初高中数学暑假衔接材料：第14讲 指数与指数运算（原卷版及解析）

2/14第14讲指数与指数运算内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1n次方根题型2根式与分数指数幂的互化题型3利用指数幂的运算性质化简题型4简单的指数方程问题题型5整体换元法解决条件求值问题04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航指数指数运算n

次方根分数指数幂理解概念推广：体会指数幂从整数推广至有理数、实数的必要性，理解推广的合理性.掌握互化与性质：理解

n

次方根与分数指数幂的意义，熟练进行根式与分数指数幂的互化.熟练运用法则：掌握实数指数幂的运算性质，并能准确进行化简与求值.体会数学思想：在推广过程中体会运算律的一致性与逼近的极限思想，培养数学抽象与运算素养.学习重点：（1）实数指数幂运算：牢固掌握运算性质，能准确进行化简求值，为后续学习打基础.（2）根式与分数指数幂互化：明确分数指数幂是根式的新写法，熟练掌握两者的转化规则.学习难点：（1）无理数指数幂的理解：概念较抽象，需引导学生通过“过剩”与“不足”近似值双向逼近，体会极限思想.（2）建立推广的整体框架：在推导性质与定义时，理解运算法则规定的合理性，对逻辑推理与分类讨论能力要求较高.知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01根式1、n次方根的定义与性质（1）定义：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且（2）性质：①当n是奇数时，{a>0,x>0a<0,x<0，x的值只有一个，记为②当n是偶数，a>0时，x的有两个值，且互为相反数，记为±na；a<0时，③负数没有偶次方根（负数的偶次方根无意义）；④0的任何次方根都是0，记作n02、根式的定义与性质（1）定义：式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数（2）性质：（n>1，且n∈Nnan=a知识点02指数幂1、分数指数幂（1）正分数指数幂：规定：a（2）负分数指数幂：规定：a（3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.【要点辨析】分数指数幂的注意事项：①分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂amn不可理解为mn个a相乘，它是根式的一种新的写法②把根式nam化成分数指数幂的形式时，不要轻易对m③在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如−523=3−52、实数指数幂的运算性质①ar②ar③abr3、无理数指数幂一般地，无理数指数幂aαa有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果.（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围.知识点03指数幂运算解题方法与技巧1、指数幂的运算中常用的乘法公式（1）完全平方公式：a−b2=a2（2）平方差公式：a2（3）立方差公式：a3（4）立方和公式：a3（5）完全立方公式：a−b3=a32、条件求值问题的解题思路（1）将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论；（2）当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值；（3）适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁.题型1n次方根【例1】（1）（多选）下列说法中正确的是（

）A．3−27=3 C．481=±3 （2）．若6a2−4a+4A．a∈R B．a=2 C．a>2 D．a≤2【方法总结】解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.【变式1-1】若a−1+3a−2A．a≥0 B．a≥1C．a≥2 D．a∈【变式1-2】下列各式正确的是（

）A．−32=−3 B．C．22=2 题型2根式与分数指数幂的互化【例2】（1）设a>0，将a23aA．a12 B．a56 C．（2）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A．−x=−xC．x−13【方法总结】（1）根指数⟵⟶化为分数指数的分母，被开方数（式）的指数⟵⟶（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.【变式2-1】（多选题）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A．6y2=y13（y<0）C．x−13=−3x（x≠0）【变式2-2】用分数指数幂的形式表示下列根式（式中字母都是正数）：(1)3a(2)33(3)3x题型3利用指数幂的运算性质化简【例3】（1）计算：2790.5A．0 B．1 C．100 D．5（2）已知b>0，16a=b2=64A．3 B．8 C．11 D．14【方法总结】关于指数式的化简、求值问题：（1）无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减；（2）仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错.【变式3-1】化简:b⋅a【变式3-2】计算.(1)6a23b1(2)33题型4简单的指数方程问题【例4】（1）方程4x−1A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1（2）方程4x+1−3×2【方法总结】简单的指数方程是指指数里含有未知数的方程.若方程两边可化为同底的幂的形式，根据同底的幂相等的充要条件是指数相等，化指数方程为整式方程.【变式4-1】方程22x+1−9⋅2【变式4-2】解下列方程：81×题型5整体换元法解决条件求值问题【例5】（1）已知x2+x−2=9A．7 B．−7 C．±7 （2）已知x+x−1=3，则x−【方法总结】利用整体换元法解决条件求值问题：(1)整体换元法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.(2)利用整体换元法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.【变式5-1】已知x2+x−2=22【变式5-2】已知x+y=12，xy=9，则x12−一、单选题1．若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是（

