北师大版初中数学七年级上册“有理数的加减混合运算”教案

北师大版初中数学七年级上册“有理数的加减混合运算”教案

一、课程基本信息与设计理念

（一）课程背景分析

本节课是学生在学习了“有理数的加法”与“有理数的减法”之后，首次将两种运算进行系统性整合与串联的关键课时。从数学知识体系的建构来看，有理数的加减混合运算标志着学生从对单一运算规则的机械应用，转向对运算内在统一性与灵活性的深度理解，是算术思维向代数思维过渡的重要桥梁。在北师大版教材的编排体系中，本节内容承上启下：既是对前两节运算规则的综合运用与巩固，也为后续学习有理数的乘除、四则混合运算以及代数式的运算奠定了不可或缺的算理基础和运算能力。

（二）学情深度剖析

七年级的学生正处于具体运算思维向形式运算思维过渡的关键期。他们已掌握有理数加、减法的具体法则，能够进行独立运算，但普遍存在以下认知特点与潜在困难：

1.概念理解层面：对“相反数”、“绝对值”等核心概念的理解可能仍停留在表面，在混合运算中难以自觉运用“减去一个数等于加上这个数的相反数”进行统一转化。

2.运算过程层面：容易受到小学算术运算定势的影响，对运算顺序（尤其是引入括号后）的优先级判断不清，易出现符号处理错误（如“--”转化为“+”的困惑）。

3.思维策略层面：缺乏对运算进行主动优化与简化的意识，多数学生倾向于按顺序逐步计算，未能主动识别并运用加法运算律（交换律、结合律）简化计算过程。

4.数学表征层面：对算式的多元表征（如数字、符号、数轴图形）之间的转换能力较弱，数形结合思想的应用尚不熟练。

（三）核心设计理念

本教案立足于“深度学习”与“核心素养”导向，遵循以下设计理念：

1.算理贯通，突出本质：超越对“步骤”和“技巧”的机械训练，致力于引导学生理解加减法在有理数范围内的统一性（统一为加法），洞察数学运算的简洁与和谐之美。

2.问题驱动，情境赋能：创设具有现实意义和认知冲突的真实或拟真情境，让运算的学习源于解决实际问题的需要，增强数学的应用感和学习内驱力。

3.思维可视化，探究渐进：借助数轴、流程图、思维导图等工具，将内在的思维过程外显化，设计层层递进的探究任务，引导学生在“做数学”中自主建构知识。

4.渗透思想，发展素养：将转化与化归、数形结合、优化等基本数学思想贯穿教学始终，着力发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养。

5.差异关照，评估嵌入：设计弹性任务和分层练习，关注不同层次学生的发展需求；将形成性评价嵌入各个教学环节，实现“教学-评”一体化。

二、教学目标与重难点

（一）教学目标

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对本学段“数与代数”领域的要求，制定如下三维目标：

1.知识与技能

1.能准确叙述有理数加减混合运算可以统一为加法运算的算理依据。

2.能熟练地将有理数的加减混合算式写成省略加号和括号的代数和形式。

3.掌握有理数加减混合运算的基本步骤，能正确、合理地进行运算。

4.初步学会运用加法运算律（交换律、结合律）简化加减混合运算。

2.过程与方法

1.经历从实际问题抽象出数学算式，并将混合运算统一为加法运算的过程，体会转化与化归的数学思想。

2.通过对比不同解法（按顺序算、统一为加法后算、运用运算律简化后算），经历算法优化的过程，发展运算策略的选择与评价能力。

3.在运用数轴解释运算结果的过程中，加深对有理数运算几何意义的理解，发展数形结合能力。

3.情感、态度与价值观

1.在克服符号处理和运算顺序等困难的过程中，培养严谨、细致的运算习惯和克服困难的意志品质。

2.在探索运算统一性和简洁性的过程中，感受数学的理性美与内在逻辑力量，增强学习数学的兴趣和信心。

3.通过解决与实际生活（如气温变化、水位变化、账户盈亏等）相关的问题，体会数学的实用价值。

（二）教学重点与难点

1.教学重点：有理数加减混合运算统一为加法运算的方法；省略加号的代数和形式的规范书写与解读。

2.教学难点：减法向加法的准确转化，特别是多重符号的化简；根据算式特点，灵活选择并运用运算律进行简便计算。

三、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（包含情境动画、动态数轴演示、阶梯式练习题组）；实物投影仪；设计并打印《探究学习任务单》和《分层巩固练习卡》。

