初高中数学暑假衔接材料：专题拓展：求简单函数值域的五大方法（暑假预习讲义）（原卷版及解析）

2/14专题拓展：求简单函数值域的五大方法方法1：图象法、单调性求函数的值域【例1】（1）函数f(x)=x+2x,x∈[1,3]A．[22,3] B．3,113 C．（2）函数f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（

）A．－1，0 B．0，2C．－1，2 D．12【方法总结】1.单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值（值域）.（1）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f（b），ymin＝f（a）.（2）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f（a），ymin＝f（b）.（3）若函数y＝f（x）有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大（小）值.函数的最大（小）值是整个值域范围内的最大（小）值.2.图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合.（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域.（2）fx的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该f【变式1-1】已知函数fx=2x+1x+1，则fxA．45 B．1 C．65 【变式1-2】给定函数fx=x+1,gx=(x+1)2,x∈R，∀x∈R,用Mx表示fxA．−2 B．0 C．1 D．4方法2：配方法求函数的值域【例2】函数fx=3−−A．0,6 B．0,3 C．−3,3 D．3−【方法总结】配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.【变式3-1】函数y=2x2+4x+5(−2≤x≤1)A．[5,11] B．3,5C．3,11 D．3,+方法3：换元法求函数的值域【例3】函数fx=3−xA．0,1 B．−2,0 C．−2,1 D．−1,2【方法总结】换元法：该法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值（值域）.（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围.（2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的.②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理.【变式3-1】函数fx=x+2x−1A．[0,1） B．12,+∞ C．方法4：分离常数法求函数的值域【例4】若x∈0,2，则函数y=x−2x+1A．−2,0 B．−C．0,1 D．−2,1【方法总结】分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如y=ax+bcx+d或y=ax2+bx+ecx+d第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成y=a第二步，求出函数y=ecx+d在定义域范围内的值域，进而求出【变式4-1】函数y=3x2A．−∞,133 B．3,133方法5：判别式法求函数的值域【例5】函数fx=−【方法总结】判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：y=a【变式5-1】函数f(x)=x+1x2一、单选题1．已知函数fx=2x+1x+1，则fxA．45 B．1 C．65 2．函数fxA．12，15 B．2，5 3．已知函数f(x)的值域为−12，38A．12，7C．78，1 4．函数y=x21+x在区间−A．12,43 B．0,435．函数fx=1−2xA．−∞,−2 B．−∞,−12二、多选题7．下列函数中，值域为R的是（

）A．y=x B．y=xC．y=−3x+1 D．y=8．下列函数中，值域不是0,+∞A．y=x2−2x+1 B．y=C．y=1x2+2x+1（x∈9．已知函数y=fx与y=gx的图象如图所示，则（A．y=fxgx为奇函数 B．y=fC．y=fgx在−∞,0上单调递减 三、填空题10．函数fx=−11．函数fx=2x−112．已知函数f(x)=x−[x]，x∈[−1,2)，其中[x]表示不超过x的最大整数，例[−3.05]=−4，[2.1]=2．则函数fx的值域是___________四、解答题13．求下列函数的值域：(1)y=x(2)y=3

专题拓展：求简单函数值域的五大方法方法1：图象法、单调性求函数的值域【例1】（1）函数f(x)=x+2x,x∈[1,3]A．[22,3] B．3,113 C．【答案】C【详解】因为f(x)在[1,2)单调递减，在故fxmin=f故fxmax=113（2）函数f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（

