初中数学等式与不等式性质讲义与练习

初中数学等式与不等式性质讲义与练习同学们，在数学的世界里，我们经常需要对数量之间的关系进行比较和运算。等式和不等式就是描述这些关系的基本工具。掌握它们的性质，如同掌握了数学运算中的“基本法则”，能帮助我们更自如地解决各种数学问题。今天，我们就来系统学习等式与不等式的基本性质，并通过练习加以巩固。一、等式的基本性质我们先来回顾一下什么是等式。用等号“=”连接起来表示相等关系的式子，叫做等式。例如：`a+b=c`，`3x=6`等等。等式有哪些基本性质呢？性质1：等式的对称性文字描述：如果`a=b`，那么`b=a`。也就是说，等式的左右两边可以互换位置，等式仍然成立。例如：如果`5=2+3`，那么`2+3=5`。性质2：等式的传递性文字描述：如果`a=b`，且`b=c`，那么`a=c`。这条性质表明，相等关系是可以传递的。例如：如果`x=y`，`y=7`，那么`x=7`。性质3：等式的加减性质文字描述：如果`a=b`，那么对于任意的数或整式`c`，都有`a+c=b+c`，`a-c=b-c`。简单说，等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。这是我们解方程时“移项”的依据。例如：如果`x-3=5`，那么在等式两边都加上3，得到`x-3+3=5+3`，即`x=8`。性质4：等式的乘除性质文字描述：1.如果`a=b`，那么对于任意的数`c`，都有`a*c=b*c`。2.如果`a=b`，且`c≠0`，那么`a/c=b/c`。也就是说，等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。特别要注意，除以的这个数不能是0，因为0不能做除数。例如：如果`2x=10`，两边同时除以2，得到`x=5`。等式性质应用示例：1.已知`3x+5=14`，利用等式性质求`x`的值。解：两边同时减去5（性质3）：`3x+5-5=14-5`，即`3x=9`。两边同时除以3（性质4）：`3x/3=9/3`，即`x=3`。2.判断：若`ax=bx`，则`a=b`。这个说法对吗？分析：不对。因为如果`x=0`，那么无论`a`和`b`取何值，`ax=bx`都成立，但`a`不一定等于`b`。所以应用等式性质4时，除法要强调除数不为0。二、不等式的基本性质说完了等式，我们再来研究不等式。用不等号（如“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”）连接起来表示数量大小关系的式子，叫做不等式。例如：`x+2>5`，`3a-1≤4`。不等式的性质与等式有相似之处，但也有重要的区别，尤其是在乘除运算时。性质1：不等式的对称性文字描述：如果`a>b`，那么`b<a`；如果`a<b`，那么`b>a`。例如：如果`5>3`，那么`3<5`。性质2：不等式的传递性文字描述：如果`a>b`且`b>c`，那么`a>c`；如果`a<b`且`b<c`，那么`a<c`。例如：如果`x>2`且`2>y`，那么`x>y`。性质3：不等式的加减性质文字描述：如果`a>b`，那么对于任意的数或整式`c`，都有`a+c>b+c`，`a-c>b-c`。也就是说，不等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不改变。这条性质与等式的性质3非常类似。例如：如果`x-4<1`，两边同时加上4，得到`x-4+4<1+4`，即`x<5`。性质4：不等式的乘除性质（正数篇）文字描述：如果`a>b`，且`c>0`，那么`a*c>b*c`，`a/c>b/c`。也就是说，不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不改变。例如：如果`2x>6`，两边同时除以2（正数），得到`x>3`。性质5：不等式的乘除性质（负数篇）文字描述：如果`a>b`，且`c<0`，那么`a*c<b*c`，`a/c<b/c`。这是不等式非常重要且容易出错的一条性质！不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变！例如：如果`-3x>12`，两边同时除以`-3`（负数），不等号方向改变，得到`x<-4`。不等式性质应用示例：1.利用不等式性质解不等式：`-2x+3≤7`。解：两边同时减去3（性质3）：`-2x+3-3≤7-3`，即`-2x≤4`。两边同时除以`-2`（性质5，注意除以负数，不等号方向改变）：`x≥-2`。2.判断：若`a>b`，则`ac>bc`。这个说法对吗？分析：不对。因为`c`的符号不确定。如果`c`是正数，那么`ac>bc`；如果`c`是负数，那么`ac<bc`；如果`c=0`，那么`ac=bc`。三、等式与不等式性质的对比与小结运算等式性质不等式性质:-----------------:-------------------------------------------:-------------------------------------------------------------------------**两边加（减）同一数（式）**结果仍是等式，等号不变。结果仍是不等式，不等号方向**不变**。**两边乘（除）同一正数**结果仍是等式，等号不变。结果仍是不等式，不等号方向**不变**。**两边乘（除）同一负数**（除数不为0）结果仍是等式，等号不变。结果仍是不等式，不等号方向**必须改变**。**对称性**若`a=b`，则`b=a`。若`a>b`，则`b<a`；若`a<b`，则`b>a`。**传递性**若`a=b`且`b=c`，则`a=c`。若`a>b`且`b>c`，则`a>c`；若`a<b`且`b<c`，则`a<c`。核心提示：*等式的性质相对单纯，主要体现“等量代换”和“保持平衡”。*不等式的性质在乘除负数时会发生“方向改变”，这是与等式性质最根本的区别，也是学习的重点和难点，需要格外小心！四、练习巩固（一）判断题（对的打“√”，错的打“×”）1.若`a=b`，则`a+c=b-c`。()2.若`a>b`，则`a*c^2>b*c^2`。()（提示：`c^2`一定是非负数）3.若`ac>bc`，且`c≠0`，则`a>b`。()4.若`a<b`，则`a-5<b-5`。()5.若`a>b`，`c>d`，则`a-c>b-d`。()（提示：可举反例）（二）填空题1.若`x+3=5`，根据等式性质1（或性质3），两边同时______，得`x=______`。2.若`-2x=6`，根据等式性质4，两边同时______，得`x=______`。3.若`x>y`，则`x+2______y+2`（填“>”、“<”或“=”，下同）。4.若`a<b`，且`c<0`，则`ac______bc`，`a/c______b/c`。5.由`3x-1>2x+5`，可得`x>______`，依据是不等式的性质______。（三）解答题1.利用等式的性质解下列方程：(1)`4x-15=7`(2)`2x/3+1=5`2.利用不等式的性质解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来（数轴表示略，同学们可自行练习）：(1)`3x-4<5`(2)`-(x/2)+3≤1`(3)`5-2x>9`3.当`m`为何值时，代数式`m-3`的值大于代数式`7-m`的值？五、课堂小结与作业布置小结：今天我们学习了等式和不等式的基本性质。等式的性质是解方程的基础，而