【数学】江苏连云港市灌南县2025-2026学年度高二第一学期期末学业水平质量监测试题(解析版)

连云港市灌南县2025-2026学年度高二第一学期期末学业水平质量监测数学试题一、单项选择题（共8小题满分40分）1.已知集合，，则（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，所以.故选：B.2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，又因为，代入解得，由，因为，所以.故选：C.3.已知方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以，解得，所以实数m的取值范围是.故选：A.4.已知两直线平行，则与间的距离为（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】由得，当时，，所以曲线在点处的切线方程为，即，由，得，所以，解得.故选：D.6.已知、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】如图，作出符合题意的图形，根据双曲线的定义，可得，是等边三角形，即，即，又，，中，，，即解得由此可得双曲线的离心率故选：C．7.已知，，，则、、的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据式子结构，构造函数，则，令，则，令，得，因此在单调递增，在单调递减，而，，，因为，所以，即故选：D.8.已知，，，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为数列是正奇数数列，对于数列，当为奇数时，设，则，为奇数；当为偶数时，设，则，为偶数，所以，，所以，故选：D．二、多项选择题（共3小题满分18分）9.设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（）A. B.的最大值为C.当时，的最大值为13 D.数列前项和为，最大【答案】ABD【解析】对于A，若，则为递增数列，所以，与矛盾，若，则为常数列，所以，，与矛盾，若，则为递减数列，则，由，可得，合乎题意，故A正确，对于B，由已知得，且为递减数列，则数列的前项均为正数，从第项开始出现负数，可得的最大值为，故B正确，对于C，由A可知，，，得到，，则当时，的最大值为，故C错误，对于D，由题意得，则，则，得到数列为等差数列，且其首项为，公差为，由，得，由得，，由得，，即，令，，则等差数列为递减数列，且，，，得到数列前项和为，最大，故D正确.故选：ABD.10.设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交于，两点，以为圆心，为半径的圆交于两点．若，则（）A. B.直线的斜率是C. D.的面积是【答案】BCD【解析】对于A，以为圆心，为半径的圆交准线于两点,且故,所以是等边三角形，所以，设准线与轴交于点,则，故故A错误；对于B，因为,平行于轴，故，故当点位于第一象限时，直线的倾斜角为；当点位于第四象限时，直线的倾斜角为；所以直线的斜率是，故B正确；对于C，因为直线的斜率是，且抛物线，故直线的方程为：，联立方程得：，即设则，故，故C正确；对于D,由A知，，故故,故D正确.故选:BCD.11.已知函数，则下列结论正确的有（）A.共有3个零点B.既存在极大值，也存在极小值C.若时，，则的最大值为2D.若函数有2个零点，则【答案】BCD【解析】令，因为恒成立，所以只需．可得，即有个零点，所以选项错误．

对求导，可得．令，即，因为恒成立，所以，解得或．当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以是极小值点，是极大值点，既存在极大值，也存在极小值，选项正确．

由前面分析可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，．当时，，若时，，则的最大值为，选项正确．

函数有个零点，即与的图象有个交点．，结合函数单调性和极限情况可知，当时，与的图象有个交点，选项正确．

故选：BCD.三、填空题（共3小题满分15分）12.已知复数，则__________.【答案】【解析】，.故答案为：.13.已知直线与双曲线交于、两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是__________．【答案】【解析】设，，则，，，因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，则，，故双曲线的渐近线方程是，经验证此时直线与双曲线有两个交点.故答案为：.14.若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】由，求导可得，令，可得：或，当时，即，恒成立，在定义域上单调递减，不符合题意；当时，因为，所以，由，得，由，得或，即在和单调递减，在单调递增，即函数在处取得极小值，不符合题意；当时，因为，所以，由，得，由，得或，即在和单调递减，在单调递增，即函数在处取得极大值，符合题意；综上实数的取值范围为，故答案为：.四、解答题（共5大题满分77分）15.已知，，分别为的内角，，的对边，且.（1）求；（2）若的面积为，边上的高为3，求.解：（1）根据条件，由正弦定理，得，即，即，因为在中，，所以，又因，所以（2）因为的面积为，所以，得，由，即，所以.由余弦定理，得，即，化简得，所以，即，所以.16.已知圆的圆心在直线上且与轴相切于点．（1）求圆的标准方程；（2）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程．解：（1）因为圆与轴相切于点，所以圆心的横坐标为5，又因为圆的圆心在直线上，则圆心的纵坐标为4，即，则圆的半径，所以圆的方程为．（2）设圆心到直线的距离为，则，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，不满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即．则，解得或0，所以直线的方程为或．综上所述，直线的方程为或.17.已知数列中．（1）证明：数列是等比数列；（2）若数列的通项公式为，求数列的前项和；（1）证明：由，得，即，又，有，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.（2）解：由（1）得，则有，，，①-②得，，即.18.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求的方程；（2）过的右焦点的直线交于两点，线段的垂直平分线交于两点．①证明：四边形的面积为定值，并求出该定值；②若直线斜率存在且不为0，设线段的中点为，记，的面积分别为．当时，求的最小值．（1）解：根据题意，得，解得，所以椭圆的方程为．（2）（ⅰ）证明：设四边形的面积为，由（1）得，椭圆的焦点，因为直线的垂直平分线段，所以，当直线与轴重合时，此时，，．由圆的性质知直线过坐标原点，由椭圆的对称性知．当直线与轴不重合时，设直线方程为．，，．，则直线的方程为，联立椭圆方程，得，解得．．．综上所述，四边形的面积为定值．（ⅱ）解：易知，，又，直线斜率存在且不为0，．由（ⅰ）知，设，则，．当且仅当，即时，等号成立，此时．故的最小值为．19.已知函数（1）若，讨论的单调性;（2）若有两个极值点，求实数a的取值范围；（3）当时，设函数为的导函数.证明：对任意的，有（1）解：当，，所以，显然或时，，即此时单调递增；时，，即此时单调递减；所以在上单调递增，在上单调递减；（2）解：易知，若有两个极值点，等价于有两个不同的变号零点，令，即有两个不同的变号零点，则，易知时，，或时，