初高中数学暑假衔接材料：第02讲 集合间的基本关系（暑假预习讲义）（原卷版及解析）

2/14第02讲集合间的基本关系内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1判断两个集合的包含关系题型2判断两个集合是否相等（同一集合）题型3判断集合的子集（真子集）的个数题型4空集的性质及应用题型5根据集合的包含关系求参数04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航Venn图子集与真子集空集集合间的包含关系子集个数理解集合之间的包含与相等的含义;能够识别给定集合的子集和真子集，了解空集的含义;能够进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言的转换，提升数学抽象素养;掌握集合子集、相等、真子集的定义，辨析集合间的关系与上一节内容的区别与联系，能使用适当的符号表示集合间的关系．学习重点：理解子集、真子集、集合相等及空集的概念，熟练运用相关符号表示集合关系.学习难点：区分元素与集合、集合与集合的符号用法，灵活运用空集性质解决含参问题.知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01Venn图定义：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．（1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线．（2）用Venn图表示集合的方法叫图示法，其优点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显．示例：A={x|x是平行四边形}；B={x|x是菱形}；C={x|x是矩形}；D={x|x是正方形},用Venn图表示集合A、B、C、D四个集合的关系如下：知识点02两个集合的包含关系1、子集定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记法与读法记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)图示性质（1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作A⊆A；（2）传递性：对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.2、真子集定义如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集记法与读法记作A⫋B或(B⫌A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)图示性质（1）任意集合都不是它本身的真子集．（2）传递性：对于集合A，B，C，如果A⫋B，且B⫋C，则A⫋C即时即练若集合A={1,2,3}，B={1,2,3,4,6}，则集合A与B的关系是（

）A．A=BB．A⊆BC．B⊆AD．不确定【方法总结】可列举型集合间的包含关系，根据子集和真子集的定义即可直接判断.知识点03空集1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集．2、0，{0}，∅，∅的关系∅与0∅与{0}∅与∅相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合；0是实数∅中不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；∅含一个元素，该元素是∅关系0∅{0}∅{∅}或∅∈{∅}【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．即时即练下列四个集合中，是空集的是（

）A．0 B．x∣x>8，且x<5C．x∈N∣x2−1=0【易错提醒】区分好空集的是元素个数为0的集合，而不是元素为0的集合.知识点04子集个数有限集的子集个数确定：如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个．（2）A的非空子集的个数有2n－1个．（3）A的真子集的个数有2n－1个．（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．即时即练已知集合A=x∈N−2<x<3，则集合AA．6 B．7 C．14 D．15【方法总结】先化简集合或者分析集合的元素，确定好集合元素的个数，然后再代入公式计算即可.特别提醒：区分好所求的是子集个数、非空子集个数、真子集个数，还是非空真子集的个数.题型1判断两个集合的包含关系【例1】判断下列各组中集合之间的关系：（1）A=xx（2）A=xx是平行四边形，B=（3）M=x−1≤（4）A=xx【方法总结】判断集合间关系的常用方法：(1)列举观察法：适用于集合中元素较少，或元素有规律，或元素为整数时，列出全部元素后，根据定义进行判断.(2)数形结合法：利用数轴、Venn图和平面直角坐标系等直观地进行判断，常用于不等式解集间的关系.(3)元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，然后分析元素特征并进行化简，将两集合的形式统一后再进行判断.【变式1-1】以下四个选项中，正确的为（

）A．1∈0,1,2 C．0,1,2⊆1,0,2 【变式1-2】设集合M=xx=5−4a+a2,a∈RA．M=N B．M⫋N C．N⫋M D．M⊆N题型2判断两个集合是否相等（同一集合）【例2】（多选）下面表示同一个集合的是（

）A．P=B．P=C．P=D．P=【方法总结】判断两个集合是否相等（同一集合）的常用方法：(1)列举比较法：适用于集合中元素较少，或元素有规律、为整数时，列出两个集合的全部元素，若元素完全相同（与顺序无关），则两集合相等.(2)元素特征统一法：先明确两个集合的代表元素，化简并统一两集合的元素表达形式，若元素满足的特征条件完全一致，则两集合相等.(3)双向包含验证法：分别验证“若集合A的所有元素都属于集合B，且集合B的所有元素都属于集合A”，即同时满足A⊆B与B⊆A，则A=B.【变式2-1】下列四组中，表示相等集合的是（