）A．4a2 B．5a C．52．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A．−x=−xC．x−133．1120A．−13 B．13 C．44．若2m=5,4n=3A．45 B．75 C．2 D．45．借助信息技术计算1+1nnn∈N*的值，我们发现当n=1,2,3,10,100,1000,10000,100000,⋯时1+1nn的底数越来越小，而指数越来越大，随着n越来越大，1+1nA．e B．e2 C．e3 6．设x∈R，x表示不超过x的最大整数，若存在实数t，使得t=1，t2=2，…，tn=nA．4 B．5 C．6 D．7二、多选题7．下列各式一定成立的是（

）A．12−24=C．nan=a8．已知a−3+A．a−3−C．a32+9．已知m，n是关于x的方程16x−2b⋅4x+A．b=5或b=−5 B．4mn=3 C．|m−n|=12 三、填空题10．若4a−14=a−1，则实数a11．方程2x2−x+12．已知x>0，y>0，且2x⋅4y=2四、解答题13．已知A=1612+1(1)计算A并化简B；(2)若幂函数fx=xb的图象恒过点14．化简求值：(1)已知yx=3(2)已知5m+5

第14讲指数与指数运算内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1n次方根题型2根式与分数指数幂的互化题型3利用指数幂的运算性质化简题型4简单的指数方程问题题型5整体换元法解决条件求值问题04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航指数指数运算n

次方根分数指数幂理解概念推广：体会指数幂从整数推广至有理数、实数的必要性，理解推广的合理性.掌握互化与性质：理解

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次方根与分数指数幂的意义，熟练进行根式与分数指数幂的互化.熟练运用法则：掌握实数指数幂的运算性质，并能准确进行化简与求值.体会数学思想：在推广过程中体会运算律的一致性与逼近的极限思想，培养数学抽象与运算素养.学习重点：（1）实数指数幂运算：牢固掌握运算性质，能准确进行化简求值，为后续学习打基础.（2）根式与分数指数幂互化：明确分数指数幂是根式的新写法，熟练掌握两者的转化规则.学习难点：（1）无理数指数幂的理解：概念较抽象，需引导学生通过“过剩”与“不足”近似值双向逼近，体会极限思想.（2）建立推广的整体框架：在推导性质与定义时，理解运算法则规定的合理性，对逻辑推理与分类讨论能力要求较高.知｜知｜识｜框｜架知｜知｜识｜精｜讲知识点01根式1、n次方根的定义与性质（1）定义：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且（2）性质：①当n是奇数时，{a>0,x>0a<0,x<0，x的值只有一个，记为②当n是偶数，a>0时，x的有两个值，且互为相反数，记为±na；a<0时，③负数没有偶次方根（负数的偶次方根无意义）；④0的任何次方根都是0，记作n02、根式的定义与性质（1）定义：式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数（2）性质：（n>1，且n∈Nnan=a知识点02指数幂1、分数指数幂（1）正分数指数幂：规定：a（2）负分数指数幂：规定：a（3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.【要点辨析】分数指数幂的注意事项：①分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂amn不可理解为mn个a相乘，它是根式的一种新的写法②把根式nam化成分数指数幂的形式时，不要轻易对m③在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如−523=3−52、实数指数幂的运算性质①ar②ar③abr3、无理数指数幂一般地，无理数指数幂aαa有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果.（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围.知识点03指数幂运算解题方法与技巧1、指数幂的运算中常用的乘法公式（1）完全平方公式：a−b2=a2（2）平方差公式：a2（3）立方差公式：a3（4）立方和公式：a3（5）完全立方公式：a−b3=a32、条件求值问题的解题思路（1）将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论；（2）当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值；（3）适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁.题型1n次方根【例1】（1）（多选）下列说法中正确的是（

）A．3−27=3 C．481=±3 【答案】BD【详解】负数的3次方根是一个负数，3−2716的4次方根有两个，为±2，故B正确；481(x+y)2是非负数，所以(x+y)（2）．若6a2−4a+4A．a∈R B．a=2 C．a>2 D．a≤2【答案】D【详解】因6a2−4a+4=6(a−2)2所以实数a的取值范围是a≤2.【方法总结】解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.【变式1-1】若a−1+3a−2A．a≥0 B．a≥1C．a≥2 D．a∈【答案】B【详解】由a−1+3a−2有意义，得a−1≥0所以a的取值范围是a≥1.【变式1-2】下列各式正确的是（

