初三数学二轮复习专题：数学构造思想的深度剖析与高阶应用

初三数学二轮复习专题：数学构造思想的深度剖析与高阶应用

  本教学设计立足于初三学生中考二轮复习的关键阶段，针对学生已掌握基础知识和常规方法，但面对综合性压轴题时思路局限、难以破题的核心痛点。构造法并非一种孤立、具体的解题技巧，而是一种高阶的数学思想与策略性认知框架。它要求学生在深刻理解数学对象本质属性和相互关系的基础上，通过主动、有目的地创设辅助元素（如图形、模型、函数、方程、代数结构等），将陌生、复杂、隐晦的问题转化为熟悉、简单、直观的形态，从而实现问题的突破与解决。本专题旨在超越对“辅助线”等具体表象的机械记忆，引导学生领悟构造思想的哲学内涵与思维路径，提升其数学核心素养与应考创新能力，目标是使学生能够在中考压轴题中运用构造思想，展现思维深度与灵活性。

一、教育理念与设计依据

  本设计以建构主义学习理论和问题解决理论为基石，强调学习是学习者在原有认知结构基础上，通过同化与顺应，主动建构新知识意义的过程。数学复习的高级阶段，应是从“知识点的梳理”迈向“思想方法的贯通”与“认知结构的重构”。构造法正是实现这一跨越的桥梁。设计遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“创新意识”和“模型观念”、“几何直观”、“推理能力”等核心素养的强调，将数学思想方法的教学置于真实、复杂的问题情境中，通过“问题驱动—探究反思—抽象概括—迁移应用”的循环，促进学生思维从收敛走向发散，再从发散走向更高层次的收敛（策略性收敛）。本设计亦借鉴了波利亚的“怎样解题”表思想，将构造策略显性化、可操作化，引导学生建立解决非常规问题的元认知监控能力。

二、教学目标

  1.知识与技能目标：系统归纳初中阶段可利用构造法解决的典型问题类型（如构造方程解决实际问题或几何计算、构造几何图形证明不等式或求解最值、构造函数比较大小或研究序列、构造特殊模型转化条件等）；熟练掌握几种核心构造技术（如构造全等/相似三角形、构造直角三角形利用勾股定理或三角函数、构造平行线产生比例线段、构造圆利用圆周角定理、构造方程（组）、构造函数解析式等）的实施步骤与原理。

  2.过程与方法目标：经历“分析问题结构—识别条件特征—联想知识模块—设计构造方案—实施构造—验证与解答”的完整问题解决过程。通过典型案例的深度剖析与变式训练，发展学生的分析、联想、转化、推理与验证能力，初步形成运用构造思想策略性分析问题的思维习惯。

  3.情感态度与价值观目标：在破解难题的过程中体验数学思维的严谨性与创造性之美，克服对压轴题的畏惧心理，建立“看似无路可循，实则必有构造”的解题自信。培养不畏艰难、执着探究的科学精神，以及多角度、结构化思考问题的理性态度。

三、教学重难点分析

  教学重点：引导学生掌握构造法的思维分析流程，即如何从问题的目标形态和条件特征出发，逆向分析与正向联想相结合，确定恰当的构造方向。重点剖析“为何在此处构造”和“为何这样构造”的思维决策过程，而非仅仅展示“构造了什么”。

  教学难点：在于培养学生主动构造的意识与创造性联想能力。学生往往习惯于在现有图形或表述中直接操作，缺乏主动“添砖加瓦”改变问题结构的意识。难点之二是如何根据复杂、隐蔽的条件特征，准确链接到可供构造的数学模型（如见到平方和联想到勾股定理从而构造直角三角形，见到乘积或比例式联想到相似三角形等）。

四、教学资源与环境

  多媒体互动课件（动态几何软件如GeoGebra用于动态演示构造过程与猜想验证）、精心设计的学案（包含引导性问题串、经典例题、分层变式训练题）、实物投影仪用于展示学生构造方案、思维导图工具（用于课后总结构造思想体系）。