）A．－1，0 B．0，2C．－1，2 D．12【答案】C【详解】根据图象观察知，f【方法总结】1.单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值（值域）.（1）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f（b），ymin＝f（a）.（2）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f（a），ymin＝f（b）.（3）若函数y＝f（x）有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大（小）值.函数的最大（小）值是整个值域范围内的最大（小）值.2.图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合.（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域.（2）fx的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该f【变式1-1】已知函数fx=2x+1x+1，则fxA．45 B．1 C．65 【答案】D【详解】由fx=2x+1所以f(x)【变式1-2】给定函数fx=x+1,gx=(x+1)2,x∈R，∀x∈R,用Mx表示fxA．−2 B．0 C．1 D．4【答案】B【详解】令fx≥gx，可得x+1≥(x+1)2令fx<gx，可得x+1<(x+1)2，即x所以Mx作出Mx由图象可得Mx方法2：配方法求函数的值域【例2】函数fx=3−−A．0,6 B．0,3 C．−3,3 D．3−【答案】B【详解】由−x2+6x≥0，解得0≤x≤6，所以f令u=−x2+6x=−x−32+9，当则fx=3−−【方法总结】配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.【变式3-1】函数y=2x2+4x+5(−2≤x≤1)A．[5,11] B．3,5C．3,11 D．3,+【答案】C【详解】函数y=2x2+4x+5=2在−2,−1单调递减，在−1,1单调递增，所以x=−1，ymin当x=1，ymax故原函数的值域为3,11.方法3：换元法求函数的值域【例3】函数fx=3−xA．0,1 B．−2,0 C．−2,1 D．−1,2【答案】C【详解】由题意得3−x≥0x−2≥0，解得2≤x≤3，即f(x)的定义域为[2,3]令t=x−2，则t∈[0,1]，所以x=t2则原函数转化为g(t)=1−因为1−t2与−2t在所以g(t)在[0,1]上单调递减，所以g(t)的最大值为g(0)=1，g(t)的最小值为g(1)=−2，所以g(t)的值域为−2,1，即原函数f(x)的值域为−2,1.【方法总结】换元法：该法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值（值域）.（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围.（2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的.②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理.【变式3-1】函数fx=x+2x−1A．[0,1） B．12,+∞ C．【答案】D【详解】令t=2x−1≥1，则可得y=t且y=12t+12开口向上，对称轴为t=−1，可得可知当t=1时，y=1所以y=12t+12的值域为2,+∞方法4：分离常数法求函数的值域【例4】若x∈0,2，则函数y=x−2x+1A．−2,0 B．−C．0,1 D．−2,1【答案】A【详解】y=x−2因为x∈0,2，所以x+1∈1,3，所以所以1−3x+1∈【方法总结】分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如y=ax+bcx+d或y=ax2+bx+ecx+d第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成y=a第二步，求出函数y=ecx+d在定义域范围内的值域，进而求出【变式4-1】函数y=3x2A．−∞,133 B．3,133【答案】B【详解】由y=3x2由于函数fx=x故y=3+1方法5：判别式法求函数的值域【例5】函数fx=−【答案】−【详解】由题知函数的定义域为R，所以，将y=−x2所以，当y=−1时，x=0；当y≠−1时，Δ=1−4y+12所以，y∈−32,−【方法总结】判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：y=a【变式5-1】函数f(x)=x+1x2【答案】3−2【详解】f(x)=x+1令z=x−12，所以y=所以关于z的方程4yz当y=0时，原式为−4z−6=0，解得z=−3当y≠0时，所以Δ=16−4×4y3y−6≥0解得3−23此时，3−233≤y≤∴综上，函数f(x)=x+1x2故答案为：3−2一、单选题1．已知函数fx=2x+1x+1，则fxA．45 B．1 C．65 【答案】D【详解】由fx=2x+1所以f(x)2．函数fxA．12，15 B．2，5 【答案】A【详解】解：∵y＝x2+1在（0，+∞）上单调递增，且y＞1，∴fx∴函数fxf（1）=112+1=3．已知函数f(x)的值域为−12，38A．12，7C．78，1 【答案】C【详解】−12≤f令t=1−2fx1则gx转化为ℎ开口向下，对称轴为t=1，所以ℎt的最大值为ℎ1=1所以gx的值域为7故选：C4．函数y=x21+x在区间−A．12,43 B．0,43【答案】C【详解】令t=x+1,t∈[12,3]，则x=t−1令f(t)=t+1f(t)在[12,1]f(t)=t+1t在t=1处取得最小值又因为f(1因此f(t)=t+1t在t∈[1故y=t+1t−2,t∈[即函数y=x21+x在区间−5．函数fx=1−2xA．−∞,−2 B．−∞,−12【答案】D【详解】令t=1−2x≥0，则t2所以fx=1−2x因为二次函数y=12t当t≥0时，y=1所以函数fx的值域为−二、多选题7．下列函数中，值域为R的是（

）A．y=x B．y=xC．y=−3x+1 D．y=【答案】AC【详解】y=x和y=−3x+1的值域都为R；y=x2−10x−100=y=4x的值域为故选：AC．8．下列函数中，值域不是0,+∞A．y=x2−2x+1 B．y=C．y=1x2+2x+1（x∈【答案】ABC【详解】因为y=x所以函数y=x2−2x+1因为x>0时，y=x+2因为x∈N时，函数y=1x不是区间0,+∞因为1x+1>0，所以函数y=19．已知函数y=fx与y=gx的图象如图所示，则（A．y=fxgx为奇函数 B．y=fC．y=fgx在−∞,0上单调递减 【答案】ACD通过函数的变化趋势可判断D.【详解】由图象知y=fx定义域为R，是偶函数，在−∞,0y=gx定义域为−∞,0∪0,+对于A，y=fxgx又因为f−xg−x对于B，令fx=1−x2<3，但f2g2=1对于C，∀x由图象知gx因为gx在−∞,0又因为fx在0,+∞上单调递减，所以即y=fgx在对于D，记fx与x轴交于点±a,0a>0，与y轴交于点0,b由图可知，当x从−a趋近于0时，fx的函数值从0趋近于bgx的函数值从一个定值趋近于+所以fxgx即fxgx又fx所以y=fxgx三、填空题10．函数fx=−【答案】0,3【详解】由题意可得−x2+4x+5≥0则x+1x−5≤0，解得−1≤x≤5，故函数的定义域为因为−x2+4x+5=−当x=−1或x=5时，−x当x=2时，−x所以0≤−x则0≤fx≤3，从而fx11．函数fx=2x−1【答案】−【详解】因为fx所以函数y=f(x)在(−∞,1所以f(x)12．已知函数f(x)=x−[x]，x∈[−1,2)，其中[x]表示不超过x的最大整数，例[−3.05]=−4，[2.