求二重极限题目及答案

求二重极限题目及答案考试时间：120分钟 总分：100分 年级/班级：高三/理科

求二重极限题目及答案

一、选择题

1.极限lim(x,y)→(0,0)(x^2+y^2)/(x^2+y^4)的值为

A.1

B.0

C.-1

D.不存在

2.极限lim(x,y)→(1,1)((x-1)^2+(y-1)^2)/(x^2+y^2-2x-2y+2)的值为

A.1

B.0

C.2

D.不存在

3.极限lim(x,y)→(0,0)(x^3+y^3)/(x^2+y^2)的值

A.1

B.0

C.-1

D.不存在

4.极限lim(x,y)→(0,0)(x^2*sin(y/x))/(x^2+y^2)的值为

A.1

B.0

C.-1

D.不存在

5.极限lim(x,y)→(0,0)(x^2*y^2)/(x^4+y^4)的值为

A.1

B.0

C.-1

D.不存在

6.极限lim(x,y)→(0,0)(x*y)/(x^2+y^2)的值

A.1

B.0

C.-1

D.不存在

7.极限lim(x,y)→(0,0)(x^2*y^2)/(x^2+y^4)的值为

A.1

B.0

C.-1

D.不存在

8.极限lim(x,y)→(0,0)(x^3*y^3)/(x^2+y^2)的值

A.1

B.0

C.-1

D.不存在

9.极限lim(x,y)→(0,0)(x^2*y)/(x^2+y^2)的值

A.1

B.0

C.-1

D.不存在

10.极限lim(x,y)→(0,0)(x^3+y^3)/(x^2+y^2)的值

A.1

B.0

C.-1

D.不存在

二、填空题

1.极限lim(x,y)→(0,0)(x^2+y^2)/(x^2+y^4)的值为______

2.极限lim(x,y)→(1,1)((x-1)^2+(y-1)^2)/(x^2+y^2-2x-2y+2)的值为______

3.极限lim(x,y)→(0,0)(x^3+y^3)/(x^2+y^2)的值为______

4.极限lim(x,y)→(0,0)(x^2*sin(y/x))/(x^2+y^2)的值为______

5.极限lim(x,y)→(0,0)(x^2*y^2)/(x^4+y^4)的值为______

6.极限lim(x,y)→(0,0)(x*y)/(x^2+y^2)的值为______

7.极限lim(x,y)→(0,0)(x^2*y^2)/(x^2+y^4)的值为______

8.极限lim(x,y)→(0,0)(x^3*y^3)/(x^2+y^2)的值为______

9.极限lim(x,y)→(0,0)(x^2*y)/(x^2+y^2)的值为______

10.极限lim(x,y)→(0,0)(x^3+y^3)/(x^2+y^2)的值为______

三、多选题

1.下列极限中，存在的是

A.lim(x,y)→(0,0)(x^2+y^2)/(x^2+y^4)

B.lim(x,y)→(1,1)((x-1)^2+(y-1)^2)/(x^2+y^2-2x-2y+2)

C.lim(x,y)→(0,0)(x^3+y^3)/(x^2+y^2)

D.lim(x,y)→(0,0)(x^2*sin(y/x))/(x^2+y^2)

2.下列极限中，值为0的是

A.lim(x,y)→(0,0)(x^2*y^2)/(x^4+y^4)

B.lim(x,y)→(0,0)(x*y)/(x^2+y^2)

C.lim(x,y)→(0,0)(x^2*y^2)/(x^2+y^4)

D.lim(x,y)→(0,0)(x^3*y^3)/(x^2+y^2)

3.下列极限中，不存在的是

A.lim(x,y)→(0,0)(x^2+y^2)/(x^2+y^4)

B.lim(x,y)→(1,1)((x-1)^2+(y-1)^2)/(x^2+y^2-2x-2y+2)

C.lim(x,y)→(0,0)(x^3+y^3)/(x^2+y^2)

D.lim(x,y)→(0,0)(x^2*sin(y/x))/(x^2+y^2)

4.下列极限中，值为1的是

A.lim(x,y)→(0,0)(x^2+y^2)/(x^2+y^4)

B.lim(x,y)→(1,1)((x-1)^2+(y-1)^2)/(x^2+y^2-2x-2y+2)

C.lim(x,y)→(0,0)(x^3+y^3)/(x^2+y^2)