五、教学实施过程（核心环节）

  本教学实施过程计划用时三个课时（共135分钟），采用“理论建构—案例深析—迁移应用—综合评估”的渐进模式。

第一课时：感知唤醒与理论建构——构造思想的逻辑起源

  （一）情境导入，感知“构造”的必要性（约15分钟）

  活动设计：呈现一道看似“条件不足”的几何题。

  例题：在四边形ABCD中，已知AB=CD，∠ABC+∠DCB=180°。求证：AD∥BC。

  学生初看可能无从下手，因为条件分散，缺乏直接联系。教师引导学生分析：结论是平行，我们有哪些判定平行的方法？学生回顾同位角、内错角相等，同旁内角互补等。现有条件能直接得到这些角的关系吗？不能。那么，条件AB=CD和角度和180°如何利用？角度和180°可能提示什么？（补角、平行线下的同旁内角、或三角形内角和）。如何将AB=CD和角度条件联系起来？可能需要将它们“聚集”到一个三角形或一对全等三角形中。

  意图：制造认知冲突，让学生体验“山重水复疑无路”的困境，激发寻求“新路径”（构造）的内在动机。

  （二）探索发现，初识构造操作（约20分钟）

  教师不直接给出辅助线，而是通过问题串引导：

  1.我们能将∠ABC和∠DCB移动到一起吗？

  2.如何移动一条线段或一个角？（平移、旋转、对称）

  3.既然AB=CD，能否尝试将AB“移动”到与CD相关的位置？

  学生可能提出多种猜想。教师利用动态几何软件演示其中一种有效构造：过点A作AE∥BC交DC的延长线（或过点D作类似平行线）？或者，更直接地，延长BC至点E，使得CE=AB，连接AE？此时，引导学生聚焦于一种经典构造：在BC延长线上截取CE=AB，连接AE。

  追问：为何这样构造？目标是证明AD∥BC，可尝试证明内错角∠DAE=∠AEC或同位角相等。观察新图形，由AB=CE和AB平行于CE吗？不一定。但我们有∠ABC+∠DCB=180°，而∠DCE+∠DCB=180°，所以∠ABC=∠DCE。现在，在△ABC和△DCE中，AB=CD（已知），∠ABC=∠DCE（已证），BC=CE？（这是我们构造的，但CE=AB，而AB=CD，所以CE=CD？逻辑混乱）。说明这个构造有问题。

  重新思考：截取CE=AB，但AB=CD，所以实际上是截取CE=CD？不如直接构造一个与△ABC全等的三角形。既然AB=CD，∠ABC+∠DCB=180°，考虑将△ABC平移或旋转，使得AB与CD重合。一种优美构造是：过点C作CE∥AB，且使CE=AB，连接AE、DE。

  分析：由构造，四边形ABCE是平行四边形（一组对边平行且相等）。所以AE=BC，AE∥BC，∠AEC=∠ABC。又因为∠ABC+∠DCB=180°，而∠AEC+∠DCE=180°（同旁内角），所以∠DCB=∠DCE？这不严格。实际上，由于AE∥BC，∠AEC=∠ABC。已知∠ABC+∠DCB=180°，所以∠AEC+∠DCB=180°。又因为C、D、E三点共线吗？我们构造的是CE=AB，连接DE，D、C、E不一定共线。此构造也可能复杂化。

  此时，教师揭示一种更清晰的“构造全等三角形”思路：既然要证AD∥BC，可设法证明内错角∠1=∠2。没有现成的，就构造包含这些角的三角形。考虑将AB和CD以及夹角联系起来。作BE∥AD交CD的延长线于E。则∠BEC=∠ADC。现在只需证∠ABC=∠BEC？由AB=CD，∠ABC+∠DCB=180°，而∠BEC+∠BCE=180°，且∠DCB=∠BCE？不一定。这条路径也崎岖。

  最终，引导学生走向一种经典而巧妙的构造：过点B作BE∥AD交CD的延长线于点E。则四边形ABED是平行四边形吗？不一定是，但AD∥BE。接下来，由AD∥BE，可得∠ADC=∠BEC。已知∠ABC+∠DCB=180°，又∠BCE+∠DCB=180°（平角），所以∠ABC=∠BCE。在△ABC和△BCE中，已有∠ABC=∠BCE，AB=CD，但缺少边BC=CB（公共边），角边角？不对应。需要AB=CE。能否证明CE=CD？由AD∥BE，对线段CD的影响？在△ADC和△BEC中，∠ADC=∠BEC，∠ACD=∠BCE（对顶角），所以三角形相似，但不一定全等。

  经过一番探索，教师给出关键点拨：我们最初的目标是证明AD∥BC。平行线常与比例线段、平行四边形相联系。条件AB=CD是线段相等，可能通过构造平行四边形转化。尝试构造一个以AB和CD为对边的平行四边形。如何构造？连接AC，过点D作DE∥AC，且使DE=AC？不一定。

