初高中数学暑假衔接材料：第07讲 基本不等式（暑假预习讲义）（原卷版）

2/14第07讲基本不等式内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1利用基本不等式比较大小题型2利用基本不等式求最值题型3利用基本不等式解决恒成立问题题型4利用基本不等式证明不等式题型5利用基本不等式解决简单实际应用问题04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航基本不等式最值定理了解基本不等式的证明过程；能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小；熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题；会用基本不等式求解简单的实际应用题.学习重点：基本不等式的推导过程和基本应用，包括利用基本不等式求最值的条件（一正、二定、三相等）.学习难点：1.基本不等式的几何意义的理解；2.利用基本不等式解决最值问题时，如何构造“一正、二定、三相等”的条件.知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01基本不等式1、重要不等式（1）公式：对于任意的实数a,b，有a2+b2≥2ab，推导：(a−b)2≥0⟺a2+（2）常见变形：2(a2+b22、基本不等式（1）公式：如果a>0,b>0，那么ab≤a+b2，当且仅当a=b【说明】a+b2叫做正数a,b的算术平均数，ab叫做正数a,b的几何平均数因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．（2）常见变形：a+b≥2ab3、常用结论：=1\*GB3①ba+ab≥2（a,b同号），当且仅当a=b时取等号；ba+ab=2\*GB3②a+1a≥2（a>0），当且仅当a=1时取等号；a+1a≤即时即练（多选）若a,b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（

A．a2+b2≥2abB．a+b≥2ab【方法总结】使用基本不等式判断不等式是否成立的技巧：①掌握基本不等式以及常见变形的前提条件；②熟记基本不等式及其变形、常见结论可快速得出结论.③举反例可以判断不等式不成立.知识点02最值定理1、最值定理：已知都是正数，（1）若x+y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为（2）若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x+y有最小值，且这个值为最值定理简记为：积定和最小，和定积最大．2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等．①一正：各项均为正数；②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变数的各项均相等，取得最值．即时即练已知正数a，b满足ab=2，则1a+1A．2 B．22 C．22 【易错提醒】在使用基本不等式求最值时，三个易错点总结：一正易错：未判断两数全正就套用公式，负数不能直接使用a+二定易错：求最值时不看和或积是否为定值，无定值不能直接用基本不等式求最值；三相等易错：求出最值后不验证a=b能否成立，等号取不到则对应最值无效.知识点03基本不等式变式与拓展1、基本不等式链21a+当且仅当a=b其中，21a+1b=2ab2、基本不等式的拓展（1）三元基本不等式：a+b+c3≥3abc（a,b,c（2）元基本不等式：a1+a2+…+an题型1利用基本不等式比较大小【例1】（1）已知实数a，b，c满足c−b=a+2a−2，c+b=2a2+2a+2a，且a>0，则A．b>c>a B．c>b>a C．a>c>b D．c>a>b（2）设A=nm+mn（m，n为正实数），B=−x2A．A>B B．A≥B C．A<B D．A≤B【方法总结】利用基本不等式比较大小的四种方法：方法1：公式直接法：若式子刚好是调和、几何、算术、平方平均数形式，直接套用基本不等式链即可判断大小关系判断，前提：变量全正；方法2：最值法：一边用基本不等式求出下界（最小值）[或上界（最大值）]；另一边配方法、导数法等求出上界（最大值）[或下届（最小值）]，若Amin>B方法3：特值代入法：给变量取符合题干范围的具体数字，代入四个代数式算出数值，直观比较大小，快速排除一些不可能成立的选项，有时需要多取几组验证；方法4：作差法/放缩法：（1）作差：两式相减，等价变形，最后判断差值正负；（2）放缩：借助基本不等式对代数式放大/缩小，间接比较.【变式1-1】（多选）若0<a<13,79<b<1，则A．2a2+b2 B．2ab题型2利用基本不等式求最值角度1：求积的最值【例2】（1）函数y=x3−2x的最大值为（

