2025-2026学年上海市黄浦区大同中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市黄浦区大同中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（每题3分，共36分）1．若幂函数的图像经过点，则实数．2．已知集合，，，0，1，2，，，则．3．函数的定义域是．4．已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的圆心角为．5．函数的零点为．6．已知，则．7．关于的方程的解集为．8．若，，则角的取值集合为．9．已知函数，，的最小值为，则．10．已知函数的定义域为，若是偶函数，是奇函数，则（1）．11．已知，，且满足等式，则的最小值为．12．已知，存在实数，使得对任意，，则的最小值是．二、选择题（每题4分，共16分）13．已知是第二象限角，且满足，则是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角14．已知函数的定义域为，那么“函数的图像关于原点对称”是“对任意，都存在，使得成立”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件15．定义在上且图像连续不断的函数，若存在实数使得任意实数都成立，我们称是上“相依函数”．下列关于“相依函数”的描述正确的是（）A．存在唯一的常值函数是“相依函数” B．是“相依函数” C．“2026相依函数”至少有一个零点 D．“相依函数”至少有一个零点16．已知函数的图象关于直线对称的图象仍然为某一函数的图象，则的最大值为（）A． B． C． D．三、解答题（8+8+10+10+12，共48分）17．已知集合，集合．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．18．在△中，角、、对应边为、、，其中．（1）若，且，求边长的值；（2）若，求△的面积．19．2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格固定价格浮动价格，其中固定价格为60元，浮动价格（浮动价格单位：元，销售量单位：万件），假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件：当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总利润（售价供货价格）销售量；（1）当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？（2）每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？20．（1）证明：；（2）设，证明：；（3）证明：是无理数．21．对于定义在上的函数，记集合（a）（a），，（a）（a），．（1）若，直接写出（1）和（1）；（2）若，求（a）的最小值；（3）已知函数有最小值，证明：“是偶函数”的充要条件为“对任意，都有（c）”．

参考答案一、填空题（每题3分，共36分）1．若幂函数的图像经过点，则实数4．解：若幂函数的图像经过点，则有，即，，．故答案为：4．2．已知集合，，，0，1，2，，，则，0，．解：，，，0，1，2，，，由交集定义得，0，，故答案为：，0，．3．函数的定义域是．解：由题意知，函数的定义域为．故答案为：．4．已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的圆心角为．解：由弧度的定义，可得该扇形的圆心角．故答案为：．5．函数的零点为或6．解：由分段函数的解析式，当时，令，解得或（舍去），当时，令，则，解得，所以函数零点为：或6．故答案为：或6．6．已知，则．解：由题意得，所以，故答案为：．7．关于的方程的解集为．解：当时，转化为，解得恒成立；当时，转化为，解得，不符合题意；当时，转化为，解得，不符合题意，因此方程的解集为．故答案为：．8．若，，则角的取值集合为，．解：结合在上的图象，可得函数与直线在此区间上有2个交点，一个在上，一个在上，可知方程的两个解分别为，，故角的取值集合为，．故答案为：，．9．已知函数，，的最小值为，则或3．解：根据题意，函数，，的最小值为，当时，在，上单调递增，当时，，解得，故，当时，，，解得或，无解，当时，在，上单调递减，当时，，解得，因此，则或．故答案为：或3．10．已知函数的定义域为，若是偶函数，是奇函数，则（1）1．解：根据题意，若是偶函数，则有，变形可得①，又由是奇函数，则有，变形可得②，②①，则有，则，故．故答案为：1．11．已知，，且满足等式，则的最小值为．解：因为，故，而，因为，所以且，可得且，解得，故，故，故的最小值为，故答案为：．12．已知，存在实数，使得对任意，，则的最小值是．解：在单位圆中分析，由题意可得的终边要落在图中阴影部分区域（其中，所以，因为对任意都成立，所以，即，，同时，所以的最小值为．