单位“1”，平均分成9份，跳绳的人数占了其中的2份。（3）动手操作：请同学们拿出学习单，尝试用画线段图的方法来表示题目中的信息和问题。教师巡视，选取典型的画法（如线段图、条形图）进行展示。（4）展示交流：请画得好的同学上台展示，并说明自己的想法。学生展示：“我用一条线段表示‘参加活动的总人数’，把它平均分成9份。因为跳绳人数占2/9，所以在线段上标出其中的2份，并注明这部分是‘6人’。最后在线段上方标一个大括号，写上‘？人’。”（5）教师点评并示范规范画法（或PPT动态演示线段图形成过程），强调：画图时，要先画单位“1”，再画它的几分之几，这样能清晰地看出部分与整体的关系。通过线段图，学生直观地看到：总人数的2/9是6人。【基础】2.寻找等量，顺向建模。（1）教师引导：看着这个线段图，你能根据图意，找出题目中蕴含的相等关系吗？你能用一个关系式来表示吗？（2）小组讨论，教师参与其中一组交流，了解学生想法。（3）汇报交流，板书学生找出的等量关系式：学生预设：操场上总人数×2/9=跳绳人数（6人）【核心关系式】教师追问：为什么这个关系式是成立的？（因为“跳绳人数占总数2/9”，根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几，就是用这个数乘几分之几，结果就等于那个部分量。）（4）教师小结：这个等量关系式非常关键，它把题目中的文字信息翻译成了数学语言，是我们列方程的基础。3.列式解答，多元探索。（1）方程法——顺向思维的优越性。教师引导：在等量关系式中，“操场上总人数”是我们要求的，是个未知数。在数学上，对于未知数，我们常用什么来表示？（字母x）请同学们尝试设未知数，并根据这个等量关系列出方程，并解答。学生独立完成，请一名学生上台板演。解：设操场上有x人参加活动。x×2/9=6x=6÷2/9x=6×9/2x=27答：操场上有27人参加活动。教师引导学生回顾解方程的过程，重点提问：“x×2/9=6”，在解这个方程时，我们是怎么做的？为什么要用除法？（因为求一个因数，等于积除以另一个因数。）这里的“6÷2/9”正是我们学过的分数除法计算。教师再次强调：用方程解题，我们的思路是顺着题意想的，非常自然，这就是方程的优越性。【重要】（2）算术法——逆向思维的挑战。教师引导：还有没有其他方法？比如，你能直接列出一个除法算式来解答吗？让学生尝试列式：6÷2/9=6×9/2=27（人）。教师追问：6÷2/9表示什么意思？你能结合线段图来解释吗？引导学生结合线段图理解：6人和2/9是对应的。把总人数平均分成9份，其中的2份是6人，那么先求1份是多少（6÷2=3人），再求9份是多少（3×9=27人）。这个过程合并成一个算式就是：6÷2×9=6×9/2=6÷2/9。所以，6÷2/9就表示“已知一个数的2/9是6，求这个数”用除法计算。从而归纳出算术法的公式：标准量（单位“1”）=比较量÷对应分率。【高频考点】（3）检验反思，确保正确。教师提问：我们的解答正确吗？怎样检验？引导学生检验：27×2/9=6（人），符合题意，解答正确。检验是解决问题不可或缺的一步，它能帮助我们养成严谨的学习习惯。4.沟通联系，深化模型。（1）对比分析：请同学们观察黑板上的方程法和算术法，它们之间有什么联系？（2）小组讨论，代表发言。学生预设：我们发现，解方程的过程“x×2/9=6，x=6÷2/9”，最后的这一步“6÷2/9”实际上就是算术法的算式。算术法是方程法解方程的最后一步。（3）教师总结：非常棒！你们发现了问题的本质。方程法和算术法其实是相通的。方程法是顺向思维，先根据分数乘法的意义列出等量关系，再解方程求出未知数；而算术法是根据除法的意义直接列出除法算式，是逆向思维。虽然思考方式不同，但都能解决问题。对于复杂的题目，方程法思路更清晰，不易出错。（三）变式练习，内化提升（预计12分钟）本环节通过设计层次递进的练习，帮助学生在不同情境中运用所学知识，深化对数量关系的理解，实现知识的迁移和内化。【热点】1.【基础练习】找准单位“1”，写出等量关系并解答。（1）李健的身高是150厘米。李健的身高是妈妈身高的15/16，妈妈的身高是多少厘米？（2）某月有9天休息日，休息日占这个月总天数的3/10。这个月共有多少天？要求学生：先找出单位“1”，写出等量关系式，再用自己喜欢的方法解答。集体订正时，重点让学生说出等量关系。2.【变式练习】分率与比较量的对应关系。（1）课件出示：一辆汽车从甲地开往乙地，已经行驶了全程的3/5，正好是120千米。甲、乙两地相距多少千米？（2）学生独立分析，尝试画图。（3）交流：这里的3/5对应的比较量是120千米吗？等量关系是什么？引导学生得出：全程×3/5=已行驶路程（120千米）。列方程或除法解答。（4）拓展提问：如果题目改为“已经行驶了全程的3/5，离乙地还有80千米”，又该怎么解答？这是一个难点，引导学生画图分析，发现80千米对应的分率是（13/5），等量关系为：全程×（13/5）=剩下路程（80千米）。【难点】教师强调：解题的关键是找到“已知量”所对应的“分率”。3.【综合练习】解决生活中的实际问题。课件出示情境：王叔叔从网上购买了一本书，第一天读了这本书的1/4，第二天读了这本书的1/3，两天一共读了35页。这本书一共有多少页？要求：学生先独立思考，尝试画线段图分析，然后在小组内交流自己的解题思路。预设思路：等量关系是“这本书的页数×1/4+这本书的页数×1/3=35页”，或者“这本书的页数×（1/4+1/3）=35页”。学生独立解答，教师巡视指导。汇报时，重点让学生解释如何根据问题列出等量关系。（四）课堂总结，反思升华（预计5分钟）1.回顾反思：通过这节课的学习，你有哪些收获？我们是用什么方法来解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”这类问题的？引导学生从知识、方法、思想等方面进行总结。（1）知识上：我学会了用方程和算术法解决分数除法应用题。【基础】（2）方法上：解题的关键是找准单位“1”，画出线段图，写出等量关系式。【重要】（3）思想上：画图是解决问题的好帮手（数形结合思想）；方程可以把逆向思维变成顺向思维（转化思想）。2.教师提升：同学们，今天我们学习的这类问题，在我们的生活中非常常见。无论是购物打折、工程进度，还是统计调查，都离不开“已知部分求整体”的数学模型。希望同学们能带着今天学到的本领，去解决生活中更多的数学问题。3.板书设计（回顾板书）：边总结边完善板书，让板书成为本课知识的浓缩图。八、板书设计分数除法（三）（2）——已知一个数的几分之几是多少，求这个数线段图：等量关系：总人数×2/9=6人┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐│││跳绳6人│││││││解法：└───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘1.方程法：←──────────?人─────────→解：设总人数为x人。（总人数看作单位“1”，平均分成9份）2/9x=6x