2026年八年级数学华师版预习讲义 第11讲 逆命题与逆定理

11教材习题学解题、快速掌握解题方法练考点强知识：核心考点精准练思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握知识点1互逆命题与互逆定理“如果……那么……”知识点2线段垂直平分线性质定理及其逆定理知识点3角平分线性质定理及其逆定理1/PAGEPAGE10/1（12.43如图，在?ABC中，?A30?，?C90?，BD是?ABCACDDAB的垂直平【答案】因为在?ABC中，?C=90?，?A=30?，根据三角形内角和为180?，可得?ABC=180???A??C180??30??90?=60?BD是?ABC的平分线，所以∠ABD=1∠ABC=160∘=30∘ 则?A=?ABD=30?AD=BD（等角对等边）【解析】先利用三角形内角和求出?ABC的度数，再根据角平分线定义得到?ABD的度数，通过等角对等边AD=BD，最后依据线段垂直平分线逆定理得证。2（12.44=?【答案】因为?CABCBACACB（等角对等边）3（12.48?C90?EEDA并求出∠A和∠B的度数。DEABAEBE（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等则?BEAB。ED=EC，ED?AB，EC?ACAE是?CAB的平分线，所以?EAB=?EAC。即?AB=90?，把∠A=2∠B2?BB=90?，3?B=90?，解得?B=30?，则∠A=230∘=60∘AEAEBE推出?BEABEDEC结合角平分线AE平分?CAB，得出∠A=2∠B关系，最后根据直角三角形两锐角和为90?求出角度。 2．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）命题“线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离 ． 6（23- 故选C．7．（23-24八年级下·全国·课后作业）写出下列命题“pq”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真 9．（22-23八年级上·福建泉州·期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（ “相等的角是直角”的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角”10．（22-23八年级上·全国·课后作业）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 D，连接BE．若AC13，AE7，则BE的长 【答案】【答案】 直线l垂直平分边BC，分别交AC，BC于点E，DEBECAC13,AE7BE12．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在VABCDEACAE5，△ABD的12，则VABC的周长为（） ADCDAECE1AC【详解】解：DEACADCD，AECE1ACABD的周长为C△ABDABBDAD12AEABC的周长为CABCABBCAB(BDCD)2ABBDAD2C△ABD122522，13．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，在Rt△ABC中，BAC90，AB5，AC12，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则ABP周长的最小值是 ，PAPCAC的长，所以ABP周长的最小值ABAC．∴PBPC∴PAPBPAPC∴ABP周长的最小值ABAC51217．如图，在ADBCDBDDEAEABECDCAF16，求ABCADBCBDDEADBEABAEEFACEAEC，ABEC；AC2AFBDDEBC2DEEC，再根据三角形周长计算公式和线段之间的关系可得ABC的周长ABBCAC2DCAF32．【详解】（1）ADBCDBDDEADBE∴ABAEEFACACFBC∴EAEC∴ABEC（2）EFACACFBC∴AC2AF∵∵BDDEBC2DEEC．由（1）ABEC，∴ABC的周长ABBCACEC2DEEC2AF2DCAF3215．（24-25八年级上·上海·阶段练习）VABCBD平分ABCBCBCEBD于点F，连接CF、若A60，ACF48，则ABC的度数 【答案】48【答案】48/48【分析】由角平分线的定义可得ABDBCDBFCFFBCFCB，进而得到ABDFBCFCB，由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．本题主要【详解】解：BD平分ABCABDDBCEFBCBFCFFBCFCBABDFBCFCBAACFABDCBDBCF180，A60，ACFABDCBDBCF24ABC2ABD48，48．16．（24-25八年级上·上海·阶段练习）到三角形三个顶点距离都相等的点是（17．