2027届新高考数学精准突破复习+函数的奇偶性、周期性与对称性

2027届新高考数学精准突破复习函数的奇偶性、周期性与对称性【课标要求】1.理解函数奇偶性的概念，了解函数周期性的定义，判断函数的奇偶性.2.利用函数奇偶性、周期性求函数值及参数值.3.掌握函数的单调性与奇偶性的综合应用.【知识要点】1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数关于_____对称奇函数关于______对称

原点2.函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有

，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个

，那么这个

就叫做f(x)的最小正周期.

f(x+T)=f(x)最小的正数最小正数3.函数图象的对称性

【基础检测】概念辨析1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0.(

)(2)对于函数y=f(x)，若存在x，使f(-x)=f(x)，则函数y=f(x)一定是偶函数.(

)(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.(

)(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.(

)(5)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(

)[解析](1)f(0)=0的前题是0在定义域内.××√√×教材改编2.[必修1p86T11]已知奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=2x-m(m为常数)，则f(-2)=(

)A.1 B.2

C.-3 D.3C[解析]

由于f(x)是奇函数，所以f(0)=20-m=1-m=0，即m=1，即x≥0时，f(x)=2x-1，所以f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.故选C.3.[必修1p85T1]设奇函数f(x)的定义域为[-5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为

.

(-2，0)∪(2，5][解析]

由图象可知，当0<x<2时，f(x)>0;当2<x≤5时，f(x)<0，又f(x)是奇函数，∴当-2<x<0时，f(x)<0;当-5≤x<-2时，f(x)>0.综上，f(x)<0的解集为(-2，0)∪(2，5].

C[解析]

对于选项A，D，其定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数;对于选项B，当x=-1时，y=0，而当x=1时，函数无意义，故选项B也是非奇非偶函数;对于选项C，令y=f(x)=0，无论x取何值都满足f(-x)=f(x)=0.5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)-f(x)=0，当x∈(0，2]时，f(x)=log4x，则f(2026)=

.

考点1函数奇偶性的判断

(2)显然函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称.因为当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);当x>0时，-x<0，则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x);综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立，所以函数f(x)为奇函数.

[小结]1.判断函数的奇偶性的三种方法(1)定义法:(2)图象法:

偶函数

巩固训练2.定义域均为R的函数f(x)，g(x)满足f(x)=g(x-1)，且f(x-1)=g(2-x)，则一定正确的是(

)A.f(x)是奇函数

B.f(x)是偶函数C.g(x)是奇函数

D.g(x)是偶函数D[解析]

因为f(x-1)=g(2-x)，所以f(-x+1-1)=g(2-(-x+1))，即f(-x)=g(1+x)=g(x+2-1)=f(x+2)，所以f(x)关于直线x=1对称，因为f(x)=g(x-1)，所以g(x)关于直线x=0对称，即g(x)为偶函数.考点2函数奇偶性的应用角度1.利用奇偶性求(最)值(解析式)例2

(1)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x+lnx，则当x<0时，f(x)=

.

x-ln(-x)[解析]

当x<0时，-x>0，故f(-x)=-x+ln(-x)，又y=f(x)是定义在R上的奇函数，故f(-x)=-f(x)，所以-f(x)=-x+ln(-x)，故f(x)=x-ln(-x).(2)已知函数f(x)=(ex-e-x)cosx+2在[-1，1]上的最大值和最小值分别为M，N，则M+N=(

)A.-2 B.0

C.2

D.4D[解析]

令g(x)=f(x)-2=(ex-e-x)cosx，则g(x)的最大值和最小值分别为M-2，N-2，又g(-x)=(e-x-ex)cos(-x)=(e-x-ex)cosx=-g(x)，所以g(x)为奇函数，故g(x)的图象关于原点对称，故M-2+N-2=0⇒M+N=4.角度2.利用奇偶性解不等式

B

角度3.利用奇偶性求参数值(范围)例4已知定义域为[a-8，a+2]的奇函数f(x)=2026x3-5x+b+3，则a+b的值为

.

