2025-2026学年下学期河南开封高一数学2026年6月期末试卷（含解析）

河南开封市2025−2026学年高一下学期期末考试数学试题学校：  姓名：  考号：  班级：   一、单选题1.中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝.明代会试分南卷、北卷、中卷，按11:7:2的比例录取，若某年会试录取人数为300，则北卷录取人数为（

）A.140   B.105  C.70   D.302.若z=i6+2+1A.−4   B.−2  C.2   D.43.已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，且(aA.−5   B.−3  C.5   D.34.在∆ABC中，若sinA:sinB:sinCA.45°   B.60°  C.120°   D.135°5.已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为4，方差为2，则x12，x22A.17   B.18  C.20   D.216.如图，一个平面图形的直观图是等腰梯形O'A'B'C'

A.8+42+43  B.C.8+83  D.7.如图，在∆ABC中，∠BAC=π3，AD→=3DB→，P为CD上一点，且满足AP

A.−3   B.3  C.−32   8.已知正四棱锥P−ABCD的外接球O的表面积为32π，点P在底面ABCD的射影为O'，当|AB·|A.16(B.16(2+1)C.8+423D.16(二、多选题9.为了解某地20000名学生的高三模拟考试数学成绩，从中抽取了200名学生的数学成绩进行调查分析，下列说法正确的有（

）A.20000名学生的数学成绩是总体 B.200名学生是样本C.每名学生是个体 D.样本容量是20010.下列说法中正确的是（

）A.在△ABC中，AB=1，AC=2，∠AB.已知向量a=(−2,3)，b=(1,2)C.在△ABC中，若(AB→D.已知向量a=(2,−1)，b=(x,1)，a11.如图，在正方体ABCD−A1B1

A.D1B.A1MC.异面直线A1M与AD.二面角M−A三、填空题12.光明中学举办演讲比赛，其中8人比赛的成绩为：85，86，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这8人成绩的第60百分位数和第70百分位数的和为