（24-25八年级上·河北邢台·期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”ABCD是一ADCD，ABCBACBDAOCO③△ABD≌△CBD．其中正确的结论有 A．0 B．1 C．2 D．3【详解】在△ABD和△CBDADABBCABD≌DBADB在△AOD与△CODADADBCDBAOD≌AODCOD90，AOOCACOD18．（24-25八年级上·福建厦门·期中）ABCDABADANBCBC于NM是CD中点．AM是线段CD若MAN70，求BADACAD，即ACD是等腰三角形，由“三线合一”AMCD根据垂直平分线的性质得到BANCANDAMCAM，则CANCAMMAN70，所以有BANDAMCANCAM70，由此即可求解．【详解】（1）ANBC∴ANBANC90,BNCN,ABACACAD，即ACD∵点M是CD∴AMCDAM是线段CD（2）ANBCAM是线段CDABAC∴BANCAN,DAMCAM∵CANCAMMAN70∴BANDAMCANCAM70∴BAD14019．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在VABCAB的垂直平分线l1ABMBCDAC的垂直平分线l2ACNBCEl1与l2OVADEBC【答案】【答案】(1BC【详解】（1）l1ABDBDA，EAEC，BCBDDEECDADEEA10（2）点OBC的垂直平分线上，理由：连接AO，BOCO，AOBO，COAOOBOC∠ABCACBAEAFEB、FCDADADBCABAC，再证明Rt△ABE≌Rt△ACFHLAEAF证明Rt△ADE≌Rt△ADFHLDEDFDBDC，再根据线段垂直平分线的判定【详解】（1）证明：∵∠ABCACB∴ABAC∵AEEB，AFCFEF90，又∵BECF，∴AEAF（2）AEAF，ADAD∴DEDF∵BECFDEBEDFCFDBDC，又∵ABAC，21．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在VABCABC60作ABCBEBCMNBE与MNP．（尺规作图，不写作法，保求∠PCB的度数（写出推理过程PBC1ABC30BPCP，则PCBPBC30∴PBC1ABC∴BPCP∴PCBPBC3022．（24-25八年级上·广东广州·期末）AM平分BACBClACBCAME，FG)BE，若AGECAGBEBClACBCAME，F，G根据垂直平分线的性质和AGECAGBE，再证明ABD≌AEDBDED，进而可AGBE．【详解】（1）BClACBCAME，F，GE，F，G即为所（（2）证明：EFBCEBEC，GFM90EBCCAGECEBCAGEGMFBMDBDMGFMAGBEBDAEDA90AM平分BAC\ÐBAD=ÐEADADADABD≌AEDASABDED23．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图所示，在VABCAC10cmBC7cmABDEACABD、EBD，求△BCD(2)△BCD的周长是（2）解：DEABADBDBDCDADCDAC，又AC10cm,BC7cm，BDCDBCACBC10717cm答：△BCD的周长是17cm24．（24-25八年级上·河南新乡·期末）ABACADAEDACEABBDECAAFBCBC的垂直平分线．AAFBCBC的垂直平分线，根据垂直平分线【详解】（1）DACEABDACBACEABBAC，即DABEAC．在ADB和△AECDABEACABAD∴DAB≌EACSAS∴BDCE25．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在VABCC90B36ABDEBCDABE（不写作法，保留作图痕迹在（1）AD，求CAD由三角形内角和定理求出BAC54ADDCBADB36，然后求出CAD∵∵C90，B36∴BAC∴ADBD∴BADB∴CADCABDAB1826．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在VABCAB7AC6AD平分BACDEEDE2，则VABC的面积为（ DDFABFDFDE2SABCSABDSACDDDFABFAD平分BACDEACDFABDFDE2SABCSABDSACD1317216227．（22-23八年级下·广东清远·期中）如图，在VABC中，CD是AB边上的高，BE平分ABC，交CD于点E，已知，BC8，DE2，则BCE的面积等于 EEFBC于FEFDE2，再根据三角形的面积公式计算即可得．EEFBCF∵在VABCCDAB∴CDBABE平分ABCEFBCDE2∴EFDE2∵BC8∴BCE1BCEF182828．