A．3 B．94 C．92 【方法总结】利用基本不等式求积的最值问题的方法：步骤1：分析变量范围，确定符号（满足“一正”）基本不等式ab≤步骤2：构造“和为定值”的形式（满足“二定”）基本不等式的核心是“和定积最大”，对于形如y=fx配凑出两个因子的和为常数（即“和为定值”），常利用相反数和为0进行配凑；步骤3：应用基本不等式，求最值并验证等号（满足“三相等”）当两个因子为正且和为定值时，由基本不等式ab≤a+b2可求出乘积的最大值，同时需验证等号成立的条件是否可实现.【变式2-1】已知0<x<2，则y=2x4−x2取最大值时xA．1 B．2−1 C．2 D．角度2：求和的最值【例2】（2）当x>2时，y=x+4x−2的最小值是【方法总结】利用基本不等式求和的最值问题的方法：步骤1：分析变量范围，确定符号（满足“一正”）基本不等式ab≤步骤2：构造“积为定值”的形式（满足“二定”）基本不等式的核心是“积定和最大”，对于形如y=fx+g价变形式子，配凑出两个加数的积为常数（即“和为定值”），常利用互为倒数积为1进行配凑；步骤3：应用基本不等式，求最值并验证等号（满足“三相等”）当两个加数为正且积为定值时，由基本不等式ab≤a+b2可求出和的最大值，同时需验证等号成立的条件是否可实现.【变式2-2】已知x>0，则2−3x−4x的最大值为角度3：二次与一次的商式的最值【例2】（3）若x>−1，则2x2+4x+4【方法总结】利用基本不等式求二次与一次的商式的最值问题的方法：步骤1：换元：若分母（分子）一次不是单独的x,，则需要依据定义域设新元t=分母（分子）整体，保证t>0，然后把分子（分母）都变成含t的代数式；步骤2：拆分变形，分离整式二次一次型：换元后，直接拆分，拆成mt+一次二次型：换元后，分子分母同除以t，化为步骤3：套用基本不等式求最值：mt+nt≥2则整个分式有最大值；步骤4：验证三等号是否成立：利用mt=nt，解t，反求x，验证【变式2-3】函数f(x)=3x−32角度4：条件等式求最值【例2】（4）已知正实数a，b满足ab+a+b=8，则ab的最大值是__________．【方法总结】利用条件等式求最值问题的方法：步骤1：等量代换：比如本例题中：由已知ab+a+b=m（常数），变形：a+b=m−ab，等量替换基本不等式ab≤a+b2步骤2：得关于所求式子的不等式：ab≤m−ab2，步骤3：解不等式得最值：解只含所求式子ab的不等式，即可得所求式子ab的取值范围，从得出最值；步骤4：验证等号可取：等号条件a=b，联立原式方程解出a,b，若取值满足正数条件，则提醒：有时是利用基本不等式等量替换，有时是利用不等式链中的某两个式子，或者利用其他不等式，再根据已知等式与所求式子的特点，选择对应的不等式来进行等量替换.【变式2-4】已知x>0，y>0且x+y=41x+题型3利用基本不等式解决恒成立问题【例3】若不等式1a+2b≥A．2 B．3 C．4 D．9【方法总结】利用基本不等式解决恒成立问题的方法：步骤1：参变量分离：把所有参数和常数项放在不等式一侧，把所有变量放在不等式另一侧；步骤2：恒成立问题转化为最值问题：f(x)≥a恒成立⟺f(x)min≥a，f(x)≤a步骤3：借助基本不等式求出最值，得出结论.【变式3-1】已知x>0，y>0，且x+y=2．若4x+1−mxy≥0恒成立，则实数m的最大值是（）A．4 B．8 C．3 D．6题型4利用基本不等式证明不等式【例4】已知a>0，b>0，a+b=1，求证：a2+b2≥【方法总结】利用基本不等式证明不等式的方法：根据不等式的结构特征，构造“和、积、平方和、倒数和”等形式，进而正确选用基本不等式或其变形形式进行证明，同时注意不等式变形时，要结合已知条件，可考虑拼凑、整体代换等.【变式4-1】已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1．求证：a+1题型5利用基本不等式解决简单实际应用问题【例5】某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租y1（单位：万元）与仓库到超市的距离x（x≥0，单位：千米）的函数关系式为y1=24x+3，每月货物运输费y2（单位：万元）与x的函数关系式为【方法总结】利用基本不等式解决简单实际应用问题的方法：①设：设未知数，并用未知数表示题目中的相关量；②列：根据题中条件，列出含未知数的关系式或用未知数表示所求量；③求：分析清楚定值，将实际问题转化为数学问题，利用基本不等式求最值；④答：注意变量的取值范围，检验等号成立的条件，然后作答.【变式5-1】某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用xx∈N∗年后该设备的总维修保养费用为x(1)求y关于x的函数关系式；(2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）.一、单选题1．如果a>0，那么a+1a+2A．2 B．22 C．3 2．不等式（x−2A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y3．若x>0，y>0，则2x+1x+y+A．32 B．42 C．44．已知a，b为正数，4a+b=1，则14a+1A．1 B．2 C．4 D．85．若a>0,b>0，且ab=a+2b+6，则2a+1A．23 B．83 C．1636．如图所示，线段AB为半圆的直径，O为圆心，C,F为半圆弧上不与A,B重合的点，OF⊥AB.作CD⊥AB于D,DE⊥OC于E，设AD=a,BD=b，则下列不等式中可以直接表示CE≤DF的是（

）A．2aba+b≤abC．a+b2≤a二、多选题7．若对于任意x>0，xx2+3x+1≤a恒成立，则实数A．15 B．110 C．128．下列说法正确的是（

）A．x+1x的最小值为2 B．C．2x+2−x的最小值为2 9．已知a,b∈R，且ab≠0A．a2+b2C．