）A．M=−1,3,N=3,−1C．M=0,N=∅ 题型3判断集合的子集（真子集）的个数【例3】已知集合A=1,2,3,B=3,5，则C=A．8 B．16 C．32 D．64【方法总结】判断集合的子集（真子集）的个数的常用方法：(1)公式直接计算法：①若一个集合含有n个元素，则它的：子集个数为2n个；真子集个数为2n−1个；非空真子集个数为②若集合A中有n个元素（n≥1），集合C中有m个元素（m≥n），且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m−n(2)列举枚举法：适用于集合元素个数较少（一般n≤3）的情况，按元素个数从少到多，依次列出所有子集，再统计总数，同时可直观区分子集与真子集.【变式3-1】满足{1,2}

⊆A⊆{1,2,4,5,6}的所有集合A的个数是（

）A．14 B．8 C．7 D．6题型4空集的性质及应用【例4】已知六个关系式①∅∈{∅}；②∅⊂≠{∅}；③{0}⊃≠∅；④0∉∅；⑤A．3 B．4 C．5 D．6【易错提醒】面对空集的高频易错点：易错点1：忽略“空集是任何集合的子集”，讨论包含关系时漏解；易错点2：混淆“空集”与“元素为0的集合”、“空集的集合”；易错点3：对“空集的符号”书写不规范，误写为{∅}或{}；易错点4：计算子集个数时，忘记空集本身；易错点5：认为“空集没有子集”.【变式4-1】若集合A=xax2−ax+2=0题型5根据集合的包含关系求参数【例5】（1）已知集合A=−1,1,m，集合B=1,m2，若B⊆A（2）已知集合A={x|−3≤x≤4},B={x|1<x<m}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________.【方法总结】已知两个集合之间的关系求参数：(1)因为空集是任何集合的子集，所以注意对是否存在空集的情况进行讨论.(2)用数轴分析与不等式相关的集合间的包含关系时，要注意检验参数能否取到端点值.(3)若集合用列举法表示或集合与方程相关，可根据元素间的相等关系列出方程(组)求解.【变式5-1】已知集合A={x|−2≤x≤7}，B={x|m+1≤x≤2m−1}，若B⊆A，则实数一、单选题1．下列命题中，正确的个数有（

）①A⊆A；②0∈0,1,2；③著名的运动健儿能构成集合；④0=∅；⑤∅AA．1 B．2 C．3 D．52．全集U=1,2,3,4,2∈B，且B⊆U，则满足条件的集合B的个数为（A．8 B．7 C．4 D．23．已知集合A=xax=2，若A⊆N，则所有整数a的取值构成的集合为（A．1,2 B．1 C．0,1,2 D．N4．已知集合A=x∣x=n2A．A=B B．A⊆B C．A⊇B D．A、B没有包含关系5．满足2⫋B⊆1,2,3,4的集合B的个数为（

A．8 B．7 C．6 D．56．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k−1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S=1,2,3,4,5,6，由S的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（

A．14 B．16 C．18 D．20二、多选题7．已知集合A=x−1≤2x−1≤5,x∈Z，则下列说法正确的有（A．1∈A B．2,3⊆A C．A中有3个元素 D．A有168．下列选项中不正确的是（

）A．空集是任何集合的子集B．任何集合至少有两个子集C．集合x∈Nx3D．满足方程组x+y=0x−y=−1的点集为9．已知集合A=0,1，B=xx∈A,x∈N，C=xx⊆A，则关于集合A、A．A=B B．A⊈B C．A∈C D．A⊆C三、填空题10．若集合A={−1,2},B={x|x2+ax+b=0}，且A=B，则a+b11．设集合A=0,−a，B=1,−1,2a−2，若A⊆B，则a=12．已知集合A={x|−3≤x≤4}，B={x|2m−1<x<m+1}，且B⊆A，实数m的取值范围为______.四、解答题13．已知集合A=x(1)若A⊆∅，求实数a的取值集合．(2)若A的子集有两个，求实数a的取值集合．14．已知集合A={x|0<ax+1≤5},B={x|−(1)若A⊆B,求实数a的取值范围.(2)是否存在实数a，使得A=B?若存在求出a的值；若不存在，请说明理由.