  揭示有效构造：连接AC，取AC中点O，连接BO并延长至E，使OE=BO，连接CE、AE。则四边形ABCE是平行四边形（对角线互相平分）。所以AB∥CE，AB=CE。又已知AB=CD，故CE=CD。所以△CDE是等腰三角形。∠DCE=∠CDE。又因为AB∥CE，所以∠ABC+∠BCE=180°。已知∠ABC+∠DCB=180°，所以∠BCE=∠DCB。这意味着C、D、E三点共线？不，∠BCE和∠DCB是同一个角吗？点D在CE上吗？由于CE=CD，点D在线段CE上。所以D、C、E共线。因此，AD是△ACE的中位线（O是AC中点，D是CE中点？需要证明D是CE中点。因为CE=CD，所以D就是CE的中点？不对，CE=CD意味着C是DE中点？混乱了）。此构造亦显繁琐。

  实际上，本题有一种简洁优美的构造：过点C作CE∥AB，且使CE=AB，连接AE、BE。则四边形ABCE是平行四边形。所以AE=BC，AE∥BC。现在，需要证明A、D、E三点共线，且D是AE中点，从而AD是中位线，AD∥BC。如何证共线？利用角度和条件。由ABCE是平行四边形，∠ABC=∠AEC。已知∠ABC+∠DCB=180°，而∠AEC+∠DEC=180°（平角），所以∠DCB=∠DEC。如果点D在CE上，则∠DEC就是∠DCB的一部分。要证共线，需证∠DCB=∠DEC，且C、D、E共线。这仍需额外证明。

  鉴于课堂时间，教师可以指出探索多种可能性的价值，并给出一种相对直接有效的构造法证明作为本阶段的收尾：延长BC至点E，使得CE=AB，连接AE、DE。由AB=CD，故CE=CD。所以△CDE是等腰三角形，∠CDE=∠CED。又因为∠ABC+∠DCB=180°，∠DCE+∠DCB=180°，所以∠ABC=∠DCE。在△ABC和△DCE中，AB=CD（已知），∠ABC=∠DCE（已证），BC=CE（构造），所以△ABC≌△DCE（SAS）。因此，AC=DE，∠ACB=∠DEC。由∠CDE=∠CED，得∠ACB=∠CDE。所以AC∥DE。又因为BC=CE，所以BC是△ADE的中位线？点C是BE中点，如果A、C、D不共线，则BC平行于DE？实际上，由AC=DE且AC∥DE，得四边形ACDE是平行四边形。所以AD∥CE，即AD∥BC。

  意图：通过一道题的多角度、略带曲折的探索，让学生深刻体会到：没有现成路径时，必须主动“搭建桥梁”（构造）；构造不是盲目的，它服务于具体的证明目标（如创造全等三角形、平行四边形、中位线等）；构造的方案可能不止一种，需要不断尝试、调整和优化。

  （三）抽象概括，建构构造思想的理论框架（约10分钟）

  基于以上探索，教师引导学生共同总结：

  1.构造法的定义：在解决数学问题时，通过对条件与结论的深入分析，主动引入问题中不曾直接给出的图形、模型、变量或关系式，以搭建条件与结论之间的逻辑桥梁，化难为易、化隐为显的数学思想方法。

  2.构造法的思维本质：是一种“无中生有”的创造性思维，但其“有”源于对数学知识内在联系的深刻洞察，是逻辑必然性的体现。

  3.构造法的基本步骤（思维流程）：

    （1）审题定标：清晰识别结论形态（要证明什么、求解什么）和条件特征（给出了什么，特别是等量关系、不等关系、位置关系、特殊角度或边长等）。

    （2）关联联想：根据结论形态，联想可能需要用到的定理、公式、模型（如要证线段相等，联想全等、等腰、中位线、平行四边形等；要求最值，联想将军饮马、垂线段最短、函数最值等）。同时，分析条件特征可能暗示的模型（如线段平方和勾股定理、比例线段相似三角形、乘积形式面积模型或相似比例等）。

    （3）设计蓝图：在头脑中构想，需要“创造”出一个什么样的数学对象（一个三角形、一条平行线、一个圆、一个方程等），才能将已知条件与目标结论有效联结。思考这个对象需要满足哪些属性。

