1.2++空间向量基本定理+教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 - 副本

人民教育出版社A版选择性必修一教学设计空间向量基本定理空间向量的正交分解；空间向量基本定理及其证1.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，并学会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底表示其他向量，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养；2.理解单位正交基底，正交分解的概念，并能够将向量进行正确的正交分解，解决相关问题，提升学生的数学抽象素养以及提高学生解决问题的能力；3.理解空间向量基本定理的意义，培养学生数学抽象的核心素养.重点：空间向量基本定理，定理的猜想和证明过程.难点：空间向量基本定理“唯一性”的证明.（一）AI赋能，唤醒旧知教师提问“平面向量基本定理的内容是什么？”引导学生回忆“平面内任意向量可由两个不共线向量线性表示，且表示式唯一”。同时，通过GeoGebra软件实时展示平面内向量的分解过程，点击屏幕即可调整基底和待分解向量，直观呈现定理内涵。(强调两个向量一定共面，三个向量可能共面，可能异面)展示无人机飞行轨迹图，提问“无人机在三维空间中的位移向量，能否用类似平面的方式表示？需要几个‘基准向量’？”。播放AI生成的三维空间向量动态视频，展示空间中向量的复杂运动，引发学生思考“平面到空间的推广逻辑”。这三个空间向量是不共面的,那么这三个空间向量能否表示空间中的其它向量呢?设计意图：根据生活中的实例，引出空间向量基本定理这一课题，培养学生学习的兴趣（二）探究新知任务1：探究空间向量基本定理的内容.思考：类比平面内任一向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示（平面向量基本定理），任意一个空间向量是否也能用任意三个不共面的向量a，b，c来表示呢？合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.探究：AI模拟，直观感知组织学生分组操作：每组通过GeoGebra3D软件，自主设定三个不共面的向量（如以正方体顶点为起点的棱向量i，j，k），再任意构造空间向量p，使p=xi+yj+zk软件实时显示向量合成过程，发现“无论p如何变化，都能找到唯一一组x，y，z。(1)情形一：如图(1)所示，空间中三个不共面的向量两两互相垂直时,OP能用这三个向量唯一表示吗？情形二：如图(2)所示，空间中任意三个不共面的向量时，OP能用这三个向量唯一表示吗？ 图1 图2情形一：空间中三个不共面的向量两两互相垂直时，如右图，设i，j，k是空间中三个两两互相垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O.对于任意一个空间向量p=OP，设OQ为OP在i，j所确定的平面上的投影向量，则OP=OQ+QP.又向量QP，OP而在i，j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(xOQ=x从而OP因此，如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量p，存在有序实数组(xp我们称xi，yj，zk分别为向量p在i，j情形二：空间中任意三个不共面的向量时，活动一（验证“存在性”）：在预设的3D坐标空间中，任意拖动一个目标向量p。提供三个可调整的不共面向量a,b,c作为基底。尝试用a,b,c的线性组合去“匹配”目标向量p。设a，b，c不共面，过点O作OA=a，OB=b，过点P作直线PP'平行于OC交平面OAB于点P'过点P'作直线P'A'∥OB，P'B'存在三个数x，y，z，使得OA'=xOA=xa从而OP=因此，如果a，b，c是空间中任意三个不共面的向量，那么对任意一个空间向量p，存在有序实数组(xp=x活动二（理解“唯一性”）：教师提问：“表示法唯一吗？如果我们找到一组（x,y,z），还能找到另一组吗？”平台设置一个“锁定”的向量p。学生尝试输入不同的x,y,z组合，看看能否得到同一个p。AI会显示“此组合已偏离目标”或进行逻辑提示：“如果存在两组解，会导致什么矛盾？（引导出共面假设的冲突）”。追问：用不共面的三个向量a，b，c表示空间内任一向量p，存在有序实数组(x，y答：唯一.如何证明唯一性，学生思考。AI辅助提供证明方法。设另有一组实数x0，y0，z0则x∴(x−∵a，b，c∴x−x0=y−y0故实数x，y，z是唯一的.因此，类似平面向量基本定理，我们也有空间向量基本定理.即如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(xp如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+提示1：空间任意不共面的向量都可以构成空间的一个基底.提示2：{a，b，c}是空间中的一个基底，则设计意图：先从空间中三个不共面的向量两两互相垂直这一特殊情况进行分析，再分析空间中任意三个不共面的向量的情形，从特殊到一般，层层递进，引出空间向量基本定理的内容，强化学生对抽象概念的理解，并加强对空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示的理解，培养学生数学抽象的核心素养.任务2：探究单位正交基底及空间向量的正交分解思考：探究(1)中，空间中的三个基向量{i，合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk追问：空间中任意三个不共面的单位向量，都可以构成单位正交基底吗？答：不可以，还需满足三个向量两两垂直.设计意图：通过具体的例子，让学生领会用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量的方法，强化直观想象的核心素养.（三）应用举例例1若a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是(

A.b+c，b，b−c B.a，a+b，a−b

C.a+b，提示：根据三个向量共面的充要条件为一个向量可以表示为另外两个向量的线性组合逐项判定.对A：(b+c)+(b−c)−2b=0，因此A不满足题意；

对B：2a=a+b+a−b，选项B不满足题意；

对C：根据题意知道a，b，c不共面，而a+b和例2如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，点M是底面△A1B1C1的重心，若AAA.a+13b+13cB.1提示：利用重心定理先求出A1M，再利用解：连接A1M并延长交B1C1于D点，

因为M为底面△A1B1C1的重心，则D为B1C1的中点，

所以例3如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=12ON，AP=34AN，用向量OA解：OP====【反思总结】选用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量的方法：用基底表示向量时：(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律；(2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便表示其他的向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.例4如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别在(1)证明A、E、C1、F四点共面(2)若EF=xAB+y

提示：(1)通过证明AC1=AB+AD+AA1=AE解：(1)证明：∵=AB=(AB=AB=AE+AF，

所以A所以A、E、C1、F四点共面；

(2)AF=AD+DF=AD+34DD1=AD+34AA设计意图：通过例题，熟悉空间向量基本定理及选用基底表示空间中任一向量，提高学生学以致用的能力．（四）课堂练习1.在正方体ABCD−A1B1A.{AB,AC,AD} B.AB解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中

因为AC=AB+AD，所以AB,AC,AD共面，

故{AB,AC,AD}2.已知a，b，c是不共面的三个向量，则下列能构成空间的一个基底的一组向量是(

)．A.2a，a−b，a+2b B.2b，b−a，2a+b

C.解：因为在C中，a，2b，a−c不共面，而A、B、D故选：C.3.如图，三棱锥O−ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M为BC中点，点N满足ONA.12a−13b−23c B.12a−13b+23c

C.23a−12b−124.已知{e1,e2,e3}(2)已知空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC的中点， ①MN解：(1)假设OA，OB，OC共面．则存在不全为0实数λ，μ使得OA=∴e∵e1，e2∴−3λ+μ=1∴OA，OB，OC不共面，∴(2)如图所示，

 ①MN②OF=1=1=1=15.已知a,b,c是空间的一个基底，且OM=2a+(1)求证：M

，A

，B

，C

四点共面；(2)OA,OB,OC【答案】解：(1)由AB=OB−而AM=OM−所以M

，A

，B

，C

四点共面；(2)若OA,OB,OC共面，则所以3a+3b=(2m−n)所以OA=98设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固空间向量基本定理，加深理解，并能够灵活运用.（五）归纳总结【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？（六）布置