初高中数学暑假衔接材料：第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式（暑假预习讲义）（原卷版）

2/14第08讲二次函数与一元二次方程、不等式内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1解不含参的一元二次不等式题型2解含参一元二次不等式题型3三个“二次”关系的应用题型4一元二次不等式三种恒成立问题题型5一元二次不等式的有解问题（能成立问题）题型6一元二次不等式的实际应用04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航二次函数一元二次方程一元二次不等式能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；掌握一元二次不等式的实际应用；会解一元二次不等式中的恒成立问题.学习重点：1.二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系；2.一元二次不等式的解法.学习难点：1.理解二次函数图像与一元二次不等式解集之间的对应关系；2.含参数的一元二次不等式的初步处理（简单参数情况）.知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01一元二次不等式1、定义一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2、一般形式ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）．3、一元二次不等式的解与解集使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解；一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集；将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形．知识点02三个”二次“的关系1、三个“二次”：①二次函数，②一元二次方程，③一元二次不等式.2、二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数的零点．3、三个“二次”之间的关系对于一元二次方程ax2+bx+c=0a>0的两根为设∆=b2−4ac，它的解按照∆>0相应地，二次函数y=ax2因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式ax2+bx+c判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}xRax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅知识点03一元二次方程的解法1、解一元二次不等式的一般步骤（1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值；（2）求根：计算判别式∆，求出相应方程的实数根；①∆>0时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；②∆=0时，求根x③∆<0（3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），并画出开口向上的抛物线示意图；（4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集．口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间2、含参一元二次不等式的讨论依据（1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；（2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；（3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集．即时即练不等式x−7x−12<0【易错提醒】不等式的解集一定要用区间或者集合表示.题型1解不含参的一元二次不等式【例1】（1）解下列不等式：(1)x2<3x+4；(2)2+x−x2≥0【方法总结】图象法解不含参的一元二次不等式的方法：第一步：不等式改成等式，求对应二次方程的根；第二步：画对应二次函数的图象，尤其注意根据二次项系数的正负判断开口方向；第三步：观察图象，即可直接得出解集.【变式1-1】不等式1+5x−6x2>0A．x∣x>1或x<−16}C．{x∣x>1或x<−3} D．{x∣−3<x<2}题型2解含参一元二次不等式【例2】（1）若0<m<1，则不等式x−mx−A．x1m<x<mC．xx>m或x<（2）解关于x的不等式：ax（3）解关于x的不等式：a【方法总结】解含参的一元二次不等式的技巧总结：在解含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从以下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0和a=0；（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两个不相等的实数根（Δ>0），两个相等的实数根（Δ=0），没有实数根（Δ<0）;（3）关于不等式对应的方程的根的大小的讨论：x1>x2，注意：对参数分类讨论的每一种情况下，所求出的一元二次不等式的解集是相互独立的，不能合并.