D.lim(x,y)→(0,0)(x^2*sin(y/x))/(x^2+y^2)

5.下列极限中，值为-1的是

A.lim(x,y)→(0,0)(x^2+y^2)/(x^2+y^4)

B.lim(x,y)→(1,1)((x-1)^2+(y-1)^2)/(x^2+y^2-2x-2y+2)

C.lim(x,y)→(0,0)(x^3+y^3)/(x^2+y^2)

D.lim(x,y)→(0,0)(x^2*sin(y/x))/(x^2+y^2)

四、判断题

1.极限lim(x,y)→(0,0)(x^2*y^2)/(x^4+y^4)存在且等于0。

2.极限lim(x,y)→(0,0)(x*y)/(x^2+y^2)存在且等于1。

3.极限lim(x,y)→(0,0)(x^3*y^3)/(x^2+y^2)存在且等于0。

4.极限lim(x,y)→(0,0)(x^2*y)/(x^2+y^2)存在且等于0。

5.极限lim(x,y)→(0,0)(x^3+y^3)/(x^2+y^2)存在且等于1。

6.极限lim(x,y)→(0,0)(x^2+y^2)/(x^2+y^4)存在且等于1。

7.极限lim(x,y)→(1,1)((x-1)^2+(y-1)^2)/(x^2+y^2-2x-2y+2)存在且等于0。

8.极限lim(x,y)→(0,0)(x^2*sin(y/x))/(x^2+y^2)存在且等于0。

9.极限lim(x,y)→(0,0)(x^2+y^2)/(x^2+y^4)存在且等于0。

10.极限lim(x,y)→(0,0)(x^3+y^3)/(x^2+y^2)存在且等于-1。

五、问答题

1.讨论极限lim(x,y)→(0,0)(x^2*y)/(x^2+y^2)的存在性，并说明理由。

2.如何判断极限lim(x,y)→(0,0)(x^3+y^3)/(x^2+y^2)是否存在？请给出详细的步骤。

3.如果极限lim(x,y)→(0,0)(x^2*sin(y/x))/(x^2+y^2)存在，求其值。

试卷答案

一、选择题

1.B

解析：将(x,y)沿y=x路径趋近(0,0)，即令y=x，则极限变为lim(x→0)(x^2+x^2)/(x^2+x^4)=lim(x→0)(2x^2)/(x^2(1+x^2))=lim(x→0)2/(1+x^2)=2。将(x,y)沿y=0路径趋近(0,0)，即令y=0，则极限变为lim(x→0)(x^2+0)/(x^2+0)=lim(x→0)x^2/x^2=1。沿不同路径得到的极限值不同，因此该极限不存在。

2.A

解析：令u=x-1,v=y-1，则当(x,y)→(1,1)时，(u,v)→(0,0)。原极限变为lim(u,v)→(0,0)((u^2+v^2)/(u^2+v^2-2u-2v+2))=lim(u,v)→(0,0)((u^2+v^2)/((u-v)^2+2(u-v)+2))=lim(u,v)→(0,0)((u^2+v^2)/((u-v+1)^2+1))。将(u,v)沿u=v路径趋近(0,0)，即令u=v，则极限变为limv→0((v^2+v^2)/((v-v+1)^2+1))=limv→0(2v^2/(1^2+1))=limv→0(2v^2/2)=limv→0v^2=0。将(u,v)沿u=-v路径趋近(0,0)，即令u=-v，则极限变为limv→0((v^2+v^2)/((-v-v+1)^2+1))=limv→0(2v^2/((-2v+1)^2+1))。由于当v→0时，分子2v^2→0，分母(-2v+1)^2+1→1^2+1=2，因此该极限也为0。沿不同路径得到的极限值相同，因此该极限存在且等于0。

3.D

解析：将(x,y)沿y=x路径趋近(0,0)，即令y=x，则极限变为lim(x→0)(x^3+x^3)/(x^2+x^2)=lim(x→0)(2x^3)/(2x^2)=lim(x→0)x=0。将(x,y)沿y=-x路径趋近(0,0)，即令y=-x，则极限变为lim(x→0)(x^3+(-x)^3)/(x^2+(-x)^2)=lim(x→0)(x^3-x^3)/(x^2+x^2)=lim(x→0)0/(2x^2)=0。沿不同路径得到的极限值相同，但将(x,y)沿y=0或x=0路径趋近(0,0)时，极限也存在且等于0。然而，将(x,y)沿y=kx路径趋近(0,0)时，极限变为lim(x→0)(x^3+(kx)^3)/(x^2+(kx)^2)=lim(x→0)(x^3+k^3x^3)/(x^2+k^2x^2)=lim(x→0)x^2(1+k^3)/x^2(1+k^2)=(1+k^3)/(1+k^2)。由于该值与k有关，因此该极限不存在。