2.学生准备：复习有理数加法、减法法则；直尺、铅笔。

3.环境准备：教室桌椅按“协作学习小组”形式摆放（4-6人一组）。

四、教学过程设计与实施

（一）创设情境，孕伏新知（预计时间：8分钟）

1.情境导入：

课件呈现一则“某市冬日连续四天的气温变化”新闻报道图文：

“星期一，我市最高气温为5℃。受冷空气影响，星期二下降了7℃，星期三又回升了3℃，星期四再次下降了4℃。请问星期四的最高气温是多少摄氏度？”

2.问题探究：

1.师：请同学们独立尝试用数学方法解决这个问题。你可以列出算式吗？

2.学生活动：独立思考，在练习本上列式。教师巡视，收集典型列式。

3.成果展示与互动：通过实物投影展示学生的不同列式。

1.4.可能出现的列式：5-7+3-4

（常见）

2.5.或分步列式：5-7=-2

，-2+3=1

，1-4=-3

。

6.师：这两种列式都表达了气温变化的过程。5-7+3-4

这个算式和我们之前学过的有什么不同？

7.生：它里面既有加法，又有减法。

8.师：是的，这就是我们今天要深入研究的新问题——有理数的加减混合运算（板书课题）。这个算式应该怎么算呢？它的结果是否真的是-3℃？让我们一起来验证。

【设计意图】选择贴近学生生活实际的气温变化情境，自然引出加减混合运算的算式，使学生感受到学习新知的必要性和现实意义。从学生已有的分步计算经验出发，自然过渡到综合算式，为新知学习搭建了认知起点。

（二）算理探究，构建新知（预计时间：20分钟）

活动一：统一运算，探寻本质

1.基于旧知，引导转化：

1.师：算式5-7+3-4

中包含了减法和加法。我们已经分别学过了有理数的加法和减法法则。能否运用这些法则，将所有的运算都转化为同一种运算，让它变得更简单、更统一呢？

2.启发：回忆一下，有理数的减法法则是什么？（减去一个数，等于加上这个数的相反数。）

3.小组合作探究（一）：请各小组利用减法法则，尝试将算式5-7+3-4

中的所有减法运算都转化为加法运算，写出转化后的算式。

4.学生活动：小组讨论，合作完成转化。教师巡视指导，重点关注学困生对法则应用的准确性。

5.汇报与板书：

5-7+3-4=5+(-7)+3+(-4)

教师板书强调转化过程：-7

是+(-7)

，-4

是+(-4)

。

2.引入概念，规范形式：

1.师：看，转化后的算式5+(-7)+3+(-4)

变成了几个有理数的和。这种几个有理数的和的算式，在数学上有一个专门的名称，叫做这几个数的代数和。

2.讲解与规范：在代数和里，因为所有的运算都是加法，所以我们可以把加号和括号都省略掉，写成更简洁的形式。

1.3.示范省略过程：5+(-7)+3+(-4)=5-7+3-4

2.4.关键提问：请大家仔细观察，省略后的式子5-7+3-4

和我们最初的式子一样吗？

3.5.深度辨析：引导学生认识到，虽然形式上一样，但含义已经发生了根本变化。最初的式子中的“-”是减法运算符号，而省略加号后的式子中的“-”是性质符号（负号），它和后面的数字是一个整体，代表一个负数。整个式子读作“正5、负7、正3、负4的和”，或按运算符号读作“5减7加3减4”。

6.即时巩固：请将下列式子统一成加法，再写成省略加号和括号的代数和形式，并读出结果。

(1)(-8)-(-10)+(-6)-(+4)

(2)(+2/3)+(-1/2)-(+5/6)-(-1/3)

