2025-2026学年下学期河北邢台高一数学2026年6月联考试卷（含解析）

高一数学测评注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4. 本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六、七章占30%，第八章占70%。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.八棱台共有A.8条棱 B.16条棱 C.20条棱 D.24条棱2.复数i7A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列判断错误的是A.经过两条相交直线，有且只有一个平面B.经过两条平行直线，有且只有一个平面C.垂直同一个平面的两条不同的直线一定平行D.垂直同一个平面的两个不同的平面一定平行4.在∆ABC中，点D在边AC上，CD=34CA，记A.−2a+3bC.4a−3b5.在∆ABC中，AB⊥BC，AB=x，BC=3x，其中x>8A.(4,+∞) B.0,C.(2,+∞) D.0,6.如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=2，AC=2，AD=CD=5，将∆A.2 B.6C.5 D.37.已知正方体ABCD−A1B1C1D1A.313 B.C.310 D.8.在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，AD=1，AB=2，AC=3，∠BAC=60°，O为平面ABC内一点，且A.213 B.C.216 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.若z13A.|B.zC.z的虚部为5D.z+1210.如图，用斜二测画法得到四边形OABC的直观图是平行四边形O'A'B'A.ABB.ABC.OCD.四边形OABC是矩形11.已知正方形ABCD的边长为2，PA⊥平面ABCD，QB⊥平面ABCD，P，Q在平面ABCD的同一侧，且A.点Q不在四棱锥P−B.四棱锥Q−ABCDC.四棱锥P−ABCD与四棱锥QD.几何体BCQPAD的五个面所在平面将空间分成21个部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知某圆台的母线长为13，上、下底面圆的直径分别为2，12，则该圆台的高为

。13.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，E14.定义：多面体顶点的曲率等于2π与该顶点处多面体面角之和的差（面角采用弧度制计量）。例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π2，则其各个顶点的曲率均为2π−3×π2=π2。在三棱锥S−ABC中，SA⊥底面ABC，AB=2四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图，正方形ABCD是圆柱的一个轴截面，E是下底面圆周上异于A，B的点.(1)证明:AE⊥（2）若该圆柱的表面积为24π，以正方形ABCD为一个底面作正四棱台ABCD−A16.(15分)已知向量a=(3,x+1)（1）当y=1时，证明：∃x∈（2）当x=−52（3）当x=1时，若a与b的夹角为锐角，求y17.(15分)在∆ABC中，AB⊥AC，AB=2，sin∠ABC:sin∠ACB=5:2（1）求AD的长；（2）若E为AC边上一点，且AE=3218.(17分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=2（1）证明：PA⊥平面ABCD（2）求PA与平面PCD所成角的大小。（3）设球O为三棱锥P−ACD的外接球，M为球O球面上的动点，求线段19.(17分)在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1（1）证明：CE∥平面A（2）证明：平面A1BD⊥（3）设二面角A−A1D−高一数学测评参考答案1.D八棱台共有8+8+8=24条棱.2.A因为i7+i3.DA，B，C均正确.垂直同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交，故D错误.4.DBC→5.B设几何体α与β的体积分别为V1，V2，则V1V2=π3·6.C取AC的中点O，连接OD，B'O（图略）.依题意可得B'O⊥AC，B'O=1，DO=2.因为平面ACD⊥平面AB'C，平面ACD∩平面AB'7.A如图，取棱DC上更靠近D的三等分点Q，连接PQ，QC1.易证PQ∥B1C1，PQ=B1C1，所以平面P8.B在∆ABC中，BC=AC2+AB2−2AC·ABcos∠BAC=7.依题意可得O为∆ABC外接圆的圆心.设该外接圆的半径为R，则2R=BCsin9.ACD因为z13=1+5i1−5i=(1+5i)2(1−5i10.BC因为∠B'O'A'=45°，A'B'⊥O'B'，O'A'=2，所以O'B'=2，OB=2O'B2），得OC→·11.BCD将四棱锥P−ABCD补成一个正方体（图略），则四棱锥P−ABCD的外接球为该正方体的外接球，因为点Q是该正方体的一个顶点，所以点四棱锥Q−ABCD的体积V=13×22×2=83连接PQ，易证PQ∥AB∥CD，PQ=AB=CD，则四边形CDPQ和四边形ABQP均为平行四边形，设PB∩AQ=E，PC∩DQ=F，则E，F分别为PB，PC的中点，设AD，BC的中点分别为G，H，连接EF，GH，因为几何体BCQPAD为三棱柱，所以它的五个面所在平面将空间分成7+7+7=21个部分，D正确.12.12设上、下底面圆的半径分别为r，R，圆台的高为h，则r=1，R=6，所以13.1010取棱AD的中点F，连接BD，EF，CF.易证B1D1∥BD∥EF，则B1D1∥EF，则∠CEF为异面直线CE与B1D114.19π12因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AB，SA⊥AC.因为AB=2，AC=3，SA=6∈0,π2，所以∠BSA+∠点S处的曲率为2π15.（1）证明：连接BE.1分由题意知，BC是圆柱的母线，则BC⊥平面ABE因为AE⊂平面ABE，所以BC又AB是底面圆的直径，所以AE⊥BE.因为BE∩BC=B，所以AE⊥又CE⊂平面BCE，所以AE⊥CE（2）解：设AB=2r，则该圆柱的表面积为2π解得r=2，则AB=4.故该正四棱台的体积为13×3×(216.（1）证明：当y=1时，若|a|=|b|解得x=−56故∃x∈R，|（2）证明：当x=−52时，a则a·b为定值.（3）解：当x=1时，a=(3,2)，b=(因为a与b的夹角为锐角，所以a·b>0且a与b则3y+2(2y−1)>0，且解得y∈2717.解：（1）由sin∠ABC:sin∠因为AB=2，所以AC=5.由等面积法得12AB·因为AB⊥AC，AD平分∠BAC，所以2则AD=2AB（2）因为AE=32EC，AC=5由余弦定理得DE2= 13分则DE=2217， 14分故△ADE的周长为1027+3+2217=102+221+217。 15分18.(1)证明：因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，所以则AC=AB=2。 1分因为PA2+AC2=(3)2+22=7=PC2，所以PA⊥AC。 2分同理可得PA⊥AB。 3分又因为AC∩AB=A，所以PA⊥平面ABCD。 4分（2）解：（方法一）取CD的中点E，连接AE，PE。由（1）知，AC=则AE⊥CD，且AE=3。 5分又PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以因为AE∩PA=A，所以CD⊥平面PAE。 7分因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAE。 8分所以直线PA在平面PCD上的射影为直线PE，则∠APE与平面PCD所成的角。 9分又PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE。 10分因为PA=AE=3，所以（方法二）因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD， 5分则PD=PA2+AD2=7=PC。取CD的中点E，连接PE，则PE⊥CD， 6分则PE=PC2-CE2=6，所以S∆PCD=12CD·PE=6。 7分设点A到平面PCD的距离为d，则由VA−PCDd=62。 9分设