第02讲集合间的基本关系内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1判断两个集合的包含关系题型2判断两个集合是否相等（同一集合）题型3判断集合的子集（真子集）的个数题型4空集的性质及应用题型5根据集合的包含关系求参数04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航Venn图子集与真子集空集集合间的包含关系子集个数理解集合之间的包含与相等的含义;能够识别给定集合的子集和真子集，了解空集的含义;能够进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言的转换，提升数学抽象素养;掌握集合子集、相等、真子集的定义，辨析集合间的关系与上一节内容的区别与联系，能使用适当的符号表示集合间的关系．学习重点：理解子集、真子集、集合相等及空集的概念，熟练运用相关符号表示集合关系.学习难点：区分元素与集合、集合与集合的符号用法，灵活运用空集性质解决含参问题.知｜知｜识｜框｜架知｜知｜识｜精｜讲知识点01Venn图定义：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．（1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线．（2）用Venn图表示集合的方法叫图示法，其优点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显．示例：A={x|x是平行四边形}；B={x|x是菱形}；C={x|x是矩形}；D={x|x是正方形},用Venn图表示集合A、B、C、D四个集合的关系如下：知识点02两个集合的包含关系1、子集定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记法与读法记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)图示性质（1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作A⊆A；（2）传递性：对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.2、真子集定义如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集记法与读法记作A⫋B或(B⫌A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)图示性质（1）任意集合都不是它本身的真子集．（2）传递性：对于集合A，B，C，如果A⫋B，且B⫋C，则A⫋C即时即练若集合A={1,2,3}，B={1,2,3,4,6}，则集合A与B的关系是（

）A．A=BB．A⊆BC．B⊆AD．不确定【答案】B【详解】因为集合A中的元素，都在集合B中，而B中的元素不一定都在A中，所以AB.【方法总结】可列举型集合间的包含关系，根据子集和真子集的定义即可直接判断.知识点03空集1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集．2、0，{0}，∅，∅的关系∅与0∅与{0}∅与∅相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合；0是实数∅中不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；∅含一个元素，该元素是∅关系0∅{0}∅{∅}或∅∈{∅}【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．即时即练下列四个集合中，是空集的是（

）A．0 B．x∣x>8，且x<5C．x∈N∣x2−1=0【答案】B【详解】A中有元素0，B中集合没有任何元素，为空集，C中有元素1，D中集合，大于4的实数都是其中的元素．【易错提醒】区分好空集的是元素个数为0的集合，而不是元素为0的集合.知识点04子集个数有限集的子集个数确定：如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个．（2）A的非空子集的个数有2n－1个．（3）A的真子集的个数有2n－1个．（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．即时即练已知集合A=x∈N−2<x<3，则集合AA．6 B．7 C．14 D．15【答案】A【详解】因为A=x∈所以集合A的元素个数为3，因此集合A的所有非空真子集的个数是23【方法总结】先化简集合或者分析集合的元素，确定好集合元素的个数，然后再代入公式计算即可.特别提醒：区分好所求的是子集个数、非空子集个数、真子集个数，还是非空真子集的个数.题型1判断两个集合的包含关系【例1】判断下列各组中集合之间的关系：（1）A=xx（2）A=xx是平行四边形，B=（3）M=x−1≤（4）A=xx【答案】（1）A⊂≠B;（2）D⊂【详解】（1）∵x是12的约数，∴x必定是36的约数，反之不成立，∴A⊂（2）由图形的特点可画出维恩图如图所示，从而D⊂（3）∵x∈Z，且−1≤x<3，∴x∴M=又∵y∈M，∴∴N=0,1,2.∴（4）方法一（列举法）：结合题中所给集合的特征属性可得，A=⋅⋅⋅,−95,−方法二（描述法）：A=xx=5k+2【方法总结】判断集合间关系的常用方法：(1)列举观察法：适用于集合中元素较少，或元素有规律，或元素为整数时，列出全部元素后，根据定义进行判断.(2)数形结合法：利用数轴、Venn图和平面直角坐标系等直观地进行判断，常用于不等式解集间的关系.(3)元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，然后分析元素特征并进行化简，将两集合的形式统一后再进行判断.【变式1-1】以下四个选项中，正确的为（