【变式2-1】若“−1<x<1”是“x−ax−3−a<0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（A．{a|a≤1或a≥2} B．aC．a−2≤a≤−1 D．{a|a≤−2或题型3三个“二次”关系的应用【例3】关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为2,3A．a>0B．不等式bx2C．a−b+c>0D．不等式cx+b<0的解集为x【方法总结】三个“二次”关系的应用的技巧总结：已知一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的解集，则可以确定a的政府性和方程ax【变式3-1】（多选）已知关于x的不等式a+mx2−b−mx−1>0A．a+b=1 B．ab的最大值为1C．1a+1b的最小值为2题型4一元二次不等式三种恒成立问题角度1：一元二次不等式在R上恒成立【例4】（1）不等式ax2−ax+a+1>0对∀x∈R恒成立，则实数A．0,+∞ B．C．−∞,−【方法总结】解决一元二次不等式在R上恒成立问题的技巧总结：(1)不等式ax2(2)不等式ax2注意：若题目中未强调是一元二次不等式，则一定要讨论二次项系数是否为0；若已知不等式中含等号，则Δ也可取等号.【变式4-1】若关于x的不等式ax2+2x+2>0对任意的实数x角度2：一元二次不等式在指定区间D上恒成立【例4】（2）当1<x<2时，不等式x2+mx+4<0恒成立，求实数【方法总结】解决一元二次不等式在指定区间D上恒成立问题的技巧总结：(1)对于不等式ax2+bx+c>0(2)某些特殊条件下的恒成立问题，可简化处理，比如：常见结论①当a>0时，ax2+bx+c<0在②当a<0时，ax2+bx+c>0在【变式4-2】若对于∀x∈[1,3]，mx2−mx−6+m<0角度3：一元二次不等式在参数指定范围D上恒成立【例4】（3）若对于m∈[−2,2]，mx2−mx−6+m<0恒成立，求实数【方法总结】解决一元二次不等式在参数指定范围D上恒成立问题的技巧总结：解决恒成立问题一定要清楚谁是主元，谁是参数：一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数，即构造“以参数为变量”的函数，根据“变量”的取值范围列式求解,若构造出来为一次函数，能判断一次函数的单调性就利用单调性直接求最值，若不确定单调性则直接将所给范围的两个端点值代入，化简求解即可.【变式4-3】当0≤m≤3时，不等式x2−m+2x+m−3<0恒成立，则A．−1,5 B．−1,3 C．0,3 D．0,5题型5一元二次不等式的有解问题（能成立问题）【例5】若关于x的不等式x2−4x−2−a≤0有解，则实数a的取值范围是（A．aa≥−2 B．aa≤−2 C．aa≥−6【方法总结】解决一元二次不等式简单的有解问题（能成立问题）的技巧总结：(1)根据题意得出Δ的取值范围，比如：①当a>0时，ax2②当a<0时，ax2(2)另一常见思路为先参变量分离，转化为求新函数最值问题，比如：常见题型及结论①若存在x∈{x∣m⩽x⩽n}，使a>y有解⟺a>y②若存在x∈{x∣m⩽x⩽n}，使a<y有解⟺a<y【变式5-1】若关于x的不等式x2−4x−2−a≥0在x|1≤x≤4内有解，则实数a的取值范围是（A．a|a≤−2 B．a|a≥−2 C．a|a≥−6 D．a|a≤−6题型6一元二次不等式的实际应用【例6】某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为______（元）.【方法总结】利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：选取合适的字母表示题目中的未知数；由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；求解所列出的不等式(组)；结合题目的实际意义确定答案.【变式6-1】（多选）某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，每件销售价可能为（

）A．13元 B．15元 C．17元 D．18元一、单选题1．不等式3x2−x−2<0A．xx<−23或C．x−232．若不等式ax2+bx−3<0的解集为xA．3 B．1 C．−1 D．−33．若关于x的不等式x2−ax+b≤0的解集为−3,2，则不等式x2A．1,5 B．−C．−∞,1∪4．若t>1，则不等式x−tx−1tA．x|1t<x<t B．{x|x>C．{x|x<1t或x>t} 5．对∀x∈R，不等式a−2x2+a−2x−2<0A．−6<a≤2 B．−2≤a≤6 C．a<−6或a≥2 D．a≤−2或a≥66．某企业生产智能台灯，总生产成本C（单位：万元）与生产数量x（单位：千台）的关系为：Cx=x2+30x+2000A．0,41 B．0,42 C．0,43 D．0,44二、多选题7．下列四个不等式，其中解集不为R的是（）A．−x2+x+1≥0C．x2+6x+10>0 8．若不等式ax2−bx+c<0的解集是{x∣−2<x<1}A．b<0且c<0B．a−b+cC．a+b+c<0D．不等式ax29．设a为实数，则关于x的不等式ax−1x+2>0的解集可能是（A．−∞,−2 C．−∞,1三、填空题10．若关于x的不等式x2+mx−2<0在区间1,2上有解，则实数m的取值范围为11．对于任意实数x，不等式a−1x（1）则a的取值范围是___________．（2）在（1）的条件下，使ax2−7x+a−1>0恒成立