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，在VABCB，C的平分线交于点O，ODBCDAB18cm，BC20cm，AC22cmSABC150cm2，那么OD的长为（ 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，作OEACE，作OFAB连接OA，证明ODOEOF △ △ △150cm2即可求出OD【详解】解：作OEACE，作OFABF，连接OAOC平分ACBOB平分ABCOD∴ODOEOF △ △ △150cm21OD201OF181OE22150cm2∴OD5cm29．（23-24八年级上·山西长治·期末）如图，在RtABCC90BD平分CBAACDDEAB于点E，若CD3，AB12，则ABD的面积为 DE的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：BD平分CBAC90DEABDECD3ABD的面积1ABDE112318EBCMN于点CADMNDADBCABBCBPADAP，根据线段的和差关系即可得结论．【详解】解：∵点AB分别是NOP、MOPABOPBCMNADMN∴BCBP，ADAP∴ADBCBPAPAB31（24-DGACF，GBFCG．求证：平分BAC证明RtDFB≌RtDGCHLDFDG∴DBDCDFAB，DGACDFB和DGC在Rt△DFB和Rt△DGCBFDBRtDFB≌RtDGCHLDFDGDFDGDFAB，DGACAD平分BAC32．（24-25八年级上·福建莆田·期中）ABCDÐB90°AB∥CDMBC的AM平分BAD．求证：DM平分ADCADABCDMMNADNMBMNMBMCMCMN，MCCD，即可得证；证明RtABM≌RtANMHLABAN，同理得到CDDNADANDN【详解】（1）M作MNADN∵ÐB=∴MBABAM平分BAD∴MBMNMBC∴MBMC∴MCMN∴C180B∴MCCD∵MCMN，MNADDM平分ADC（2）由（1）得BMNA90∵MBMN，AMAM∴RtABM≌RtANMHL∴ABANCDDN∵ADANDN∴ADABCD33（24-25八年级上·广东肇庆·期中如图，PMOAMPNOBNPMPNBOC30则AOB（ P在AOB的角平分线上，推出AOB2BOC，求出即可．PMOAMPNOBNPMPN∵BOCAOB2BOC23060．C．34．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，锐角VABCBDCEO，且OBOCBECD(2)O在BAC题的关键是找到△BEC≌△CDB．根据等边对等角先求出OBCOCB，再证明△BEC≌△CDB先由（1）BDCE，再得到ODOE【详解】（1）解：BD、CE是VABCBECCDBOBOCOBCOCB，又BCBEC≌CDBBECD（2）解：点O在BAC的角平分线上．BEC≌CDBBDCE，又OBOCECOCBDOBOD又ODAC，OEAB点O在BAC35．（23-24八年级上·吉林白山·期末）VABCACB=90D，EBC，ACDE=DB，DEC=BAD平分BACAEABAC(2AEAB=ACDDFABF

AFDAASACAF，由（1）知，

DFB，得到CEFB【详解】（1）DDFAB∴DFB90∵ACB=90∴DFB在△DCE和△DFBDCEDEC DE∴

∴DCDF∵DFAB，DCACD在BACAD平分BAC（2）AEAB2AC，理由如下：由（1）AD平分BAC，DACDAF．在ACD和△AFD中，ACDAFDDAC DC∴

∴ACAF由（1）知，∴CEFB

DFB∴AEABAEFBAFAECEAFACAF2AC36．（24-25九年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图，三条直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要 3个交点，内角平分线有一个交点，即可得到答案．3个交点，内角平分线有一个交点，37．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休 【答案】【答案】VABC∴凉亭的位置应选在∴凉亭的位置应选在VABC三条角平分线的交点处．故答案为：VABC三条角平分线的交点处．38．（24-25八年级上·广东中山·期中）ABACBC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（）VABC三条角平分线的交点位 B．VABC三条高的交点位C．VABC三边的中垂线的交点位 D．VABC三条中线的交点位∴加油站应该在VABC三条角平分线的交点处．39．（24-25八年级上·全国·单元测试）A，B，C，现在要在公路边建一所加40．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，铁路OA和铁路OBOABA处M点的位置．【详解】解：如图所示，作AOBABMM1．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）下列命题的逆命题不成立的是（D．三个角都是60D．