初高中数学暑假衔接材料：第一章 集合与常用逻辑用语（暑假单元自测）（原卷版及解析）

11/11第一章集合与常用逻辑用语单元自测卷【人教A版】（考试时间：120分钟试卷满分：150分）考前须知：1．本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟。2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．命题“∀x∈R，x2−2x+6>0A．∃x∈R，x2−2x+6>0 B．C．∀x∈R，x2−2x+6≤0 D．2．已知集合A=x−1<x<2，B=xA．A>B B．A⊆BC．B⊆A D．A=B3．已知p：−3<x−1<2，q：1<x<2，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知集合A=x∈Nx<2，B=−1,0,1,2，则A．−1,0,1 B．−1,0 C．0,1 D．15．下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（

）A．所有的素数都是奇数 B．∃x∈Q，使xC．矩形都有外接圆 D．∀x∈Z,x都有平方根6．设集合A={x∣x<2或x≥4},B=x∣a≤x≤a+1，若∁RA∩B=∅，则A．a≤1或a>4 B．a<1或a≥4C．a<1 D．a>47．若命题“∀x∈R,x2+2mx+m+2≥0A．−∞,−1∪2,+∞ B．−∞8．定义集合的商集运算为AB=x|x=mn,m∈A,n∈B，已知集合A．5 B．6 C．7 D．8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题中正确的有（

）A．∃x<0，xB．∀x∈R，C．∅∈D．集合A=xx=2n−1,n∈Z，集合10．设集合M=xa<x<3+a，N=xx<2或A．若a<−1，则M⊆N B．若1∈M，则−2<a<1C．若M∪N=R，则1<a<2 D．若M∩N≠∅，则1<a<211．下列说法正确的有（

）A．“∃x∈R，使得x2−x+1≤0”的否定是“∀x∈R，都有B．命题“∀x∈R,xC．若命题∃x∈R,x2+4x+m=0为假命题，则实数D．若命题∀x∈R,x2−2x+m>0为真命题，则实数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．已知全集U=2,3,5，A=2,a−5，且13．已知集合A=xx2−4=0，B=xax−2=0，若x∈A14．已知集合A={x|ax2−3x+2=0}至多有一个元素，则a的取值范围_________；若至少有一个元素，则a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）设全集U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，集合A=1,2,3,4,5,B=4,5,6,7,8(1)A∩B,A∪B,∁(2)A∩∁UB16．（15分）设集合U=xx≤5，A=x(1)A∪B；(2)∁U(3)∁U17．（15分）已知集合A=x|m<x<2m，B={x|x≤−5或x>4}(1)当m=3时，求A∪∁(2)在①A⊆∁RB；②A∩B=∅；③A∩18．（17分）已知集合A=x1<x<3，集合(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围；(2)若命题“∀x∈B，都有x∈A”是真命题，求实数m的取值范围；(3)若命题“∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．19．（17分）定义两种新运算“⊕”与“⊗”，满足如下运算法则：对任意的a,b∈R，有a⊕b=ab，a⊗b=ab+1.设全集U=xx=a⊕b+a⊗b,0<a≤b<3且a∈Z,(1)求集合U；(2)求集合A；(3)集合A,B是否能满足∁UA∩B=∅

第一章集合与常用逻辑用语单元自测卷【人教A版】（考试时间：120分钟试卷满分：150分）考前须知：1．本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟。2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．命题“∀x∈R，x2−2x+6>0A．∃x∈R，x2−2x+6>0 B．C．∀x∈R，x2−2x+6≤0 D．【答案】B【详解】命题“∀x∈R，x其否定为：∃x∈R，x2．已知集合A=x−1<x<2，B=xA．A>B B．A⊆BC．B⊆A D．A=B【答案】C【详解】因为x0<x<1所以B⊆A.3．已知p：−3<x−1<2，q：1<x<2，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由−3<x−1<2可得−2<x<3，由于x1<x<2为x故p是q的必要不充分条件，4．已知集合A=x∈Nx<2，B=−1,0,1,2，则A．−1,0,1 B．−1,0 C．0,1 D．1【答案】C【详解】已知A=x∈Nx<2已知B=−1,0,1,2，A和B的公共元素为0,1，因此A∩B={0,1}5．下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（