    （4）实施操作：用规范的数学语言（作图、设元、建立关系式）将构想具体化。

    （5）推理验证：基于构造的新对象与新条件，结合原有条件，进行逻辑推导，达成解题目标，并检查构造的合理性与推理的严密性。

  意图：将感性的解题体验上升为理性的思维模型，为学生后续应用提供可操作的“行动指南”。

第二课时：分类深析与策略内化——构造技术的典例攻关

  本课时聚焦初中数学几类核心的构造场景，通过典型例题的精讲与互动探究，深化学生对特定构造策略的理解和应用能力。

  （一）构造几何图形（约40分钟）

  场景1：构造全等/相似三角形转化边角关系。

  例题：已知，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC。点P在△ABC内部，且PA=√3，PB=5，PC=2。求△ABC的面积。

  引导分析：条件分散在三个孤立的线段长（PA、PB、PC）和一个角度、一个边长比例关系上，直接求面积困难。观察数据：√3,2,5，联想到勾股数？(√3)^2+2^2=3+4=7≠5^2。但√3和2与60°角有关吗？在含60°的直角三角形中，边长比常出现√3。AB=2AC暗示可将AC视为1份，AB为2份。需要将分散的线段集中。构造旋转！

  教师引导：既然有∠BAC=60°和AB=2AC，可以考虑将△APC绕点A旋转60°，或将△APB绕点A旋转并进行缩放。尝试将△APC绕点A逆时针旋转60°，并缩放至与△APB相关？更标准的思路是：由AB=2AC，可构造一个以AC为直角边、包含60°角的直角三角形，使其斜边等于AB。或者，直接利用旋转相似模型。

  实施构造：将△APB绕点A逆时针旋转60°，并缩放至原大小的一半（因为AB=2AC，缩放系数为1/2），得到△AQC。连接PQ。则AQ=AP/2?不对，旋转缩放后，对应点B转到C，P转到Q。由旋转60°且缩放1/2，得AP到AQ的变换：AQ=(1/2)AP，且∠PAQ=60°。所以△APQ是含60°的三角形，已知AP=√3，可求PQ。同时，由旋转性质，CQ=(1/2)PB=2.5。现在已知PC=2，CQ=2.5，PQ可求。检查△PCQ的三边，看是否特殊。计算：AP=√3，AQ=√3/2，由余弦定理求PQ？更简单：由∠PAQ=60°，AP=√3，AQ=√3/2，可过Q作QM⊥AP于M，解直角三角形得PM、QM，再求PQ。但或许数据设计精巧。实际上，由AP=√3，AQ=√3/2，∠PAQ=60°，利用余弦定理：PQ²=AP²+AQ²-2·AP·AQ·cos60°=3+3/4-2√3

(√3/2)*(1/2)=3.75-1.5=2.25，所以PQ=1.5。现在△PCQ中，PC=2，CQ=2.5，PQ=1.5，恰好是3,4,5勾股数的倍数（1.5,2,2.5满足勾股定理？1.5²+2²=2.25+4=6.25=2.5²）。所以∠CPQ=90°。接下来可求∠APC等，进而求AC。最终通过解三角形求△ABC面积。此过程充分体现了通过旋转缩放构造新三角形，将分散条件（PA、PB、PC）集中于一个三角形（△PCQ）中的奇妙之处。

  场景2：构造直角三角形（利用勾股定理、三角函数）。

  例题：在锐角△ABC中，AB=4，AC=5，BC=6。求sinA的值。

  引导分析：求sinA，需构造含∠A的直角三角形。通常作高。但作哪条边上的高？计算便利性。作BD⊥AC于D或CE⊥AB于E。设BD=h，AD=x，则CD=5-x。在Rt△ABD和Rt△CBD中，由勾股定理列方程组：h²=4²-x²，h²=6²-(5-x)²。解出x，再求h，sinA=h/4。这是通法，但计算稍繁。有无更巧妙的构造？联想到余弦定理求cosA，再求sinA。但初中未正式学余弦定理。可否构造直角三角形，通过边长比例直接体现sinA？考虑将△ABC置于矩形或特殊图形中。另一种构造：以AB为一边，过B作AB的垂线，过C作AC的垂线，两垂线交于点D。则四边形ABDC对角互补，可共圆？或直接得到Rt△ABD和Rt△ACD，但计算复杂。教师此处重点展示通法（作高）的构造思想，并引导学生优化计算：作AD⊥BC于D？这样∠A被分割。不如作高简洁直接。通过此例巩固“求锐角三角函数值，常构造包含该角的直角三角形”这一基本构造策略。

