1.1.2空间向量的数量积

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1.1.2空间向量的数量积内容导图内容导图预览新知要点探究新知要点探究知识点1空间向量的数量积运算1.空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b范围0≤〈a，b〉≤π向量垂直如果〈a，b〉=π2，那么向量a，b互相垂直，记作a注意点：对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉=〈b，a〉；②〈-a，b〉=〈a，-b〉=π-〈a，b〉；③〈-a，-b〉=〈a，b〉.2.(1)空间向量的数量积已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b=|a||b|cos〈a，b〉.零向量与任意向量的数量积为0，即0·a=0.(2)运算律数乘向量与数量积的结合律(λa)·b=λ(a·b)，λ∈R交换律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c3.向量的投影(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c=|a|cos〈a，b〉b|b|，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量A'B'，向量A'B'称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，A'B'的夹角就是向量a所在直线与平面注意点：(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定.①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律.即a·b=a·cb=c，(a·b)·c≠a·(b·c).知识点2空间向量数量积的性质设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e=e·a=acosθ.

(2)a⊥b⇔a·b=0.(3)当a，b同向时，a·b=ab；当a，b反向时，a·b=-ab(4)a·a=|a|2或|a|=a·(5)|a·b|≤ab(6)cosθ=a·以上性质说明，可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题.思路方法总结思路方法总结1、求两个向量的夹角有两种方法：方法一：（1）结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小；（2）先求，再利用公式求，最后确定．方法二：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小．2、求空间向量数量积的步骤：第一步：将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；第二步：利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；第三步：根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；第四步：代入求解．3、空间向量的模长在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：．将其推广：4、利用向量法证明垂直关系的步骤第一步：将已知的几何问题转化为向量问题；第二步：用已知夹角和模的向量表示所证向量；第三步：结合向量数量积公式及运算律证明向量的数量积为0；第四步：将向量问题回归到几何问题，得到几何结论．典例·举一反三典例·举一反三题型一数量积的概念及运算律1．设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：①；②；③；④.其中正确的个数为（

）A． B． C． D．2．已知，是空间中的任意两个非零向量，则下列各式中一定成立的是（

）A． B．C． D．题型二求向量的数量积3．已知向量是空间中三个两两垂直的单位向量，，则的值为（

）A．0 B．-20 C．20 D．404．已知向量和的夹角为，且，，则等于（

）A．12 B． C． D．5．棱长为的正四面体中，点是的中点，则（

）A． B． C． D．6．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，，则（

）

A．4 B．5 C．6 D．87．已知是棱长为的正方体，与相交于点，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．8．在三棱锥中，，则是（

）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形9．已知四棱柱的底面是矩形，，，，为棱的中点，则.10．已知空间向量满足，，，，则的值为.题型三向量的夹角及应用11．已知向量，，满足，且，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．12．空间四边形中，，，则的值是（

）A． B． C． D．013．如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．14．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，则是（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定15．如图，在直三棱柱'中，，，，分别为，的中点.（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值.题型四向量垂直问题16．已知a，b是异面直线，，分别为取自直线a，b上的单位向量，且，，⊥，则实数k的值为（

）A． B．6 C．3 D．17．已知向量满足条件：，，且与互相垂直，则（

）A．30° B．45°C．60° D．90°18．已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（

）A． B． C． D．19．如图，在正四棱锥中，，点为的中点，．若，则实数为（

）A．2 B．3 C．4 D．520．如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．

(1)用向量表示向量；(2)利用向量法证明：．题型五利用数量积求模21．已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则（

）A． B． C．2 D．22．如图，二面角的大小为，棱上有两点，线段，，，.若，，，则线段的长为（

）A． B． C． D．23．如图所示，已知平面，则．24．如图所示，平行六面体中，，，，，，求的长．25．如图，正三棱柱中，底面边长为.(1)设侧棱长为，求证：；(2)设与的夹角为，求侧棱的长．26．如图，已知线段平面，平面，且，D与A在的同侧，若，求A，D两点间的距离.27．如图所示，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，.设，，.(1)试用，，表示向量；(2)若，，，求的长.题型六投影向量28．已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．29．如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（

）.

A． B． C． D．30．在空间四边形中，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．31．已知平面非零向量，，下列结论正确的是（

）A．若存在非零向量使得，则B．已知向量，则在方向上的投影向量是C．已知向量与的夹角是钝角，则k的取值范围是D．若{，}是它们所在平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数题型七数量积最值范围问题32．正四面体的棱长为，点，是它内切球球面上的两点，为正四面体表面上的动点，当线段最长时，的最大值为（

）A．2 B． C．3 D．33．如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（

）A．6 B．8 C．10 D．1234．如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（

）A．B．C．四边形的面积为D．平行六面体的体积为35．已知正四面体的棱长为，空间内任一点满足，则下列关于的结论正确的是（

）A．最小值为B．最大值为C．最小值为 D．最大值为36．如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为．37．已知正四面体的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的动点，且满足，则线段EF长度的最小值为.38．在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①，，且、和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；（2）的模（表示向量、的夹角）．在正方体中，有以下四个结论，其中不正确的是（

）A． B