）A．所有的素数都是奇数 B．∃x∈Q，使xC．矩形都有外接圆 D．∀x∈Z,x都有平方根【答案】C【详解】A选项，素数2不是奇数，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，A选项错误；B选项，“∃x∈Q，使x2C选项，矩形的对角互补，都有外接圆，“矩形都有外接圆”既是全称量词命题又是真命题，C选项正确；D选项，负整数没有平方根，“∀x∈Z,x都有平方根”是全称量词命题，但是假命题，D选项错误；6．设集合A={x∣x<2或x≥4},B=x∣a≤x≤a+1，若∁RA∩B=∅，则A．a≤1或a>4 B．a<1或a≥4C．a<1 D．a>4【答案】B【详解】由集合A={x∣x<2或x≥4}，得∁RA={x∣2≤x<4}，又集合B=x∣a≤x≤a+1且∁RA∩B=∅，则a+1<2或7．若命题“∀x∈R,x2+2mx+m+2≥0A．−∞,−1∪2,+∞ B．−∞【答案】B【详解】由题意得，命题“∃x则Δ=4m2−4m+28．定义集合的商集运算为AB=x|x=mn,m∈A,n∈B，已知集合A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【详解】解：∵集合的商集运算为AB集合S={2,4,6}，T=x|x=∴ST∴ST∴集合ST二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题中正确的有（

）A．∃x<0，xB．∀x∈R，C．∅∈D．集合A=xx=2n−1,n∈Z，集合【答案】AD【详解】对于A，当x=−1时，x2对于B，当x<0时，x2对于C，∅⊆0对于D，因为集合B={x|x=2(n+1)−1,n∈Z}，而A=x10．设集合M=xa<x<3+a，N=xx<2或A．若a<−1，则M⊆N B．若1∈M，则−2<a<1C．若M∪N=R，则1<a<2 D．若M∩N≠∅，则1<a<2【答案】ABC【详解】对于A，若a<−1，则3+a<2，则M⊆N，故A正确；对于B，若1∈M，则a<1<3+a，解得−2<a<1，故B正确；对于C，若M∪N=R，则a<23+a>4，解得1<a<2对于D，若M∩N=∅，则a≥23+a≤4所以若M∩N≠∅，则a∈R，故D错误.11．下列说法正确的有（