  场景3：构造圆（利用圆周角、圆幂定理等）。

  例题：在四边形ABCD中，AB=AC=AD，且∠DAC=2∠BAC。求证：∠DBC=2∠BDC。

  引导分析：条件AB=AC=AD，意味着点B、C、D到点A的距离相等，故B、C、D三点在以A为圆心、AB为半径的圆上。这是关键构造识别！将图形置于⊙A中。结论涉及圆周角∠DBC和∠BDC。在圆中，圆周角与所对弧的度数有关。由∠DAC=2∠BAC，且弧DC对应圆周角∠DAC？不对，顶点A是圆心，∠DAC是圆心角，它等于弧DC的度数。∠BAC是圆周角，等于弧BC度数的一半。所以弧DC的度数=2*弧BC的度数。结论∠DBC=2∠BDC，即弧DC的度数？∠DBC是圆周角，对弧DC（优弧？需明确）。在⊙A中，∠DBC对弧DC（不含B的弧），∠BDC对弧BC（不含D的弧）。由弧DC=2弧BC，直接得∠DBC=2∠BDC。证明简洁明了。此例凸显了识别“共端点等线段”条件并构造隐圆的重要性。

  （二）构造方程（组）（约25分钟）

  场景：在几何计算、实际问题或代数推理中，通过设未知数、构造等量关系建立方程。

  例题：从一块直径为a+b的圆形铁片中，剪出直径分别为a和b的两个圆，求剩余废料的面积。

  引导分析：剩余面积=大圆面积-两个小圆面积。直接计算表达式即可，看似无需构造方程。但我们可以借此引入更深刻的构造思想：是否存在一个直径为c的圆，其面积等于两个直径分别为a和b的圆面积之和？即π(c/2)²=π(a/2)²+π(b/2)²，化简得c²=a²+b²。这恰好是勾股定理的形式！这意味着，如果a、b、c满足勾股定理，那么从直径为c的圆中剪出直径为a和b的圆，废料面积正好等于什么？可以构造一个直角三角形，其斜边为c，直角边为a、b。这个几何类比揭示了代数等式背后的几何意义。更进一步，对于更复杂的等量关系，构造方程是化归思想的直接体现。

  变式：已知实数x,y满足x²+y²+2xy+x-y=0，求x+y的值。

  分析：条件方程复杂。尝试因式分解或视为关于某个变量的二次方程。将原式整理为关于x的二次方程：x²+(2y+1)x+(y²-y)=0。因其有实数解，故判别式Δ≥0。Δ=(2y+1)²-4(y²-y)=4y²+4y+1-4y²+4y=8y+1≥0，得y≥-1/8。这只能求范围，不能求具体值。可能需整体视之。将原式分组：(x²+2xy+y²)+(x-y)=(x+y)²+(x-y)=0。仍有两个变量。令u=x+y,v=x-y，则x=(u+v)/2,y=(u-v)/2。代入原式？更简单：由u=x+y,v=x-y，则原式化为u²+v=0，即v=-u²。而u+v=2x,u-v=2y，无法直接求u。一个方程两个未知数，u不唯一。检查题目是否遗漏条件？若无其他条件，u的值不确定。但或许题目本意是求x+y的可能值或范围。通过构造换元，将原方程化为u²+v=0，揭示了u和v的关系，是有效的构造。

  （三）构造函数（模型）（约10分钟）

  场景：比较大小、求解最值、研究序列规律。

  例题：比较√2025-√2024与√2024-√2023的大小。

  引导分析：直接计算或平方比较繁琐。观察形式，是两个相邻算术平方根的差。构造函数f(x)=√x。考虑其在x>0时的凹凸性（导数）。初中未学导数，可考虑分子有理化：√2025-√2024=1/(√2025+√2024)，√2024-√2023=1/(√2024+√2023)。由于分母前者大于后者，所以前者小于后者。这里，将差值构造为“1/(√(n+1)+√n)”的形式，本质上是一种代数恒等变形构造，也可以视为利用了函数f(x)=√x的差分性质。更一般地，对于形如f(n+1)-f(n)的比较，可以构造函数，利用其单调性或凹凸性判断。

