2025-2026学年下学期黑龙江哈尔滨三中高二数学2026年6月月考试卷（含解析）

哈三中2025—2026学年度下学期高二学年6月月考数学试题考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟：第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x||x−1|<2}，NA.{0，1}B.{0，3}C.{0，1，2.命题"∃x>0，x+3.设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1A.-3 B.0 C.5 D.84.命题"∀x∈[−1,1],

xA.a>−2 B.C.a≥−2 D.5.若函数f(x)=ax−lnx在区间(1,2)A.(−∞,1) B.−∞,C.−∞,12 6.已知a=2e2，b=A.b>c>C.c>b>7.近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为πr4元，厂家可制作的模型的最大半径为1dm，若批发商以3元/dmA.π元B.27πC.π2D.27π8.如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列{an}

A.a3=71 B.C.a11>2二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（

）A.若x−52−x<0B.若a>b，cC.若a>0，b>0，a+D.若a−b∈[1,3],10.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1A.aB.数列{aC.SD.S11.已知函数f(x)=ex−13ax3有三个极值点A.aB.xC.若x1，x2，x3成等差数列，则x12D.若x1，x2，x3成等差数列，则数列x1，x第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.已知数列an满足a1=3，且an+113.已知函数f(x)=e14.已知函数f(x)=1x(1−m−四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数f(x)=x（1）求实数a，b的值：(2)求函数f(x)在区间[−1，3]上的最值.16.已知数列an满足a1=3，且(1)证明数列{an−(2)求数列an的前n项和Sn.17.已知双曲线C:（1）求双曲线C的方程；(2)斜率为−1的直线与双曲线C的右支交于M、N两点(异于点P).求证：直线MP，NP的斜率之和为定值.18.已知函数f(x)=lnx(1)若m=1，求函数f(x)在x（2）若f(x（3）设g(x)=f(19.已知函数f(x（1）求证：f(x)≥e（2）求证：n!>（3）设x1，x2(x1<x哈三中2025—2026学年度下学期高二学年6月月考数学试题考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟：第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M=x∣|xA.{0，1}B.{0，3【答案】A因为|x−1|<2，所以−2<x−1<2，即所以M∩2.命题"∃x>0，x+【答案】C命题"∃x>0，x+1x故选：C3.设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1A.−3BC.5D.8【答案】D设数列{an}因为Sn=n所以S5=5a因此S44.命题“∀x∈[−1,1],

xA.a>−2B.a>−1CD.a【答案】B原命题“∀x∈[−1,1],x真命题．即对于x∈[−1,1]，a设f(x)=x2−2x=(最小值为f(1)=−1，因此原命题为假等价于a≥−1，即原命题为假对应集合为A充分不必要条件对应集合是A的真子集，选项中仅有(−1,+∞)⫋A因此命题“∀x∈[−1,1],

x5.若函数f（x）=

ax−lnxA.(−∞,1)D.(−∞,1]【答案】A函数（x）=

ax−lnx的定义域为(0,+∞)函数f（x）在区间（1，2）上存在减区间，等价于存在x∈(1，2)，使得f'(x)<0即a<1x当x∈（1，2）时，1x故a<1，即实数a的取值范围是（-∞，1）.6.已知a=2e2，b=A.b>c>a B.b>a>cC.c>b>a D.a>b>c【答案】A已知a=2e2=令f(x)=lnx当x≥e时，f’(x)≤0，则f(x)在[e因为e<3<e27.近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球．已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型．已知每个这样的模型的打印成本为4πr4元，厂家可制作的模型的最大半径为1dm，若批发商以3元/dA.π元B.27πC.π2D.27π【答案】D由题意可得利润L(r)=3×所以L'(r令L'(r当0<r<34时，当34<r≤1时，∴利润L(r)在r∴该厂家售卖单个模型最多可以获利27π故选：D。8.如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列{an}【答案】C由图可知，an=8a所以an所以数列an+1所以an+17=87a11因为an=8所以1=1+1所以1a二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（