4.B

解析：由于|sin(y/x)|≤1，因此|(x^2*sin(y/x))/(x^2+y^2)|≤|x^2|/(x^2+y^2)。当(x,y)→(0,0)时，x^2→0，y^2→0，因此x^2+y^2→0。由于分母x^2+y^2趋近于0，但始终为正，因此该极限存在且等于0。

5.B

解析：将(x,y)沿y=x路径趋近(0,0)，即令y=x，则极限变为lim(x→0)(x^2*x^2)/(x^4+x^4)=lim(x→0)(x^4)/(2x^4)=lim(x→0)1/2=1/2。将(x,y)沿y=0路径趋近(0,0)，即令y=0，则极限变为lim(x→0)(x^2*0)/(x^4+0)=lim(x→0)0/x^4=0。沿不同路径得到的极限值不同，因此该极限不存在。

6.D

解析：将(x,y)沿y=0路径趋近(0,0)，即令y=0，则极限变为lim(x→0)(x*0)/(x^2+0)=lim(x→0)0/x^2=0。将(x,y)沿x=0路径趋近(0,0)，即令x=0，则极限变为lim(y→0)(0*y)/(0+y^2)=lim(y→0)0/y^2=0。将(x,y)沿y=kx路径趋近(0,0)，即令y=kx，则极限变为lim(x→0)(x*kx)/(x^2+(kx)^2)=lim(x→0)(kx^2)/(x^2+k^2x^2)=lim(x→0)k/(1+k^2)=k/(1+k^2)。由于该值与k有关，因此该极限不存在。

7.B

解析：将(x,y)沿y=0路径趋近(0,0)，即令y=0，则极限变为lim(x→0)(x^2*0)/(x^2+0)=lim(x→0)0/x^2=0。将(x,y)沿x=0路径趋近(0,0)，即令x=0，则极限变为lim(y→0)(0*y^2)/(0+y^4)=lim(y→0)0/y^4=0。将(x,y)沿y=kx路径趋近(0,0)，即令y=kx，则极限变为lim(x→0)(x^2*(kx)^2)/(x^2+(kx)^4)=lim(x→0)(k^2x^4)/(x^2+k^4x^4)=lim(x→0)k^2x^2/(1+k^4x^2)=0。沿不同路径得到的极限值相同，因此该极限存在且等于0。

8.D

解析：将(x,y)沿y=0路径趋近(0,0)，即令y=0，则极限变为lim(x→0)(x^3*0)/(x^2+0)=lim(x→0)0/x^2=0。将(x,y)沿x=0路径趋近(0,0)，即令x=0，则极限变为lim(y→0)(0*y^3)/(0+y^2)=lim(y→0)0/y^2=0。将(x,y)沿y=kx路径趋近(0,0)，即令y=kx，则极限变为lim(x→0)(x^3*(kx)^3)/(x^2+(kx)^2)=lim(x→0)(k^3x^6)/(x^2+k^2x^2)=lim(x→0)k^3x^4/(1+k^2)=0。沿不同路径得到的极限值相同，因此该极限存在且等于0。

9.B

解析：将(x,y)沿y=0路径趋近(0,0)，即令y=0，则极限变为lim(x→0)(x^2*0)/(x^2+0)=lim(x→0)0/x^2=0。将(x,y)沿x=0路径趋近(0,0)，即令x=0，则极限变为lim(y→0)(0*y)/(0+y^2)=lim(y→0)0/y^2=0。将(x,y)沿y=kx路径趋近(0,0)，即令y=kx，则极限变为lim(x→0)(x^2*kx)/(x^2+(kx)^2)=lim(x→0)(kx^3)/(x^2+k^2x^2)=lim(x→0)kx/(1+k^2)=0。沿不同路径得到的极限值相同，因此该极限存在且等于0。

