【数学】辽宁省名校联盟2025-2026学年高二下学期3月联考试题(解析版)

辽宁省名校联盟2025-2026学年高二下学期3月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在某项测量中，测量结果服从正态分布，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.5【答案】D【解析】服从正态分布，所以由正态分布的对称性知．2.经过点，且与直线平行直线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设与直线平行的直线方程为，因为点在直线上，所以，解得，所以所求直线方程为．3.统计学中，常用的显著性水平以及对应的分位数如下表所示．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828在检验与是否有关的过程中，根据已知数据计算得，则（）A.在犯错误的概率不超过1的前提下，可以认为与有关B.在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为与有关C.有的把握认为与有关D.有把握认为与有关【答案】C【解析】因为，所以，所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为与有关或有的把握认为与有关．4.如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为（）A. B. C. D.5【答案】B【解析】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意可知，又因为是的中点，所以的坐标为，点满足，所以的坐标为，从而．5.如图，在六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种植1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的种植方案种数为（）A.48 B.96 C.120 D.192【答案】C【解析】先分组，再种植，共有5种分组方式，同组种植一种植物，则不同的种植方案种数为．6.已知曲线，则下列结论错误的是（）A.曲线关于直线对称 B.曲线关于原点中心对称C.曲线的长度为 D.曲线有两条对称轴【答案】C【解析】由已知，解得，若，则等式一定不成立，若，等式两边平方化简得，即，故曲线如图所示，则曲线关于直线和都对称，即曲线有两条对称轴，且关于原点中心对称，曲线的长度为，所以选项ABD正确，选项C错误.7.某种细胞如果不能分裂则死亡，并且一个细胞死亡的概率为，分裂为两个细胞的概率为．现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】一个细胞的谱系经过两轮演化后仍存活的概率为，因此两个细胞经过两轮演化后还有细胞存活的概率是．8.已知直线，椭圆，点在上，过点作平行于交于点，过点作平行于交于点，若的长为定值，则离心率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当为上顶点时，，联立，解得，所以；当为右顶点时，联立，解得，所以，，因为的长为定值，所以即，所以离心率．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在空间直角坐标系中，为坐标原点，若点，则下列叙述正确的有（）A.点关于轴的对称点是B.点关于平面的对称点是C.点关于轴的对称点是D.点关于原点的对称点是【答案】ABD【解析】由空间直角坐标系对称性知：点关于轴的对称点是，点关于平面的对称点是，点关于轴的对称点是，点关于原点的对称点是.所以选项ABD正确，选项C错误.10.随机变量服从参数为的二项分布，即，其概率分布可用下图直观地表示，则（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】由概率分布直观图可知可以取0，1，2，3，4，所以，故A项错误；又，所以，故B项正确；又，所以，故C项错误；，故D项正确．11.已知集合，且，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，作图如下，设．对于A项，两圆相交，有，即，A项错误；对于B项，，，，B项正确；对于C项，将两个圆的方程作差，可得所在直线的方程为，根据点在该直线上，可得，C项正确；对于D项，线段与线段互相平分，于是，则两式相加得，由C项及圆的方程得，即，D项正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.抛物线的准线方程为______.【答案】【解析】抛物线的标准方程是，所以准线方程是.13.若．则___________．（用数字作答）【答案】4960【解析】因为的展开式的通项公式为，所以由题可得．14.从正2025边形的顶点中任取若干个，使之能作为正边形的顶点，则的不同选法共有___________种．【答案】14【解析】正2025边形的顶点共有2025个，它们是正2025边形外接圆的等分点，由题意可知正边形的顶点是正2025边形的顶点，且正边形的顶点也是上述圆的等分点，正2025边形的相邻顶点所在劣弧所对应的圆心角为，正n边形的相邻顶点所在劣弧所对应的圆心角为，因为正边形的顶点是正2025边形的顶点，所以（k为正整数），所以，所以正边形的一定是2025的因数，且不小于3，而，因数有个，不能是1，所以满足题意的有14个．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段的中点．（1）求平面与平面夹角的正弦值；（2）线段上是否存在一点，使得？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．解：（1）由平面且四边形为矩形可得两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令得，则，因为平面，所以平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以，，所以，所以平面与平面夹角的正弦值为．（2）假设存在满足题意的点，因为在线段上，有，即，所以，则，因为，所以，解得，即存在满足题意的点．16.袋中有除颜色外均相同的6个红球，7个黑球，若从中任取3个．（1）求恰有1个红球的概率；（2）设3个球中，黑球的个数为，求的分布列及数学期望；（3）当3个球均为一种颜色时，求这种颜色为黑色的概率．解：（1）设从袋中任取3个球恰有1个红球为事件，则.（2）的可能取值为0，1，2，3，，，的分布列为0123．（3）设从袋中任取3个球为一种颜色为事件，则，设从袋中任取3个球都为黑色为事件，则，则所求概率．17.设直线与椭圆相交于两个不同的点，与轴相交于点，为坐标原点．（1）证明：；（2）若，求面积取得最大值时的椭圆方程．（1）证明：联立直线与椭圆方程消得，，即，所以．（2）解：，设，因为，所以，可以得到由（1）知，则，，当且仅当时等号成立，此时，则，所以面积取得最大值时的椭圆方程为．18.已知与及与的成对数据如下表，且关于的回归直线方程为．0.10.40.91.62.53.64.91468910149162536490479111213（1）求关于的回归直线方程；（2）由散点图发现可以用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（的值精确到0.01）；（3）又得到一组新数据，根据这对数据残差的绝对值的大小判断（1）（2）两个方程哪个拟合效果更好．参考数据：．参考公式：对于一组数据，其回归直线方程为，其中．解：（1）由表中数据得，则，，又关于的回归直线方程为，则，即关于的回归直线方程为．（2）若用函数模型拟合与的关系，则令，此时，则，即，又，所以关于的回归方程为．（3）（1）中关于的回归直线方程为，所以当时，，残差为，（2）中关于的回归方程为，所以当时，，残差为，因为，所以（2）中方程的拟合效果更好．19.已知抛物线的顶点和双曲线的中心为坐标原点，该抛物线与双曲线在轴上有共同的焦点，且都经过点．（1）求抛物线和双曲线的标准方程；（2）动直线过点，交抛物线于两点，记以线段为直径的圆为圆，求证：存在垂直于轴的直线被圆截得的弦长为定值，并求出直线的方程；（3）设为双曲线左顶点，为第一象限内双曲线上的任意一点，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（1）解：设抛物线的方程为，将点代入抛物线方程，得，所以抛物线的方程为；设双曲线的标准方程为，因为抛物线的焦点坐标为，双曲线与抛物线在轴上有共同的焦点，则双曲线的右焦点坐标为，则另一个焦点坐标，故，又在双曲线上，根据双曲线的定义知，所以，故双曲线的标准方程为．（2）证明：由题意得的中点为，设的方程为，以线段为直径的圆交于两点，的中点为，则；设，则，且，则，因为为直角三角形，且，所以，所以，显然当时，，所以弦长为定值，故存在垂直于轴的直线（即直线），被圆截得的弦长为定值，直线的方程为．（3）解：已知双曲线方程为，其左顶点为，右焦点为，设为第一象限内双曲线上任意一点（），满足，即；当轴时，，代入双曲线方程：，此时点的坐标为；，，故等腰直角