0[解析]

因为奇函数f(x)=2026x3-5x+b+3的定义域为[a-8，a+2]，所以(a-8)+(a+2)=0，解得a=3，又因为f(-x)=-2026x3+5x+b+3=-f(x)=-2026x3+5x-b-3，所以b=-3，所以a+b=0.[小结]已知函数奇偶性可以解决以下问题:(1)求函数值,将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)画函数图象,利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象.(3)求函数解析式:①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围;②将转化后的自变量代入已知解析式;③利用函数的奇偶性求出解析式.(4)求参数值:在定义域关于原点对称的前提下,根据奇函数满足f(-x)=-f(x)或偶函数满足f(-x)=f(x)列等式,根据等式两侧对应相等确定参数的值.特别要注意的是:若能够确定奇函数的定义域中包含0,可以根据f(0)=0列式求解,若不能确定则不可用此法.[注意]已知f(x)=奇函数+M,x∈[-a,a],则f(-x)+f(x)=2M,f(x)max+f(x)min=2M.3.已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=-ex，则当x>0时，f(x)=

.

e-x[解析]

当x>0时，-x<0，故f(-x)=-e-x，因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)，即-f(x)=-e-x，所以f(x)=e-x.巩固训练

A

A

考点3函数的周期性及应用例5已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)+f(2-x)=2，f(1+x)=f(3-x)，f(2)=-1，则=

.17[解析]

由f(1+x)=f(3-x)，可得f(2+x)=f(2-x)，即函数f(x)是关于直线x=2对称，又f(x)+f(2-x)=2，所以f(x)+f(2+x)=2，①则f(2+x)+f(4+x)=2，②由①②知，f(x)=f(4+x)，即函数f(x)是周期为4的函数.令x=0，则f(0)+f(2)=2，又f(2)=-1，即f(0)=3，则f(4)=f(0)=3，令x=1，则f(1)+f(1)=2，即f(1)=1，则f(3)=f(1)=1，所以=5[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]-f(4)=5[1+(-1)+1+3]-3=17.[小结](1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)即可,且周期为T.(2)根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的整体性质,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.(3)在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.6.(2025·重庆·二模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=f(x-2).若f(1)=2，则

f(k)=(

)A.-2 B.0C.2 D.4C[解析]

因为f(x+2)=f(x-2)，可得f(x+4)=f(x)，可知函数f(x)的一个周期为4，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0，则f(x+4)=f(x)=-f(-x)，即f(x+4)+f(-x)=0，令x=-1，可得f(3)+f(1)=0;令x=-2，可得f(2)+f(2)=0，即f(2)=0，则f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0，所以

f(k)=f(1)+f(2)+2×0=2+0+0=2.故选C.巩固训练考点4函数的对称性及应用例6

(1)(多选)设f(x)的定义域为R，给出下列四个命题，其中正确的是(

)A.若f(1+x)+f(1-x)=2，则f(x)的图象关于点(1，1)对称B.若y=f(x+2)为偶函数，则y=f(x)的图象关于直线x=2对称C.若f(2+x)=f(x-2)，则y=f(x)的图象关于直线x=2对称D.若f(2-x)-f(x)=0，则y=f(x)的图象关于直线x=1对称ABD[解析]A.因为f(1+x)+f(1-x)=2，所以函数f(x)的图象关于点(1，1)对称，故A正确;B.因为y=f(x+2)为偶函数，所以函数y=f(x+2)的图象关于y轴对称，因此y=f(x)的图象关于直线x=2对称，所以B正确;C.因为f(2+x)=f(x-2)，所以f(x-2)=f(2-x)不一定成立，即f(2+x)=f(2-x)不一定成立，所以y=f(x)的图象不一定关于直线x=2对称，因此C错误;D.由f(2-x)-f(x)=0，则f(2-x)=f