）A．“∃x∈R，使得x2−x+1≤0”的否定是“∀x∈R，都有B．命题“∀x∈R,xC．若命题∃x∈R,x2+4x+m=0为假命题，则实数D．若命题∀x∈R,x2−2x+m>0为真命题，则实数【答案】ABC【详解】对于A，“∃x∈R，使得x2−x+1≤0”的否定是“∀x∈R，都有对于B，由x≥x恒成立，则命题“∀x∈R,对于C，若命题“∃x∈R,x2+4x+m=0则Δ=16−4m<0，得m>4，则实数m的取值范围是4,+对于D，命题∀x∈R,x2−2x+m>0则x2−2x+m=0无实根，则Δ=4−4m<0则实数m的取值范围是1,+∞三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．已知全集U=2,3,5，A=2,a−5，且【答案】2或8【详解】因为全集U=2,3,5，A=所以a−5=3，得a=8或a=213．已知集合A=xx2−4=0，B=xax−2=0，若x∈A【答案】−1,0,1【详解】依题意，A=x|若a=0，则B=∅，满足x∈A是x∈B的必要不充分条件.当a≠0时，B=x|x=由于x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以2a=2或解得a=1或a=−1，综上所述，a的所有可能取值构成的集合为−1,0,1.14．已知集合A={x|ax2−3x+2=0}至多有一个元素，则a的取值范围_________；若至少有一个元素，则a【答案】a|a≥98【详解】由题意可知:当A中仅有一个元素时,a=0,或Δ=9−8a=0,解得:a=0,a=9当A中有0个元素时,Δ=9−8a<0,解得:a>9当A中有两个元素时,Δ=9−8a>0,解得:a<9所以,集合A至多有一个元素时的取值范围为:a=0,或a≥9集合A至少有一个元素时的取值范围为:a≤9四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）设全集U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，集合A=1,2,3,4,5,B=4,5,6,7,8(1)A∩B,A∪B,∁(2)A∩∁UB【答案】(1)A∩B=4,5;A∪B=1,2,3,4,5,6,7,8;(2)A∩∁UB【详解】（1）∵A=1,2,3,4,5,B=4,5,6,7,8,∴A∩B=4,5又∵U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，∴（2）∵U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，B=4,5,6,7,8,∵A=1,2,3,4,5,∴A∩∵C=3,5,7,9,16．（15分）设集合U=xx≤5，A=x(1)A∪B；(2)∁U(3)∁U【答案】(1)x−1≤x≤5；(2)xx≤4；【详解】（1）由并集定义知：A∪B=x（2）∵∁UA=（3）∵∁UA=xx<1∴∁17．（15分）已知集合A=x|m<x<2m，B={x|x≤−5或x>4}(1)当m=3时，求A∪∁(2)在①A⊆∁RB；②A∩B=∅；③A∩【答案】(1)A∪∁RB=【详解】（1）当m=3时，A=x|3<x<6因为B={x|x≤−5或x>4}，所以∁R故A∪∁（2）若选①：当A=∅时，m≥2m，m≤0，A⊆∁当A≠∅时，m>0，由A⊆∁RB可得m≥−52m≤4，解得综上，m的取值范围是m|m≤2.若选②：当A=∅时，m≥2m，m≤0，A∩B=∅成立.当A≠∅时，m>0，由A∩B=∅可得m≥−52m≤4，解得−5≤m≤2，所以0<m≤2综上，m的取值范围是m|m≤2.若选③：由A∩∁RB当A=∅时，m≥2m，m≤0，A⊆∁当A≠∅时，m>0，由A⊆∁RB可得m≥−52m≤4解得综上，m的取值范围是m|m≤2.18．（17分）已知集合A=x1<x<3，集合(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围；(2)若命题“∀x∈B，都有x∈A”是真命题，求实数m的取值范围；(3)若命题“∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．【答案】(1)−∞,−2；(2)13【详解】（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A是B的真子集，所以2m≤11−m≥3，解得m≤−2所以实数m的取值范围为−∞（2）若命题“∀x∈B，都有x∈A”是真命题，则B是A的子集．当B=∅时，满足B⊆A，此时2m≥1−m，得m≥1当B≠∅时，若B⊆A，则2m<1−m2m≥1综上，实数m的取值范围为13（3）方法一：“∃x∈A，x∈B”是真命题，则A∩B≠∅，所以B≠∅，所以m<1所以2m<31−m>1m<13，解得m<0，所以实数方法二：“∃x∈A，x∈B”是真命题，则A∩B≠∅．当A∩B=∅时，若B=∅，则m≥1若B≠∅，则m<132m≥3或m<综上，当A∩B=∅时，m≥0．所以当A∩B≠∅时，m<0，即实数m的取值范围为−∞19．（17分）定义两种新运算“⊕”与“⊗”，满足如下运算法则：对任意的a,b∈R，有a⊕b=ab，a⊗b=ab+1.设全集U=xx=a⊕b+a⊗b,0<a≤b<3且a∈Z,(1)求集合U；(2)求集合A；(3)集合A,B是否能满足∁UA∩B=∅【答案】(1)U=3,4,9；(2)A=9；(3)集合A,B能满足∁UA∩B=∅【详解】（1）因为对任意的a,b∈R，有a⊕b=ab，a⊗b=a全集U=xx=a⊕b+a⊗b,0<a≤b<3所以U=因为0<a≤b<3,a,b∈Z，