）A.若x−5B.若a>b，c>d，则ac>bdC.若a>0，b>0，a+b=1D.若a−b∈[1，3]，a+b【答案】ACA，分式不等式x−52−x<0等价于(x−5)(2−A正确；B，举反例：若a=1，b=−2，c=0，d=−3，满足a>b，c>d，但C.已知a>0，b>0，a+b=1等号成立当且仅当a=23D.设3a−b=x(a−b)+y(已知a−b∈[1，3]，a+b∈[6，10]10.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1A.aB.数列{aC.SD.S【答案】BCD由a1=1，令n=1，得a1+a令n=2，得a2+a由an+an+1两式相减得an故数列{aS7其中a1+a2=4由{a2n+1}得a7=1+3×3=10，故对于S2n，每一组的和为3(2k−1)+1=6k−2（k=1，2故S211.已知函数f(x)=ex−13ax3有三个极值点A.aB.xC.若x1，x2，x3成等差数列，则x12D.若x1，x2，x3成等差数列，则数列x1，x【答案】ACD函数f(x)=e即a=exx2(x由于g'当x<0时，g'(x)>0，g(当0<x<2时，g'(x)<0当x>2时，g'(x)>0，g(x)在x=2处取最小值g(2)=已知ex3=ax由对数平均不等式x3−x若x1，x2，x3因为ex1=ax两式相乘得ex代入得a2满足等比中项性质，故x1设等差数列公差为d>0，则x1=由C的结论得(x22−d又ex1ex3=x两边取对数得−d第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．12.已知数列{an}满足a1=3，且an【答案】3由题意可a1=3，a2=1以此类推，可知a202613.已知函数f(x)=ex−【答案】(可f'(x当a≤0时，可知f'(x)>0，在R上恒成立，函数f(当a>0时，令f'(x)=所以x<lna时，f'(x)<0，函数x>lna时，f'(x)>0，函数在x=lna处取得极小值，极小值为可得a(1−lna)<0，因为a>0，所以即实数a的取值范围是(e14.已知函数f(x)=1x(1−m−e2【答案】(−∞,−1)要使得存在x>0满足f(先将不等式进行等价变形为f(x)=1−两边同乘x2>0得整理为关于m的不等式mx<x−xe令h(x)=1−e2x+对h(x)求导h'(x)=−2e由y=x2、y=e2x、y根据函数的单调性知y=2x2e2所以，当x∈(0,x0)时h'(所以h(x)在(0,观察到e2x=1x时，代入得2·故极值点x0满足e2x0=因此，存在x>0使m<h(x)成立，当且仅当四、解答题：本大题共\（5\）小题，共\（77\）分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.已知函数f(x)=x3+ax1. 求实数a，b的值；2. 求函数f(x)在区间【答案】（1）a=0，（2）最小值为0，最大值为20【小问1】∵f(x)=x∵当x=1时，f(x)有极小值0∴{3+2a+b=01+a∵f'(x)>0的解为x>1或∵f'(x)<0的解为−1<∴f(x)在x=1【小问2】由（1）{a=0b=−3，又∵x∈[−1,3].∴f'(x)>0在[−1,3]∵f'(x)<0在[−1,3]上的解为−1<∴f(x)在[−1,3]上的最小值为又f(−1)=(−1)3−3×(−1)+2=4∴f(x)在[−1,3]上的最大值为综上可知，f(x)在[−1,3]上的最小值为0，最大值为16.已知数列{an}满足a1=3（1）证明数列{an−（2）求数列{an}的前n【答案】（1）证明：因为an+1=2所以an+1−(又a1−1=2，所以{a所以an−n2【小问1】略【小问2】由（1）知，{an=(=217.已知双曲线C:x2a2双曲线C上.（1）求双曲线C的方程；(2)斜率为−1的直线与双曲线C的右支交于M、N两点(异于点P).求证：直线MP、NP的斜率之和为定值.【答案】（1）x（2）如图，设点M(x1,y因为点P不在直线MN上，则m−1≠2，可得m联立{y=−x则Δ=16m2由题意可得{x1+所以k===(即直线MP，NP的斜率之和为0.【小问】双曲线C的右焦点为F（c，0），渐近线方程为y=±ba所以焦点F到一条渐近线的距离为|bc|b因为点P（2，1）在双曲线C上，所以4a2−1=1故双曲线C的标准方程为x【小问2】略．18.已知函数f(x（1）若m=1，求函数f（x）在x（2）若f(x)>m（3）设g(x)=f(x)−3【答案】（1）y=2（2）3；(3)−∞,−【小问1】当m=1时，函数f(x)=lnx+x，求导得f'(所以函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y−1=2(x【小问2】对任意的x>1，不等式f(令函数h(x)=xlnx+令函数u(x)=x−lnx−2，x而u(3)=1−ln3<0，u(4)=2−ln4>0，则存在x0∈(3,4)，使得u(当1<x<x0时，u（x）<0，h’（x）<0；当x>x₀时，函数h（x）在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，则h(x)所以整数m的最大值是3.【小问3】函数g(x)=由函数g（x）有两个极值点x1，x2(x1<x则{Δ=4m2−4>0x1+xg(x2)=lnx2求导得φ'(t)=所以g（x₂）的取值范围是(−∞,−319.已知函数f(x1. 求证：f(x2. 求证：n!>3. 设x1，x2(x1<x2)是函数h(x)=f(x)−【答案】1. 令函数g(x)=lnx+当x>1时，g’（x）>0，函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，则g(x)≥g(1)=1，即lnx所以f(x（2）由（1）得lnx≥1−1x，当且仅当xlnk因此ln(n!)=则∑k=1n所以n!>（3）(1,2]。【小问1