。13.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=4，14.在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=4acosA，若S为∆四、解答题15.已知复数z=m+2+(（1）若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围；（2）若z为正实数，z−4i是关于x的实系数一元二次方程x216.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AB（1）求证：PA∥（2）若∆PDC是锐角三角形，且DE⊥PB17.对某高校学生参加“走进敬老院送温暖”的活动次数进行统计，随机抽取N名学生，得到这N名学生参加此活动的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图。分组频数频率[10,15)100.20[15,20)24n[20,25)140.28[25,30]mp合计N1（1）求出表中N，p及图中a的值：(2)若该校有学生3000人，试估计该校学生参加此活动的次数在区间[15，20)内的人数；（3）估计该校学生参加此活动次数的众数、中位数及平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，所有结果保留一位小数）18.如图，在正三棱柱ABC−A1B1（1）证明：平面AC1D（2）若AB=2，平面AC119.在∆ABC中，设A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知b=2a（1）求C的大小；（2）若∆ABC的面积为23，求（3）设∆ABC的外接圆圆心为O，且满足cosB参考答案题号1234567891011答案BCDABACBADACABD1.B由题意，会试南卷、北卷、中卷的录取比例为11：7：2，因此北卷录取人数占总录取人数的比例为720已知该年会试录取总人数为300，故北卷录取人数为300×72.C原式z=∵z=1−i，∴z=1+i，则z+3.D已知a=(1,2)，b=(m根据两非零向量垂直的充要条件可得：(a则(1−m)×1+1×2=0，整理得3−m=04.A由正弦定理，sinA:不妨设a=2，b=6则由余弦定理，cosA=因为0°<A<180°，所以5.B∵样本数据x1，x2，x3，x4，又∵该样本的方差为2，根据方差公式可得15∑i将平方项展开得15将∑i=15化简计算得∑i∴数据x12，x22，x32，6.A过点C'作C'D⊥O'A'于点D，故C'D=2，因为∠C'O'D=45°，所以C'D=O7.C因为AD→=3DB所以AP→因为C，P，D三点共线，所以m+13所以AP→=2所以AP=3故选：C8.B设正四棱锥外接球的半径为R，则有4πR2因为O'为点P在平面ABCD上的投影，则有PO因为P−ABCD是正四棱锥，则点O一定在直线PO如图1所示，连接OA，因为R=22，所以设OO'=t,t∈(0,2则AB·当且仅当8−t2=t2，即t当点O在正四棱锥的内部时，即点O在线段PO'PO'=则正四棱锥的体积V=当点O在正四棱锥的外部时，如图2所示，即点O在线段PO'PO'=则正四棱锥的体积V=则正四棱锥的体积V=139.AD总体是指所要考察的对象的全体，本题考察对象为学生的高三模拟考试数学成绩，因此20000名学生的数学成绩是总体，A选项正确，又因为样本是从总体中抽取的一部分用于考察的个体，因此本题的样本为抽取的200名学生的数学成绩，而非200名学生本身，B选项错误，个体是总体中的每一个考察对象，因此本题的个体为每名学生的数学成绩，而非每名学生本身，C选项错误，样本容量是样本中所包含的个体的数目，无单位，本题抽取了200名学生的数学成绩，因此样本容量为200，D选项正确.10.AC∵AB=1，AC=2，∠∵a=(−2,3)，b=(1,2)，∴记BC的中点为D，由于(AB因此中线AD垂直于BC，所以AB=AC，∵a与b的夹角为钝角，\therefore\vec{a}\cdot\vec{b}=2x-1\lt0\Rightarrowx\lt\frac{1}{2}\)且\(x\neq-2,\thereforex\in(-\infty,-2)\cup\left(-2,\frac{1}{2}\right)\)，故D错误.故选：AC.11.ABD如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD故D（0，0，0），D₁（0，0，2），A（2，0，2），M（x，2，z），C（0，2，0），A（2，0所以DA1→对于A，B（2，2，0），C₁（0，2，2），故BM→C1B→=(2,0,−2)，因为所以−2(x−2)−2z=0故2x+2z−4=0，而所以D1对于B，而2x+2z故M(x,2,−x而AC→=(−2,2,0)，设面ACD₁的法向量为n=(x,所以{−2x+2y=0−2x故n=(1,1,1)，则A可得A₁M∥平面ACD₁对于C，A1M→设异面直线A₁M与AD₁所成的角为θ,所以cosθ=|A当x=1时，cosθ而x∈(0,1)∪(1,2]时，令cosθ因为0<(x−1故cosθ∈0,12，对于D，已知面ACD1的法向量为设面ADM的法向量m→=(故{a(x−2)+2b−c故m→=(1,0,1)，设二面角M−β∈[0,π]故sinβ而cos2β+sin2故选：ABD12.1828×0.6=4.8，所以第60百分位数是90．8×0.7=5.6，所以第70百分位数是92．所以第60百分位数和第70百分位数的和为90+92=182．13.517，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，连接BC1交B1C显然O是BC1的中点，则OF∥A1B，在∆OB1F中，B1cos∠B1所以直线A1B与直线B1故答案为：5114.1512/由题设及正弦定理边角关系，sinBcosC+即sin(B+C)=4又sinA≠0，则cosA=1而a2=所以Sa2=故Sa2的最大值为故答案为：151215.(1)(−2,1)(2)19（1）若复数z在复平面内对应的点在第四象限，则{m+2>0m2+2m−3<0(2)由于z为正实数，所以{m2+2m−3=0而z-4i=3−4i所以3+4i也是方程x所以{3+4i+3−4i=6=−所以a+16.（1）连接AC，交BD于点F，连接EF，如图所示．因为AB//CD，所以△FDC又PE=2EC，所以FCFA=又EF⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA∥(2)在△PDC因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面PO⊥DC，PO⊂平面PDC，所以PO又BC⊂平面ABCD，所以PO⊥BC，又PD⊥BC，所以BC⊥又DE⊂平面PDC，所以BC⊥又DE⊥PB，PB∩BC=B17.(1)N=50，p=0.04，(2)1440（3）众数是17.5，中位数的为18.1，平均数是18.3(1)由分组[10，15)对应的频数是10，频率是0.20，可知10N=0.20，所以所以10+24+14+m=50，解得所以p=mN(2)估计该校学生参加此活动的次数在区间[15，20)内的人数为2450（3）估计该校学生参加此活动次数的众数是15+202因为n=所以估计该校学生参加此活动次数的中位数x满足0.2+(x解得x=18.125，所以该校学生参加此活动次数的中位数的为18.1，由12.5×0.20+17.5×0.48+22.5×0.28+27.5×0.04=18.3，所以估计该校学生参加此活动次数的平均数是18.3.18.（（1）证明：连接A₁C，则A1C与AC由于三棱柱ABC−故∆ABC，∆故DC1=结合E是A₁C与AC1的中点，所以DE⊥又AC与AC1相交于E，且.AC1故DE⊥平面ACED⊂平面AC1D，故平面（2）延长C1则平面AC由于D是BB₁的中点，故BF=因此CB=BF=又CC₁⊥平面ABC，AFC平面ABC，故CCCC1∩AC=C，故AF⊥平面ACC₁A₁，AC₁⊂平面ACC₁A₁，故AF⊥AC1，又CA