故答案为：．二、选择题（每题4分，共16分）13．已知是第二象限角，且满足，则是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角解：是第二象限角，在第一和第三象限，满足，在第三象限，故选：．14．已知函数的定义域为，那么“函数的图像关于原点对称”是“对任意，都存在，使得成立”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件解：若函数的图像关于原点对称，则是奇函数，则，令，则，故充分性成立；取，满足对任意，都存在，使得成立，但的图像不关于原点对称，故必要性不成立．故选：．15．定义在上且图像连续不断的函数，若存在实数使得任意实数都成立，我们称是上“相依函数”．下列关于“相依函数”的描述正确的是（）A．存在唯一的常值函数是“相依函数” B．是“相依函数” C．“2026相依函数”至少有一个零点 D．“相依函数”至少有一个零点解：对于，设，，则，当，满足，则，是“相依函数”，不唯一，故错误；对于，当时，对任意都成立，化为，则有，无解，则不是“相依函数”，故错误；对于，若，令，则，当时，有实根0，当时，，根据零点存在性定理知，在区间上必有实根，所以“2025相依函数”至少有一个零点，故正确；对于，，当，（b），若（b），则（b）（b），不能判定方程在，内有根，根据实数的任意性，不能确定在上有无零点，故错误．故选：．16．已知函数的图象关于直线对称的图象仍然为某一函数的图象，则的最大值为（）A． B． C． D．解：根据题意，点是函数上任意一点，函数的图象关于直线对称后的曲线为，设直线是在点处的切线，因为与的图象关于直线对称，所以直线关于对称后的直线方程必为，且曲线的图象不超过切点位置，才是满足题意的函数图象，直线与的夹角为，可得直线的倾斜角为，所以的方程为，由，变形可得：，则，解得，所以的取值范围为．故选：．三、解答题（8+8+10+10+12，共48分）17．已知集合，集合．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．解：由，解得，即集合，（1）当时，集合，；（2）当时，，则满足题意，当时，，，，解得，综上所述，实数的取值范围为，．18．在△中，角、、对应边为、、，其中．（1）若，且，求边长的值；（2）若，求△的面积．解：（1）由，可得，结合，得，即，则，可得，由于，故，则，故，得；（2）由题意知，故，由于，故，结合，可知为锐角，则，故，，，故，得；所以．19．2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格固定价格浮动价格，其中固定价格为60元，浮动价格（浮动价格单位：元，销售量单位：万件），假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件：当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总利润（售价供货价格）销售量；（1）当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？（2）每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？解：（1）因为供货价格固定价格浮动价格，其中固定价格为60元，浮动价格，又当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件，所以当单价售价为85元时，销售量为10万件，浮动价格为元，供货价格为元，故总利润为：万元；（2）当时，销售量为10万件，供货价为60.5元，则，且，因而，当时，单件利润为，即单件利润最大为39.5元；当时，销售量为（万件），同时，，解得，且，此时单件利润为：，当且仅当，即时，等号成立，又，所以当每件吉祥物的售价为145元时，单件吉祥物的利润最大，最大为80元．20．（1）证明：；（2）设，证明：；（3）证明：是无理数．【解答】证明：（1），得证；（2）由题意，可得，因为，所以，则，得证；（3）假设是有理数，设，则为正有理数，由（1）知，由（2）知，因为，所以，若是有理数，设，互质且为正整数），代入方程，可得，所以且，所以为的约数，且为的约数，而，互质，故，，2，4，8，故，当时，，故不是方程的根；当时，，故不是方程的根；当时，，故不是方程的根；当时，，故不是方程的根；综上，无正有理根，所以是无理数．21．对于定义在上的函数，记集合（a）（a），，（a）（a），．（1）若，直接写出（1）和（1）；（2）若，求（a）的最小值；（3）已知函数有最小值，证明：“是偶函数”的充要条件为“对任意，都有（c）”．解：（1）因为集合（a）（a），，（a）（a），，所以，当时，（a），，（a），，则（1），，因为，所以，即（1），；又当时，，，故（1），，；（2）作出函数的图象：由图知，当时，（a），，若，则（a）的最小值为0，