2027届新高考数学精准突破复习函数性质的综合应用

2027届新高考数学精准突破复习函数性质的综合应用考点1函数的奇偶性与单调性

D[解析]

因为奇函数f(x)在R上有定义，所以f(0)=0，所以f(m-2)<-f(m)=f(-m)，因为f(x)在R上单调递减，所以m-2>-m，解得m>1.故选D.(2)已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(-∞，0)，均有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，若a=f(-1)，b=f(3)，c=f(2)，则a，b，c的大小关系是(

)A.c<b<a

B.a<c<bC.a<b<c

D.c<a<bB

[小结](1)解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x)),利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组).(2)比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用其单调性比较大小.1.已知f(x)为定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上单调递减，则满足不等式f(2a)<f(4a-1)的a的取值范围是

.

巩固训练

考点2函数的奇偶性与周期性例2定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)，则f(2026)=(

)A.0 B.4 C.-2 D.-4A[解析]

因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)，所以f(x+1)=-f(x-1)，f(2)=-f(0)=0，所以f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1)，即f(x+4)=f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，且2026=4×506+2，所以f(2026)=f(2)=0.故选A.[小结]周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解.3.已知函数f(x)的定义域为R，f(x+2)为偶函数，f(x+1)为奇函数，则f(2025)=

.

0[解析]

由f(x+2)为偶函数，f(x+2)=f(-x+2)，即f(x)=f(4-x)，由f(x+1)为奇函数，f(x+1)=-f(-x+1)，即f(x)=-f(2-x)，所以f(4-x)=-f(2-x)，即f(4+x)=-f(2+x)，即f(x+2)=-f(x)，所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，即f(x)是周期为4的函数，所以f(2025)=f(4×506+1)=f(1)，又f(1)=-f(2-1)⇒f(1)=0，所以f(2025)=0.巩固训练考点3函数的奇偶性与对称性例3

(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)+f(x)=0，则(

)A.f(x)的图象关于直线x=1对称B.f(3)=0C.函数f(x-1)为偶函数D.函数f(x+1)为奇函数BD[解析]

因为函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)关于y轴对称，且f(2-x)=f(x-2)，又f(2-x)+f(x)=0，所以f(x-2)+f(x)=0，且f(x-2)=-f(x)=-[-f(x+2)]=f(x+2)，所以函数f(x)周期为4，且函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，A选项错误;所以f(3)=f(-1)=f(1)=0，B选项正确;由f(x)为偶函数及关于点(1，0)对称知，f(x)也关于点(-1，0)对称，又f(x-1)是由f(x)向右平移一个单位得到，则f(x-1)关于点(0，0)对称，为奇函数，C选项错误;f(x+1)是由f(x)向左平移一个单位得到，则f(x+1)关于点(0，0)对称，为奇函数，D选项正确.[小结]由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等.4.(2025·重庆·三模)设函数f(x)的定义域为R，f'(x)是f(x)的导函数.若f(x+1)是奇函数，则f'(x)的图象(

)A.关于点(1，0)对称

B.关于直线x=1对称C.关于点(-1，0)对称

D.关于直线x=-1对称B[解析]

因为f(x+1)是奇函数，所以f(x+1)=-f(-x+1)，f(x+1)+f(-x+1)=0，对其求导，则有f'(x+1)-f'(-x+1)=0，所以f'(x)关于直线x=1对称.故选B.巩固训练

A

考点4函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性例4

(1)定义在R上的函数f(x)，对任意实数x都有f(x+4)=-f(x)，若函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称，且f(-1)=2，则f(2025)=(

)A.1 B.2

C.3

D.4B[解析]

将函数y=f(x-1)的图象向左平移1个单位即可得到函数f(x)的图象，由函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称，可知函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数，又由f(x+4)=-f(x)，得f(x+8)=-f(x+4)，则f(x+8)=f(x)，所以f(x)是周期为8的偶函数，则f(2025)=f(1+253×8)=f(1)=f(-1)=2.故选B.(2)定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(-2，0)对称，且f(x)在[0，2)上单调递增，则(

)A.f(11)<f(12)<f(21)B.f(21)<f(12)<f(11)C.f(11)<f(21)<f(12)D.f(21)<f(11)<f(12)A[解析]

∵

函数f(x)的图象关于点(-2，0)对称，∴f(x-4)=-f(-x)，又f(x)为定义在R上的奇函数，∴-f(-x)=f(x)，∴f(x-4)=f(x)，即函数f(x)的周期是4，则f(11)=f(-1)，f(12)=f(0)，f(21)=f(1)，∵f(x)为奇函数，且在[0，2)上单调递增，则f(x)在(-2，2)上单调递增，∴f(-1)<f(0)<f(1)，即f(11)<f(12)<f(21).故选A.[小结]函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.6.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)=2，g(x)=f(x-1)是奇函数，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=

.

0[解析]∵f(x)是R上的偶函数，且g(x)=f(x-1)为奇函数，∴f(x)的图象关于点(-1，0)对称，得到f(x-1)=-f(-x-1)=-f(x+1)，∴f(x+1)=-f(x-1)，f(x+2)=-f(x)，故f(x)=f(x+4)，即f(x)的周期为4，∵f(x)是R上的偶函数，f(x)的图象关于点(-1，0)对称，∴f(1)=f(-1)=0，由已知得f(0)=2，巩固训练对于f(x+2)=-f(x)，当x=0时，得到f(2)=-f(0)=-2，当x=1时，得到f(3)=-f(1)=0，当x=2时，f(4)=-f(2)=2，∴f(1)+f(2)+…+f(2025)=[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]×506+f(2025)=[0+(-2)+0+2]×506+f(1)=0.

B[解析]

因为函数f(x+2)为偶函数，则f(-x+2)=f(2+x)，可得f(x+3)=f(1-x)，因为函数f(2x+1)为奇函数，则f(1-2x)=-f(2x+1)，所以f(2-x)=-f(x)，所以f(2+x)=f(2-x)=-f(x)，f(4+x)=-f(2+x)=f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数，则F(0)=f(1)=0，故f(