（教师巡视，纠正书写和读法错误，强调“+”、“-”号的双重身份识别。）

【设计意图】此环节是突破重点的关键。通过引导学生主动运用已学的减法法则，自主实现减法向加法的转化，深刻理解混合运算可以“统一为加法”的算理本质。通过对“代数和”概念的引入和省略写法的规范教学，帮助学生厘清算式中每一个符号的真实含义，为准确计算扫清符号认知障碍。

活动二：算法优化，提升思维

1.常规算法演练：

1.师：现在，我们有了两种理解方式的算式：原式5-7+3-4

（视作加减混合）和代数和5+(-7)+3+(-4)

（视作几个数的和）。请分别用两种思路计算最终结果。

2.学生计算并汇报：

1.3.思路一（按顺序做加减）：5-7=-2

，-2+3=1

，1-4=-3

。

2.4.思路二（统一为加法后计算）：5+(-7)+3+(-4)=[5+3]+[(-7)+(-4)]=8+(-11)=-3

。（此处可能有学生自然地将正数与正数、负数与负数先结合）

5.师：两种方法结果相同。大家觉得哪种方法在计算时更不容易出错？或者说，当数字更多、更复杂时，哪种思路更有优势？

2.引导发现运算律的应用价值：

1.师：在计算代数和5+(-7)+3+(-4)

时，有些同学很聪明地把5

和3

先加了，把(-7)

和(-4)

先加了。这运用了我们以前学过的什么知识？

2.生：加法的交换律和结合律。

3.师生共同归纳：在有理数的加减混合运算中，统一成加法后，可以灵活运用加法交换律和结合律，将正数与正数结合、负数与负数结合，有时还可以将互为相反数的数结合，或者凑成整数的数结合，从而使计算简便。

4.板书简便运算的一般策略：

1.5.同号结合

2.6.凑整结合（包括凑0）

3.7.同分母结合（针对分数）

3.综合示例，示范步骤：

1.出示例题：计算(-20)+(+3)-(-5)-(+7)

2.师生共析，规范板演：

步骤一：转化。将减法统一成加法（写出中间过程）：

(-20)+(+3)-(-5)-(+7)=(-20)+(+3)+(+5)+(-7)

步骤二：简化。写成省略加号的代数和形式：

=-20+3+5-7

步骤三：计算。运用运算律简化计算：

=(-20-7)+(3+5)

（同号结合）

=-27+8

=-19

1.3.强调：步骤一（转化）是基础，能有效避免符号错误；步骤三（巧算）是提升运算速度和准确性的关键。

【设计意图】此环节旨在突破教学难点。通过对比不同算法，让学生体会统一为加法的优越性；通过追问，激发学生对简便算法的需求，自然引出运算律的应用。教师的规范板演，为学生提供了可模仿的、完整的思维过程和书写范式，将优化运算的策略显性化。

（三）多维辨析，深化理解（预计时间：7分钟）

1.错例诊断：

课件出示典型错误计算过程，开展“我是小老师”活动。

1.错例1：3-8+2=3-10=-7

（运算顺序错误，应先算3-8

）

2.错例2：-5+3-2=-5+1=-4

（将3-2

视为整体，但未加括号改变顺序，理解混淆）

3.错例3：(-2)-(-5)=-7

（减法法则应用错误）

请学生指出错误所在并纠正，分析错误原因（是对法则不理解，还是符号处理疏忽，或是运算顺序不清）。

2.数形结合，直观验证：

1.师：有理数运算可以在数轴上得到直观体现。我们以计算(-2)+3-5

为例，请在数轴上表示出这个过程。

2.课件动态演示：从原点0出发，向左移动2个单位至-2（加-2）；再向右移动3个单位至+1；再向左移动5个单位至-4。最终结果-4。

3.学生活动：在任务单上模仿练习，用数轴解释1-3+2

的结果。

4.意义建构：数轴的动态演示，将抽象的符号运算转化为直观的点线移动，帮助学生从几何角度理解加减混合运算的连续变化过程，深化对运算意义的理解。

【设计意图】错例分析是巩固正确认知的有效手段，通过辨析、纠错，让学生从反面加深对算理和算法的理解。数形结合的环节，为学生提供了另一种数学表征工具，促进他们对算理的深度理解，发展几何直观素养。