逆命题为：等边三角形的三个角都是60，成立，不符合题意．2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，AD是VABC中BAC的角平分线，DEABE，若VABC7DE2AB4AC长是（） D作DFACFDFDE2SABCSABDSADC，再DDFACFAD是VABC中BACDEABEDFACFDFDE2VABC7AB4 ，即71ABDE1ACDF71421AC2AC3，3．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在Rt△ABCC90AFAFBCGAB8CG3，则ABG的面积是（ 【分析】本题考查基本作图——G作GHABHAF为BAC的平分线，由角平分线的性质可得GHCG3G作GHABAF为BACC90，CGABGHCG3ABG1AB·GH183124．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在Rt△ABCA90BD平分ABCAD6，则DBC的距离是（） DEAD即可求解．DDEBCEA90DAABBD平分ABCDEBCAD6DEAD6，5．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，在Rt△ABCC90DEAB的垂直平分线，垂EDC1AD2BC的长为（） BDAD2BCBDCD得出答案DEAB∴BDAD2∴BCBDCDADCD213 B．2 C．3 D．4综上，正确的说法是①④，有2个．7．（24-25八年级上·广东深圳·期中）下列命题中，真命题的个数为（ 3个，8．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在VABCC90AD平分CABBC10BDCD32AB15，则△ABD的面积为（ DDEABE，首先求出CD1036DECD6DDEAB∵BCBDCD10，BD:CD3:∴∴CD103∴DECD∴△ABD1ABDE1156459．（24-25八年级上·广西南宁·期中）ABCABDEACDAB于EAC6BC5，则△BCD的周长是（） ADBD，再结合周长公式求解即可．ABDEAC∴ADBDCBCDBCBDCDBCADCDBCAC5611．BOC110，则A的度数为（ BO、CO分别为ABC和ACB的角平分线，利用三角形内角和即可求得A．O到ABC∴A180ABC1802OBC1802180BOC180218011．（24-25八年级上·广东广州·期中）Rt△ABCC90AD平分BACBCDAB10，SABD15，则CD的长 根据角平分线的性质定理得出DECD，然后根据 1ABDE15求出DE，即可得出答案DDEABABAD平分BACCAED∴DECD∵AB10 1ABDE15DE3CD3．12．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在VABCAB2，BC3BD是ABC果VABC的面积为3，那么△DBC的面积 △ABD 1BC 3△9 1ABBD是ABCDEAB，DFBC∴DEDF △ABDDEDF913．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在VABC中，ABAC，ABABD于点E，连接BE，如果ABE2CBE，那么A的度数 【答案】【答案】EAEB，则ABEA，再由等边对等角得到ABCC，根据已知条件可得【详解】解：DEABEAEB∴ABEA∵ABAC∴ABCC∵ABE2CBE∴∠ABC3∠ABE3∠A∵ABCCA180∴A4514．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）△ABC的两边AB、AC的垂直平分线分别交直线BC于D、E，且BACDAE150，则BAC的度数 【答案】30或分三种情况：当BACADBD,AECE，再根据等腰三角形的性质得ABDBADBACCADCAEACE，然后表示CAEACE150BACCAD，最后根据三角形的内角和定理得出答案；当BAC是直角，不符合题意；当BAC是钝角时，先表示出ABDBADBACCAD，再表示出ACECAD150BAC，然后根据三角形内角和定理得∵VABCABACBC∴ADBD,AECE∴ABDBADBACCAD,CAEACE∵DAE150BAC∴CAEACE150BACCAD∵∵ABCACBBAC解得BAC30.∴ADBD,AECE∴ABDBADBACCAD,CAEACE∵DAE150BAC∴CAEACECAD(150BAC)CAD150BAC∵ABCACBBAC解得BAC=110.所以BAC的度数是30或11015．（24-25八年级上·江苏宿迁·16．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在VABCDBCDEBC交BACAEEEFABFEGACAC延长线于GBFCGABACAF若AB10cm，AC6cm，则BF cm2AFABACBE、E