）A．−32=−3 B．C．22=2 【答案】C【详解】因为当n为奇数时，nan=a，当n所以(−3)2＝3，4a4＝|a题型2根式与分数指数幂的互化【例2】（1）设a>0，将a23aA．a12 B．a56 C．【答案】C【详解】因为a>0，所以a2（2）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A．−x=−xC．x−13【答案】C【详解】对于A选项：由−x对于B选项：由6y对于C选项：由指数幂的运算性质，可得x−对于D选项：当x>0时，3(−x)当x<0时，3(−x)显然当x<0时，该项的等量关系不成立，所以D错误.【方法总结】（1）根指数⟵⟶化为分数指数的分母，被开方数（式）的指数⟵⟶（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.【变式2-1】（多选题）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A．6y2=y13（y<0）C．x−13=−3x（x≠0）【答案】BD【详解】当y<0时，6y2>0x−34x−133−x23【变式2-2】用分数指数幂的形式表示下列根式（式中字母都是正数）：(1)3a(2)33(3)3x【答案】(1)ab16；(2)31【详解】（1）3a（2）33（3）3x题型3利用指数幂的运算性质化简【例3】（1）计算：2790.5A．0 B．1 C．100 D．5【答案】C【详解】原式=25（2）已知b>0，16a=b2=64A．3 B．8 C．11 D．14【答案】C【详解】因为16a=64，得42a又因为b>0，b2=64，则b=8，所以【方法总结】关于指数式的化简、求值问题：（1）无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减；（2）仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错.【变式3-1】化简:b⋅a【答案】1【详解】b⋅a13b−12⋅【变式3-2】计算.(1)6a23b1(2)33【答案】(1)3a；(2)10【详解】（1）原式=−6（2）原式=3×=3×=3×3题型4简单的指数方程问题【例4】（1）方程4x−1A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1【答案】C【详解】解：∵4x−1∴x﹣1＝﹣2，∴x＝﹣1．（2）方程4x+1−3×2【答案】x=2【详解】4x+1即为4×令t=2则有4t2−12t−16=0所以2x=4【方法总结】简单的指数方程是指指数里含有未知数的方程.若方程两边可化为同底的幂的形式，根据同底的幂相等的充要条件是指数相等，化指数方程为整式方程.【变式4-1】方程22x+1−9⋅2【答案】{−1,2}【详解】令t=2x，则方程可化为2t2−9t+4=0，解得t=所以，2x=1解得x=−1或x=2.所以，方程的解集为{−1,2}.【变式4-2】解下列方程：81×【答案】x=−【详解】∵81×∴3∴42题型5整体换元法解决条件求值问题【例5】（1）已知x2+x−2=9A．7 B．−7 C．±7 【答案】C【详解】解：由x2+x则x−x−12所以x2（2）已知x+x−1=3，则x−【答案】±【详解】因为x+x−1=3，则x+则x−x−12又注意到x3所以x−x【方法总结】利用整体换元法解决条件求值问题：(1)整体换元法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.(2)利用整体换元法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.【变式5-1】已知x2+x−2=22【答案】2【详解】因为x2+x化简得x2又因为x>1，所以x2故x2【变式5-2】已知x+y=12，xy=9，则x12−【答案】±【详解】因为x+y=12,xy=9，所以x1故x1一、单选题1．若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是（

）A．4a2 B．5a C．5【答案】D【详解】A.式子4a2对于B.式子5a对于a∈C.式子5−a对于a∈D.式子4a对于a<0无意义2．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A．−x=−xC．x−13【答案】C【详解】对于A选项：由−x对于B选项：由6y对于C选项：由指数幂的运算性质，可得x−对于D选项：当x>0时，3(−x)当x<0时，3(−x)显然当x<0时，该项的等量关系不成立，所以D错误.3．1120A．−13 B．13 C．4【答案】D【详解】1=1−4．若2m=5,4n=3A．45 B．75 C．2 D．4【答案】B【详解】4n+m5．借助信息技术计算1+1nnn∈N*的值，我们发现当n=1,2,3,10,100,1000,10000,100000,⋯时1+1nn的底数越来越小，而指数越来越大，随着n越来越大，1+1nA．e B．e2 C．e3 【答案】B【详解】因为1+2当n越来越大时，1+1nn会无限趋近于e，则1+1n2n所以1+1n2n22会无限趋近于6．设x∈R，x表示不超过x的最大整数，若存在实数t，使得t=1，t2=2，…，tn=nA．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【详解】t=1⇒t∈1,2，t2=2⇒t∈2,当t∈2,3时，t因为23<32当t∈33,34时，t因为26=4当t∈33,45时，t=1，因为612=6