（四）分层练习，巩固应用（预计时间：8分钟）

发放《分层巩固练习卡》，学生根据自我评估选择相应层级完成。

1.A层（基础巩固）：重点训练规范书写和准确计算。

1.2.将下列算式统一为加法，并写成省略加号的形式：

(1)12-(-18)+(-7)-15

(2)-4.5+(+2.8)-(-3.2)-(+5.1)

2.3.计算：

(1)-3+5-7+9

(2)0-1/2+3/4-(-1/4)

4.B层（能力提升）：在准确计算的基础上，强调简便方法的应用。

1.5.用简便方法计算：

(1)-2.4+3.5-4.6+3.5

(2)(-56)+(-28)+46+38

(3)1-2+3-4+5-6+...+99-100

（探究规律）

2.6.某水库初始水位为-2米

（以警戒水位为0点），连续四天的水位变化记录为：+0.5米

，-0.8米

，-0.2米

，+0.3米

。求第四天后的实际水位。

7.C层（拓展挑战）：面向学有余力的学生，侧重逻辑推理和综合应用。

1.8.在方框中填入适当的数，使等式成立：

-3+□-(-5)=4

□-7+(-2)-□=-10

2.9.探究：|a|=5,|b|=3

，且a>b

，求a-b+|a+b|

的值。（渗透分类讨论思想）

教师巡视指导，重点关注A层学生的书写规范，点拨B、C层学生的思维方向。完成后进行小组内互评、订正。

【设计意图】分层练习设计满足了不同层次学生的学习需求，让每个学生都能在“最近发展区”获得成功体验。题目设计兼顾了基础性、综合性和发展性，B、C层的题目融入了简便运算、实际应用和探究拓展，促进了学生思维向更高阶发展。

（五）课堂小结，反思升华（预计时间：5分钟）

1.知识网络建构：

1.师：请同学们以思维导图或知识树的形式，梳理本节课的核心内容。

2.学生自主梳理后，教师展示预设的框架，引导学生共同完善：

1.3.核心知识：有理数加减混合运算→（依据减法法则）→统一为加法运算→（写成省略形式）→代数和。

2.4.关键步骤：①转化；②简化（省略）；③计算（可巧算）。

3.5.数学思想：转化思想、数形结合思想、优化思想。

4.6.易错点：符号处理、运算顺序。

2.反思与分享：

1.引导学生反思：

1.2.今天学习中最核心的发现是什么？（运算可以统一）

2.3.你最深刻的体会是什么？（符号的理解很重要/运用运算律可以让计算更简单）

3.4.你还有什么疑惑？

5.邀请学生分享学习心得和仍未解决的疑问，师生共同解答。

【设计意图】引导学生自主梳理，将零散的知识点系统化、结构化，形成良好的认知图式。反思环节促使学生回顾学习过程，进行元认知监控，提升学习品质。

（六）布置作业，延伸学习（预计时间：2分钟）

1.必做作业（教材对应章节习题，侧重基础与规范）：

完成课本PXX页练习第1、2、3题，习题第1（1）（3）（5）、2（1）（3）、4题。

2.选做作业（体现实践与探究）：

1.实践调查：记录你家连续一周每天的最高气温和最低气温，计算每天的温差（最高温减最低温），再计算这一周平均日温差。用今天所学知识列出算式并计算。

2.数学小论文（雏形）：以“+’和‘-’的华丽变身”为题，写一段话，阐述在有理数加减混合运算中，减号是如何“变身”为负号的，以及这种“变身”带来的好处。

【设计意图】作业设计体现基础性与拓展性相结合。必做作业巩固课堂所学；选做作业将数学与生活实际紧密相连，或引导学生进行初步的数学写作，促进知识内化和综合应用能力的提升。

五、板书设计（纲要式）

有理数的加减混合运算

一、转化：加减混合→统一为加法

依据：减法法则a-b=a+(-b)

例：5-7+3-4=5+(-7)+3