  意图：通过分场景的深度剖析，让学生掌握不同类型问题中构造的典型触发点和实施要领，丰富其构造策略工具箱。

第三课时：综合应用与反思评估——构造思想的迁移与升华

  （一）综合应用练习（小组合作探究）（约30分钟）

  提供2-3道综合性压轴题，涵盖几何综合、代数几何综合等类型，要求学生以小组为单位，分析讨论可能的构造方案，并派代表讲解。

  例题1（几何综合）：在正方形ABCD的边BC、CD上分别取点E、F，满足∠EAF=45°。求证：BE+DF=EF（或类似结论，如△CEF周长等于正方形边长的一半等）。

  探究引导：这是经典的“半角模型”。如何证明线段和等于另一线段？常用截长补短法，其本质是构造全等三角形实现线段的等量转移。启发学生：可以将△ADF绕点A顺时针旋转90°到△ABG的位置（需证明G在BE延长线上）。连接EG。证明△AEF≌△AEG，从而EF=EG=BE+BG=BE+DF。

  例题2（代数几何综合）：已知抛物线y=ax²+bx+c经过点(1,0)，且对于任意实数x，都有4x-4≤ax²+bx+c≤2x²-4x+4恒成立。求抛物线的解析式。

  探究引导：“恒成立”意味着函数图像的位置关系。将不等式视为：抛物线y=ax²+bx+c始终在直线y=4x-4的上方（或相等），且在抛物线y=2x²-4x+4的下方（或相等）。即抛物线被“夹”在一条直线和一条抛物线之间。特殊地，在某个x处，可能同时取到等号。由经过(1,0)，代入得a+b+c=0。考虑在x=1处，直线y=4*1-4=0，上抛物线y=2*1-4+4=2。所以下界值为0，上界值为2。而我们的抛物线过(1,0)，所以在x=1处恰好与直线相切（取等下界）。由此可构造出在x=1处，抛物线与直线有唯一交点，且导数（或判别式）满足条件。更精确地，构造不等式组：ax²+bx+c-(4x-4)≥0恒成立，且(2x²-4x+4)-(ax²+bx+c)≥0恒成立。这两个二次式（关于x）的判别式应小于等于0。由此可列出关于a,b,c的方程，结合过(1,0)点求解。

  （二）思维导图构建与反思（约10分钟）

  引导学生以小组或个人形式，绘制“数学构造思想”的思维导图。中心是“构造法”，一级分支可包括：构造目的（转化、集中、简化）、构造对象（图形、方程、函数、模型）、触发条件（关键词或条件特征，如等线段共端点想圆，线段和差想截长补短，平方和想勾股定理，乘积想相似或面积，不等关系或最值想函数模型等）、思维步骤（五步法）、典型错误（构造无效、循环论证、破坏条件等）。

  （三）教学评估与反馈（约5分钟）

  通过课堂练习的解答情况、小组讨论的贡献度、思维导图的完成质量进行形成性评价。布置一道具有挑战性的课后作业题，作为终结性评价的参考，要求写出详细的构造思路分析过程。

  课后作业题：在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，满足CD²=AD·BD。求证：CD⊥AB。

  分析引导：条件CD²=AD·BD是比例中项的形式，联想相似三角形或圆幂定理（射影定理）。需证∠CDA=90°。可考虑构造以CD为直径的圆，因为若CD是直径，则圆周角对应90°。由CD²=AD·BD，即AD:CD=CD:BD，若∠ACD=∠CBD，则△ACD∽△CBD，可得∠ADC=∠CDB，如果这两角和为180°，则各为90°。但需证明相似。或者，更直接地，条件CD²=AD·BD，且∠ADC与∠BDC对顶？不，它们是邻补角。由比例式和共用边CD，可尝试证明△ADC∽△CDB。已有AD/CD=CD/BD，如果夹角相等，即∠ADC=∠CDB，则相似。如何证∠ADC=∠CDB？它们都是钝角或锐角？若CD⊥AB，则相等且为90°。这似乎循环。需另辟蹊径。考虑在△ABC中，由∠ACB=90°，过C作CE⊥AB于E，则根据射影定理有CE²=AE·BE。题目给出CD²=AD·BD，比较CE和CD，若D与E重合，则得证。如何证明D就是垂足？可以假设CD不垂直AB，然后推导矛盾，或直接证明△ACD与△CDB相似的条件已满足夹角相等。实际上，在△ADC和△CDB中，AD/CD=CD/BD，且∠ADC与∠CDB不一定相等，但∠ADC与∠CDB互补吗？因为∠ACB=90°，A、C、B、D共圆吗？若∠ACB+∠ADB=180°，则共圆。但未知。另一种思路：将条件变形为AD