）A．1∈0,1,2 C．0,1,2⊆1,0,2 【答案】C【详解】对于A，混淆元素与集合，集合与集合的关系，1为0,1,2的真子集，故错误；对于B，−3,1是1,−3,−5的真子集，不存在大小关系，故错误；对于C，0,1,2⊆对于D，空集是任何集合的子集，即∅⊆0，不是0【变式1-2】设集合M=xx=5−4a+a2,a∈RA．M=N B．M⫋N C．N⫋M D．M⊆N【答案】A【详解】∵M=xN=y∴M=N，题型2判断两个集合是否相等（同一集合）【例2】（多选）下面表示同一个集合的是（

）A．P=B．P=C．P=D．P=【答案】ACD【详解】选项A：∵x2−1=0,x∈R，解得x=±1，∴∵x=1,x∈R，解得x=±1，∴集合∴P=Q，即集合P,Q表示同一个集合，故A正确；选项B：∵集合P=2,5∴集合P,Q表示不同集合，故B错误；选项C：∵集合P=2,5,Q=5,2中元素完全相同，∴选项D：∵P=x∣x=2m+1,m∈Z表示奇数集，Q=∴集合P,Q表示同一个集合，故D正确．【方法总结】判断两个集合是否相等（同一集合）的常用方法：(1)列举比较法：适用于集合中元素较少，或元素有规律、为整数时，列出两个集合的全部元素，若元素完全相同（与顺序无关），则两集合相等.(2)元素特征统一法：先明确两个集合的代表元素，化简并统一两集合的元素表达形式，若元素满足的特征条件完全一致，则两集合相等.(3)双向包含验证法：分别验证“若集合A的所有元素都属于集合B，且集合B的所有元素都属于集合A”，即同时满足A⊆B与B⊆A，则A=B.【变式2-1】下列四组中，表示相等集合的是（

）A．M=−1,3,N=3,−1C．M=0,N=∅ 【答案】B【详解】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误；对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确；对于C，集合M=0中有元素0，集合N对于D，集合M表示抛物线上的点，集合N为数集，故D错误.题型3判断集合的子集（真子集）的个数【例3】已知集合A=1,2,3,B=3,5，则C=A．8 B．16 C．32 D．64【答案】B【详解】因为集合A=1,2,3,B=3,5所以集合C的子集个数为24【方法总结】判断集合的子集（真子集）的个数的常用方法：(1)公式直接计算法：①若一个集合含有n个元素，则它的：子集个数为2n个；真子集个数为2n−1个；非空真子集个数为②若集合A中有n个元素（n≥1），集合C中有m个元素（m≥n），且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m−n(2)列举枚举法：适用于集合元素个数较少（一般n≤3）的情况，按元素个数从少到多，依次列出所有子集，再统计总数，同时可直观区分子集与真子集.【变式3-1】满足{1,2}

