2025-2026学年上海市宝山区顾村中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市宝山区顾村中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共36分，每小题3分）1．设全集，，，，，集合，，，集合，，则．2．已知半径为2的扇形面积为2，则该扇形的弧长为．3．不等式的解集为．4．已知，化简：．5．函数的定义域为．6．在声学中，声强级（单位：由公式给出，其中为声强（单位：．若对应的声强为，对应的声强为，则．7．已知关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为．8．已知正数，满足，则的最小值为．9．若函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围是．10．已知角终边上一点，则．11．已知设，，则函数的值域为．12．设，若有三个不同的零点，则实数的取值范围是．二、单选题（本大题共12分，每小题3分）13．命题是第二象限角，命题是钝角，则是的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件14．设，现用二分法求方程在区间内的近似解，计算得，则近似解所在的区间为（）A． B． C． D．不能确定15．用反证法证明命题“，，如果可被5整除，那么，至少有1个能被5整除．则假设的内容是（）A．，都能被5整除 B．，有1个不能被5整除 C．不能被5整除 D．，都不能被5整除16．设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，．现有关于“取整函数”的两个命题：①集合，是单元素集：②对于任意成立，则以下说法正确的是（）A．①②都是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①②都是真命题三、解答题17．设集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．18．已知关于的一元二次方程的两个实根分别为，．（1）若、均为正根，求实数的取值范围；（2）若、满足：，求实数的值．19．某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③；（1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；（2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？20．已知函数是奇函数，且．（1）求和的值；（2）判断的单调性，并用定义证明；（3）解关于的不等式．21．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”．（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）求证：函数是“依赖函数”，并直接写出“依赖函数”的两个基本性质；（3）当，时，函数是“依赖函数”，求正实数的最大值及相应的的值．

参考答案一、填空题（本大题共36分，每小题3分）1．设全集，，，，，集合，，，集合，，则．解：由，，，，可得，，，，因此．故答案为：．2．已知半径为2的扇形面积为2，则该扇形的弧长为2．解：设该扇形的弧长为，，，则，解得．故答案为：2．3．不等式的解集为．解：不等式可化为，解得，故不等式的解集为．故答案为：．4．已知，化简：．解：，．故答案为：．5．函数的定义域为，，．解：由题意可得且，故函数的定义域为，，．故答案为：，，．6．在声学中，声强级（单位：由公式给出，其中为声强（单位：．若对应的声强为，对应的声强为，则．解：由题可得：，故，当时，，，当时，，，．故答案为：．7．已知关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为．解：时，不等式为，对一切实数都成立；时，应满足，解得，综上，实数的取值范围是．故答案为：．8．已知正数，满足，则的最小值为．解：因为，，，所以，当且仅当，即时取等号，取得最小值．故答案为：．9．若函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围是，．解：函数为减函数，若函数的图象不经过第一象限，则满足，即；故答案为：，10．已知角终边上一点，则．解：由角终边上一点，可得，，，．故答案为：．11．已知设，，则函数的值域为，．解：令，解得，则的图象如下：，根据图象得：函数的值域为，．故答案为：，．12．设，若有三个不同的零点，则实数的取值范围是，．解：由题设与有三个交点，而在，、上递增，在上递减，且在，上值域为，，在上值域为，，由的解析式可得其函数图象大致如下：由图知时，与有三个交点．故答案为：，．二、单选题（本大题共12分，每小题3分）13．命题是第二象限角，命题是钝角，则是的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件解：为第二象限角，但不是钝角，但钝角一定为第二象限角，所以是的必要非充分条件．故选：．14．设，现用二分法求方程在区间内的近似解，计算得，则近似解所在的区间为（）A． B． C． D．不能确定解：因为函数为增函数且在区间内连续，又，（2），所以方程的近似解在区间，．故选：．15．用反证法证明命题“，，如果可被5整除，那么，至少有1个能被5整除．则假设的内容是（）A．，都能被5整除 B．，有1个不能被5整除 C．不能被5整除 D．，都不能被5整除解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“，，如果可被5整除，那么，至少有1个能被5整除”的否定是“，都不能被5整除”．故选：．16．设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，．现有关于“取整函数”的两个命题：①集合，是单元素集：②对于任意成立，则以下说法正确的是（）A．①②都是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①②都是真命题解：对于①，因为表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，所以当时，，所以方程可化为，所以；因为表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，所以当时，，方程化为，所以；因为因为表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，所以当时，，方程化为，该方程无解，所以，①是假命题；对于②，因为表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，令，则，，所以当时，，，则，；当时，，，则，，因此对任意，，②是真命题．故选：．三、解答题17．设集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．解：（1）当时，集合，而，所以．（2）根据集合，解不等式可得，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集．结合，可得（等号不同时取得），解得，即满足条件的实数的取值范围是，．18．已知关于的一元二次方程的两个实根分别为，．（1）若、均为正根，求实数的取值范围；（2）若、满足：，求实数的值．解：（1）关于的一元二次方程的两个实根分别为，，若、均为正根，则有．求得，即实数的取值范围为，．（2）若、满足：，即．求得（舍去，不满足△或．故实数的值为．19．某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③；（1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；（2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？解：（1）因为模型①中函数为直线，所以①不满足题意；对于模型②中为指数型爆炸增长的函数，所以②不满足题意；对于模型③，对数型的函数增长速度是由快变慢，符合题意，故选项模型③；（2）由（1）可知，选项模型③，所求函数过点，，则，解得，，所以函数模型为，，令，可得，所以，所以，所以至少应完成销售利润234万元．20．已知函数是奇函数，且．（1）求和的值；（2）判断的单调性，并用定义证明；（3）解关于的不等式．解：（1）因为函数是奇函数，所以，解得，经检验，适合题意，又（1），所以；（2）由（1）可知，，在上单调递增．证明：任取，，且，则，因为，且在上单调递增，所以，即，又，故，即，因此在上单调递增．（3）解不等式，因为是奇函数，所以，又在上单调递增，故：，即，所以，进而有，解得，因此不等式的解集为．21．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”．（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）求证：函数是“依赖函数”，并直接写出“依赖函数”的两个基本性质；（3）当，时