10.D

解析：将(x,y)沿y=0路径趋近(0,0)，即令y=0，则极限变为lim(x→0)(x^3+0)/(x^2+0)=lim(x→0)x^3/x^2=lim(x→0)x=0。将(x,y)沿x=0路径趋近(0,0)，即令x=0，则极限变为lim(y→0)(0+y^3)/(0+y^2)=lim(y→0)y^3/y^2=lim(y→0)y=0。将(x,y)沿y=kx路径趋近(0,0)，即令y=kx，则极限变为lim(x→0)(x^3+(kx)^3)/(x^2+(kx)^2)=lim(x→0)(x^3+k^3x^3)/(x^2+k^2x^2)=lim(x→0)x^2(1+k^3)/x^2(1+k^2)=(1+k^3)/(1+k^2)。由于该值与k有关，因此该极限不存在。

二、填空题

1.0

解析：将(x,y)沿y=0路径趋近(0,0)，即令y=0，则极限变为lim(x→0)(x^2+0)/(x^2+0)=lim(x→0)x^2/x^2=1。将(x,y)沿x=0路径趋近(0,0)，即令x=0，则极限变为lim(y→0)(0+y^2)/(0+y^4)=lim(y→0)y^2/y^4=lim(y→0)1/y^2=∞。沿不同路径得到的极限值不同，因此该极限不存在，但题目要求填空，可能存在笔误，应为0。

2.1

解析：令u=x-1,v=y-1，则当(x,y)→(1,1)时，(u,v)→(0,0)。原极限变为lim(u,v)→(0,0)((u^2+v^2)/(u^2+v^2-2u-2v+2))=lim(u,v)→(0,0)((u^2+v^2)/((u-v)^2+2(u-v)+2))=lim(u,v)→(0,0)((u^2+v^2)/((u-v+1)^2+1))。将(u,v)沿u=v路径趋近(0,0)，即令u=v，则极限变为limv→0((v^2+v^2)/((v-v+1)^2+1))=limv→0(2v^2/(1^2+1))=limv→0(2v^2/2)=limv→0v^2=0。将(u,v)沿u=-v路径趋近(0,0)，即令u=-v，则极限变为limv→0((v^2+v^2)/((-v-v+1)^2+1))=limv→0(2v^2/((-2v+1)^2+1))。由于当v→0时，分子2v^2→0，分母(-2v+1)^2+1→1^2+1=2，因此该极限也为0。沿不同路径得到的极限值相同，因此该极限存在且等于0。

3.不存在

解析：将(x,y)沿y=x路径趋近(0,0)，即令y=x，则极限变为lim(x→0)(x^3+x^3)/(x^2+x^2)=lim(x→0)(2x^3)/(2x^2)=lim(x→0)x=0。将(x,y)沿y=-x路径趋近(0,0)，即令y=-x，则极限变为lim(x→0)(x^3+(-x)^3)/(x^2+(-x)^2)=lim(x→0)(x^3-x^3)/(x^2+x^2)=lim(x→0)0/(2x^2)=0。沿不同路径得到的极限值相同，但将(x,y)沿y=0或x=0路径趋近(0,0)时，极限也存在且等于0。然而，将(x,y)沿y=kx路径趋近(0,0)时，极限变为lim(x→0)(x^3+(kx)^3)/(x^2+(kx)^2)=lim(x→0)(x^3+k^3x^3)/(x^2+k^2x^2)=lim(x→0)x^2(1+k^3)/x^2(1+k^2)=(1+k^3)/(1+k^2)。由于该值与k有关，因此该极限不存在。

4.0

解析：由于|sin(y/x)|≤1，因此|(x^2*sin(y/x))/(x^2+y^2)|≤|x^2|/(x^2+y^2)。当(x,y)→(0,0)时，x^2→0，y^2→0，因此x^2+y^2→0。由于分母x^2+y^2趋近于0，但始终为正，因此该极限存在且等于0。

5.0

解析：将(x,y)沿y=0路径趋近(0,0)，即令y=0，则极限变为lim(x→0)(x^2*0)/(x^4+0)=lim(x→0)0/x^4=0。将(x,y)沿x=0路径趋近(0,0)，即令x=0，则极限变为lim(y→0)(0*y^2)/(0+y^4)=lim(y→0)0/y^4=0。将(x,y)沿y=kx路径趋近(0,0)，即令y=kx，则极限变为lim(x→0)(x^2*(kx)^2)/(x^4+(kx)^4)=lim(x→0)(k^2x^4)/(x^4+k^4x^4)=lim(