⊆A⊆{1,2,4,5,6}的所有集合A的个数是（

）A．14 B．8 C．7 D．6【答案】B【详解】由{1,2}⊆A，得1∈A,2∈A.设集合M为集合{4,5,6}的子集，则集合M可能为：∅,4,5由题意，集合A={1,2}∪M，所以集合A共有8个，分别为：1,2,题型4空集的性质及应用【例4】已知六个关系式①∅∈{∅}；②∅⊂≠{∅}；③{0}⊃≠∅；④0∉∅；⑤A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】根据元素与集合、集合与集合关系：∅是{∅}的一个元素，故∅∈{∅}，①正确；∅是任何非空集合的真子集，故∅⊂≠{∅}∅没有元素，故0∉∅，④正确；且∅≠{0}、∅≠{∅}，⑤错误，⑥正确；所以①②③④⑥正确.【易错提醒】面对空集的高频易错点：易错点1：忽略“空集是任何集合的子集”，讨论包含关系时漏解；易错点2：混淆“空集”与“元素为0的集合”、“空集的集合”；易错点3：对“空集的符号”书写不规范，误写为{∅}或{}；易错点4：计算子集个数时，忘记空集本身；易错点5：认为“空集没有子集”.【变式4-1】若集合A=xax2−ax+2=0【答案】0≤a<8【详解】当a=0时，2=0不成立，即A=∅，则a=0；当a≠0时，由A=∅，得Δ=a2所以实数a的取值范围是0≤a<8.题型5根据集合的包含关系求参数【例5】（1）已知集合A=−1,1,m，集合B=1,m2，若B⊆A【答案】0【详解】因为B⊆A，所以m2=m．解得（2）已知集合A={x|−3≤x≤4},B={x|1<x<m}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________.【答案】(−∞【详解】由集合B={x|1<x<m}，若m≤1时，可得B=∅，此时满足B⊆A；若m>1时，要是得到B⊆A，则满足m>1m≤4，解得1<m≤4综上可得，实数m的取值范围是(−∞【方法总结】已知两个集合之间的关系求参数：(1)因为空集是任何集合的子集，所以注意对是否存在空集的情况进行讨论.(2)用数轴分析与不等式相关的集合间的包含关系时，要注意检验参数能否取到端点值.(3)若集合用列举法表示或集合与方程相关，可根据元素间的相等关系列出方程(组)求解.【变式5-1】已知集合A={x|−2≤x≤7}，B={x|m+1≤x≤2m−1}，若B⊆A，则实数【答案】(−∞,4]【详解】当B=∅时，有m+1≥2m−1，则m≤2；当B≠∅时，若B⊆A，如图，则m+1≥−2,2m−1≤7,m+1<2m−1,解得综上，m的取值范围为(−∞,4]．一、单选题1．下列命题中，正确的个数有（

）①A⊆A；②0∈0,1,2；③著名的运动健儿能构成集合；④0=∅；⑤∅AA．1 B．2 C．3 D．5【答案】B【详解】易知A⊆A，故①正确；00,1,2，故②错误；著名的运动健儿，元素不确定，不能构成集合，故③错误；0表示有一个元素0的集合，不是空集，④错误；空集是任意非空集合的真子集，若A为空集，⑤错误；0,1,2=2,1,0，故2．全集U=1,2,3,4,2∈B，且B⊆U，则满足条件的集合B的个数为（A．8 B．7 C．4 D．2【答案】A【详解】因为全集U=1,2,3,4,2∈B，且所以B可能为2,1,2,即集合B的个数为8.3．已知集合A=xax=2，若A⊆N，则所有整数a的取值构成的集合为（A．1,2 B．1 C．0,1,2 D．N【答案】C【详解】当A=∅时，a=0，满足A⊆N，故a=0符合题意；当A≠∅时，a≠0，∵A=xax=2=∴2a=1或2a=2综上可知所有整数a的取值构成的集合为0,1,2.4．已知集合A=x∣x=n2A．A=B B．A⊆B C．A⊇B D．A、B没有包含关系【答案】B【详解】由n2=2n5．满足2⫋B⊆1,2,3,4的集合B的个数为（

A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【详解】满足条件的集合有B=1,2B=2,3,46．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k−1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S=1,2,3,4,5,6，由S的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（

A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【详解】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可，故满足条件的集合有：1,2,4，1,2,5，1,2,6，1,3,4，1,3,5，1,3,6，1,4,5，1,4,6，1,5,6，2,3,5，2,3,6，2,4,5，2,4,6，2,5,6，3,4,6，3,5,6.二、多选题7．已知集合A=x−1≤2x−1≤5,x∈Z，则下列说法正确的有（A．1∈A B．2,3⊆A C．A中有3个元素 D．A有16【答案】AB【详解】由−1≤2x−1≤5得：0≤x≤3，又x∈Z，∴A=0,1,2,3对于A，由A=0,1,2,3知：1∈A对于B，∵2∈A，3∈A，∴2,3对于C，由A=0,1,2,3知：A中有4对于D，∵A中有4个元素，∴A有248．下列选项中不正确的是（

）